數形結合思想在高中數學教學中的應用

◎趙 芳(甘肅省武威第二中學，甘肅 武威 733000)

前 言

高中生正處于認知世界、學習知識、發展思維及積累經驗的重要階段，需要通過不斷的學習和實踐來推動自身素質與能力的發展.數學作為一門研究數量、結構、變化、空間及信息的學科，不僅有豐富的知識內容，還蘊含豐富的思想方法.學生通過學習數學，能夠推動思維能力發展和學科素養形成.在高中階段的數學教育工作中，教師一定不能被傳統的學分教育理念所禁錮，應做好教學創新，創新教育理念，創新教育手段，融合數形結合思想，重構數學教學思維.在新課改背景下形成的高中數學教育標準也曾對教師提出新的要求.其表明，教師應側重學生素養及能力的發展，要引導學生了解數學的基礎知識、基本技能以及基本思想.

1 在高中數學教學中運用數形結合思想的重要作用

高中數學知識較為晦澀、抽象，理解難度較高，易給學生帶來較大的學習壓力和心理負擔，這也是部分學生產生厭學情緒、抵觸學習數學的重要原因.但大部分的數學知識并不是獨立的系統，其與幾何圖形存在聯系，所以教師可以傳授數形結合思想，依托數形結合法講解知識要點，為學生掌握數學知識和技能提供支持.此外，在高中數學教學中培養學生的數形結合思想，還有利于提高學生的學習興趣，提升他們對數學問題的理解速度.在運用數形結合思想進行教學時，教師可以將抽象的概念和理論以更加直觀化、形象化的方式呈現出來，促使學生依據數學知識的本質規律來理解和消化相應的數學知識.這不僅降低了學習難度，還能幫助學生重建信心，使學生在不斷解題的過程中獲取成功的經驗，進而產生濃厚的學習興趣.此外，在傳統的高中數學教學模式下，部分課堂缺少思考和想象空間，解題策略千篇一律，易使學生思維發展趨于固化，特別是在面對新知識和舊知識結合時，學生往往難以構建完整的知識體系.也就是說，學生不能將新舊知識有機地串聯在一起，無法利用新舊知識解決復雜多變的數學難題.若教師加強數形結合思想的滲透，依托直觀的圖形表示新舊知識，強調二者的內在聯系，就可以幫助學生構建全新的認知結構，從而提高學習數學和理解數學的速度.

2 數形結合思想的應用原則

第一，直觀性原則.數形結合思想存在的基本價值就在于將抽象的知識直觀化，將復雜的知識簡單化.所以，在應用這一思想時，教師需要遵循直觀性原則，盡量簡化問題，發揮數形結合思想的價值，緩解學生對數學學習的抵觸心理.

第二，針對性原則.在利用數形結合思想處理問題時，教師需要引導學生了解正確的解題步驟：先要分析題目的內容，了解題目的情況，然后選擇不同的數形結合思想[1].而不是直接套用思想模板，這樣會取得適得其反的效果.只有正確、有針對性地選擇思想，才能夠真正地簡化問題，理清解題思路.

第三，廣泛性原則.高中階段的學生在處理數學問題時，往往會因為缺少圖像和圖表這些直觀性的東西而難以解決，而數形結合思想就是將抽象的數學語言轉化為學生能夠直觀易懂的幾何關系，因此教師在向學生推廣這種學習方法的時候，要鼓勵學生將題目中的數量關系和幾何性質翻譯成比較好理解的圖像信息.畫草圖其實就是將抽象思維與形象思維相結合，草圖是教師和學生常常利用到的一種學習輔助工具.利用圖像表達數學抽象信息，可以使復雜的問題變得簡單，使抽象難懂的問題變得具體，從而達到優化解題的目標.

3 數形結合思想的應用策略

3.1 在集合教學中的應用

集合是高中階段學生需要接觸的基礎數學知識，該部分內容出現在高一階段必修1的教材中，具有極強的基礎性與重要性，剛步入高中階段的學生接觸到的第一個數學知識點就是集合的概念.由于集合這個概念非常重要，而且在初中階段學生沒有接觸過，所以教師要在課堂上采取學生能夠接受的方法進行教學活動.在集合教學中，教師可適當地滲透數形結合思想，將抽象的知識以具象、直觀的圖形展現出來，這會在無形中緩解學生的學習壓力，也可加深學生對它的理解.在高中階段，韋恩圖與數軸是學生在學習集合知識時比較常用的數形結合思想工具，其中，韋恩圖主要針對具體集合知識，而數軸主要針對模糊集合知識.

例1某校高一(3)班共有40名學生.該班學生成立了三個不同的興趣小組，分別為街舞小組、繪畫小組與合唱小組.學生完成報名后，形成的小組劃分狀態如下：

(1)班級中的40名學生，每人至少參加一個興趣小組.

(2)街舞小組是最后報名的，在此之前，選擇繪畫的學生人數是選擇合唱的學生人數的2倍.

(3)只報名參加了街舞小組的學生人數比還沒有選擇小組但只想報名參加該組的人數多1個.

問題：

1.只報名參加繪畫興趣小組的學生有多少？

2.街舞小組中有多少名學生？

分析：在剛剛接觸這道題目時，大部分學生會有點盲目，不知道應該從何下手，也無法理清自己的解題思路.此時，教師可以帶領學生嘗試站在數形結合思想的角度上，將其中的街舞小組、繪畫小組與合唱小組視為不同的集合，然后以韋恩圖的形式將其展現出來.如此一來，問題迎刃而解.在解題中可以將參加街舞小組的學生人數設為集合A，將參加繪畫小組的學生人數設為集合B，將參加合唱小組的學生人數設為集合C，根據題干描述，生成如下韋恩圖(如圖1).之后通過簡單的計算，便可以得到答案.

圖1

除韋恩圖外，數軸是高一階段學生接觸較為頻繁的一種數形結合工具.在數軸的幫助下，問題可以更加直觀、更加清晰地展現在學生面前.

例2現有兩個集合，其中集合A={x|0

解析：當B?A時，用數軸來表示兩者的關系如圖2所示.

圖2

通過該圖，學生能夠很直觀地了解到集合A，B之間的關系，同時能夠輕松地計算出a的取值范圍：0

3.2 在函數教學中的應用

俗話說，數缺形時少直觀，形少數時難入微[2].數形結合，相得益彰，并能夠有效解決學生在學習中的一些問題.在高中數學教育工作中，函數的重要性不言而喻，而在函數教學中，圖形更是不可缺少的一部分.所以教師可巧妙地將數形結合思想與函數教學相互融合，從而發揮數形結合思想的價值，同時降低學生的理解難度.

在函數教學中，由數到形是學生需要了解的第1步數形結合要點.課堂上，教師可先給學生出示一個簡單的函數公式，要求學生通過思考及計算的方式嘗試分析這一函數能夠形成的圖形，然后根據圖形的具體特征一一對應函數公式與圖形，找到二者之間的聯系，真正滲透數形結合思想.除此之外，在教學中，教師也可以融入一些趣味性的教學因素，將函數的圖像變化編成簡單的胳膊操，如舉起雙臂的曲線代表哪一個函數，左臂上舉、右臂下垂形成的曲線又代表哪一個函數，借此激發學生的學習興趣，增強學生的記憶.

3.3 在解不等式中的應用

解不等式是高中數學中的重要知識內容，要求學生牢固地掌握.利用數形結合思想，學生可以先采用“等價簡化”方式將原不等式變化成有理不等式，再從題目的條件和結論出發，聯系相關函數知識，分析其集合意義，以此在圖形中找出解題思路.如果學生采用常規的方式進行解題，不僅解題過程極為復雜，而且非常容易出現錯誤，但是采用數形結合法來解題，學生則只需構建函數圖像，利用圖形位置特點解不等式即可，極大地降低了思考難度.

3.4 在數列中的應用

數列是按照一定次序排列起來的一列數，其與函數相結合，能增加題目的復雜性和思維難度，這種數列函數類型題在高中極為常見.從本質上說，數列就是一種特殊的函數，其圖像是由一些有規律的中斷點組成的.也就是說，研究數列問題，可以從其幾何意義著手.比如等差數列{an}、等比數列{bn}，學生可通過觀察它們在平面直角坐標系中的點的分布情況，借助圖形摸索這些點的規律，以達到借形解數的目的.

例4已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若S4S7,驗證d<0，a6=0是否正確.

分析：本題依托等差數列相關定理知識，也能夠快速準確地推理答案，但為了深化數形結合思想，豐富學生思維方法，教師可利用數形結合來引導學生解題，通過轉化思維，將整個數列看成是以n為自變量的函數，那么等差數列則是一次函數，前n項和就是二次函數.學生通過畫出圖像并進行觀察，就能驗證d<0，a6=0是正確的.

3.5 在幾何教學中的應用

許多學生認為高中數學中最難的知識點就是解析幾何，因為他們在處理這一類問題的時候，不知道如何將幾何條件轉化為數量關系.高中階段所接觸的幾何知識大多為曲線與方程,而曲線與方程正是數形結合思想的最直接展現，其中曲線代表著“形”，而方程代表著“數”，兩者的巧妙結合，驗證了數形結合思想的重要性，也是學生公認的數學學習難點.在講解這部分知識時，教師可以基于數形結合思想角度展開分析，促使學生了解知識內涵，也能夠使之見識到數形結合思想的應用優勢[3].

在利用數形結合思想解決幾何問題時，主要涉及三大步驟：第一，建立直角坐標系；第二，利用代數轉化幾何條件；第三，利用幾何圖形表示計算結果.

例5現有一四棱錐，其底面為平行四邊形.已知∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥ABCD.求證：PA⊥BD；若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

圖3

分析：很顯然，這是一道十分典型的立體幾何題，這種題型在高考試卷中經常出現.如果按照常規方式，在解決這道題目的第二問時，學生需要找到二面角對應的平面角，然后引入三角形的有關知識，作輔助線，不但十分麻煩，而且計算量極大.但是若站在數形結合思想的角度上處理，那么這道題目的難度會大大降低.

由于第一問比較簡單，所以此處不做過多贅述，重點分析第二問：首先，按照上述步驟，在幾何圖形上建立坐標系，明確ABCD四個點的坐標；然后，結合向量知識，解得平面PAB、平面PBC的法向量，將其視為二面角的兩點坐標；最后，結合余弦計算公式，得到最終答案.

3.6 在圓錐曲線中的應用

在圓錐曲線教學中，數形結合思想的應用主要體現在以下三點：第一，利用該思想表示圖形；第二，利用該思想簡化方程；第三，利用該思想翻譯數學語言，解決問題.

例如，在講解直線與圓錐曲線之間的關系時，如果教師只是通過口述的方式給學生介紹相交、相切與相離三個不同的概念，由于概念相似，學生很容易就會混淆.針對此，教師可以引入數形結合思想，直觀地將三種不同的情況展現出來，用圓錐曲線圖形與直線之間的位置關系，為學生詮釋這一知識點，減緩師生雙方的壓力，加深學生對知識的理解.

4 數形結合思想的應用重點

4.1 轉變教師觀念

數與形是數學中兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下相互轉化能實現以數解形和以形助數，作為一種重要的數學思想方法，學生應當學會運用.雖然結合數形結合思想開展教育活動是新課標對當代教育工作者提出的要求，但對于一些已經習慣了應試教育理念及填鴨式教學方法的高中教師來說，無疑是一個巨大的挑戰.對此，教師必須要積極主動地創新教學觀念，創新教學方式，創新教學體系.

數形結合思想并不是一種簡單的解題工具或教學輔助工具，其自身具有極為深刻的內涵，也具有較高的教育價值.利用該工具開展教育活動時，教師需要擺脫傳統“重結果，輕過程”的教學理念，不僅要重結果，更要重過程.除此之外，在應用數形結合思想解題的過程中，學生需要改變以往被動式學習狀態，不能一味地依賴教師，而是要主動探索，主動將數形結合思想應用到解題中，將數字轉化為圖像，將圖像轉化為數學語言，以便在兩者融合的狀態下強化自己的應用能力，提高核心素養.

4.2 注重錯誤分析

在高中階段，學生接觸到的數學習題雖然千變萬化，但考取的知識點卻只有幾個.所以，在運用數形結合思想時，教師需要引導學生做好積累，通過習題練習積累經驗，總結解題的規律以及數形結合思想的應用方式.講解完一道數學練習題后，教師還可鼓勵學生對幾種不同的解題方法進行對比，分析數形結合思想的應用優勢與不足.再比如，并不是所有的數學習題都適用數形結合思想，此時教師需要帶領學生做好總結，讓學生學會正確應用數形結合思想，在歸納與統計的狀態下，不斷積累經驗，不斷分析錯誤，潛移默化強化思想認識.

結 論

綜上，新課改的腳步不斷加快，全新的教育時代逐漸來臨，在這一教育背景下，一些落后的教育思想及方式會展現出紕漏，這對于學生的成長與發展會形成消極影響.因此，在高中數學課堂上，教師需要主動創新，將數形結合思想與教育體系相互整合，并滲透到不同數學教學模塊中.除此之外，教師需要切實掌控數形結合思想的應用要點，主動轉變觀念，注重錯誤分析，以此發揮數形結合思想的價值，促進學生與教育事業的共同發展.