分類討論思想在高中數學教學中的應用探究

◎祁 飛(靜寧縣第二中學，甘肅 靜寧 743400)

引言

分類討論是一種常見的解決問題的邏輯方法，也是一種數學思想.我們在解決數學問題的時候，如果題目中所給的對象無法按現有條件進行統一研究，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后按照這些分類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到對原問題的整個解答.在核心素養理念指導下，促進學生的思維發展是高中數學教學的重要任務，在學生學習探究中融入分類討論思想有利于幫助其簡化研究對象，提升其邏輯思維能力.在高中數學教學日常實踐中，教師可以結合當前所教課程內容、學生的學情現狀和發展需要進行分類討論思想的滲透.

一、分類討論思想基本概述

在高中數學中，結合不同題目的特點以及不同類型題目之間的關聯點，將數學題以及數學概念劃分成不同的種類，并且進行歸納，這種思想就稱為分類討論思想.分類和討論之間是有聯系的，討論的前提是學生對數學概念和數學問題進行分類.面對同一類題目，學生需要找出它們之間的共同點與聯系之處，做到不同題目有著相同的解法，以此提高解決高中數學題目的效率和速度.討論就是要讓學生對歸納和總結的題目進行討論，找出這些題目之間有關聯的地方，最后再做出總結.所以教師在引領學生利用分類討論思想解題時，一定要讓學生先掌握這類解題方法的內涵和實際應用意義，再進行嚴謹和周密的訓練和討論，最后得出正確的結論.學生在做題的時候很容易遺漏某些知識點，最終對解題結果造成影響，因此教師必須給予其正確的引導，使他們在學習和訓練的階段就養成良好的學習習慣，培養分類討論的思想和意識.

二、在高中數學中分類討論思想的重要意義

如果用普通的方式無法解決問題，或者問題本身存在較多的解決辦法和答案，這時可能就需要利用討論的方式找到正確的問題結論.高中數學教師在教學過程當中高效應用分類討論思想，可以有效強化學生的綜合素養，幫助學生提升數學思維能力.教師在教學工作中滲透分類討論思想，可以培養學生的綜合能力，有助于他們在實際的解題過程中拓寬思路，建立完整的數學體系，從而理解課堂教學當中的相關知識點，進一步強化思維邏輯.

三、應用分類討論思想的原則

高中數學教師在實際的教學過程中引導學生運用分類討論思想，在幫助學生分析問題和解決問題的過程中非常重要.據此，學生可以科學、有邏輯地劃分那些復雜的數學問題，然后結合不同的條件進行分析，從而制造更好的機會進行后續的解題.高中數學教師在應用分類討論思想的過程中，一定要重視層次性、統一性和相對性.層次性是指學生在完成分類之后能夠進一步討論子項，這樣才能呈現得更加清晰，將分類討論思想的作用充分發揮出來.統一性是指在實際的教學過程中要對分類標準進行統一.相對性則是指在完成數學分類之后，要保證子項和母項之間保持相對統一.高中數學教師若是想借助分類討論思想對教學效果和質量進行有效的提升，就要在實踐教學中總結方法并合理運用，遵循一定的原則，分析數學問題.

四、分類討論思想在高中數學教學中的應用策略

(一)充分把握教材內容，精準挖掘分類討論思想

分類討論思想是對數學具體知識的進一步提煉概括，是以數學具體知識為載體的對數學具體知識的本質認識，是一種隱性的知識.因此，教師在教學研究中需要深入分析教材，從隱性知識中挖掘能夠體現分類討論思想方法的內容，抓住思想滲透的關鍵點，并通過課程整合潛移默化地展開教學.例如，講解集合知識時，集合按照元素可以劃分為有限集、無限集、空集三種形式，教師可以據此設計題目，啟發學生思考不同集合限制的解的范圍.同時，教師可以結合集合之間的關系引導學生討論不同情況下集合包含的元素等，并結合不同條件下集合包含的元素強化學生對分類討論的認識.再如，教師在課堂講解中可以設計例題，要求學生到講臺進行解答，有的學生會出現遺漏討論條件的情況，此時教師可以要求其他學生給出不同看法，從而引導學生在認知的碰撞中不斷細化分類討論過程.這樣的教學設計可以讓學生對分類思想有一個初步的認識，使他們以后做題時也能夠有意識地考慮多種情況，為分類討論思想的運用奠定基礎.

(二)高度重視知識生成，加強并持續強化分類討論訓練

分類討論思想的滲透過程也是學生知識生成的過程，因此，教師應圍繞學生的思想互動，引導其逐漸探索，并設計訓練強化的機會，促使學生逐漸發現問題，恰當運用方法，精細地探究分類討論思想的本質.

在教學訓練中，高中數學教師應注意以下兩點：

第一，灌輸性思維不利于學生的思想發展.在利用分類討論思想時，教師應該在教學過程中不斷向學生提供豐富的、典型的、正確的并且是更為直觀的背景材料，引導學生對感性材料進行分析、綜合、比較、分類、抽象、概括、系統化、具體化，在培養學生理性思維的同時，促使學生逐漸認識到分類討論存在的重要性.例如，在講解分段函數概念時，教師并不直接給出定義，而是結合生活中出租車計價問題啟發學生主動發現問題，通過分析路程與費用的變化情況更加直觀地理解分段函數的含義.

第二，強化學生的問題意識，引導學生能夠對相關結論進行質疑.教師要提醒學生不要過早下結論，而要經歷探索、發現、推導的過程，在嚴密的邏輯下得出結論，這樣才能保證學生準確運用分類討論方法，提高教學訓練效果.

(三)悉心引導總結歸納，促使學生提煉分類討論思想的精華

分類討論思想滲透于高中數學教材各章節中，比較分散，學生在學習的過程中難以形成系統的總結與提煉.針對此，教師在教學實踐中應利用單元小結或復習的時間，為學生進行集中講解，幫助學生梳理知識，強化對分類討論思想的認識.例如，在圍繞“函數的單調性”而進行的分類討論思想的教學指導中，教師可針對分類討論的順序引導學生結合不同題目思考按照層級討論、按照平移順序討論的不同，并進行集中總結，使學生有針對性地理解在函數單調性的知識學習中分類討論的原則、分類討論的方法以及一般步驟等.此外，教師還可以結合知識點，引導學生整理引起分類討論的原因，啟發學生思考簡化分類討論甚至避免討論的相關策略.這樣，學生在學習分類討論思想的過程中，一方面可以集中探究，提升學習與應用的效果，構建分類討論的知識體系，另一方面還能夠促使學生優化學習過程，提高知識運用的靈活度.

(四)審視錯題解析，指導學生突破分類討論思想的難點

錯題是一種重要的學習資源，教師要引導學生充分利用錯題資源.在利用分類討論思想解題的過程中，學生經常會出錯，如在討論有關等比數列前n項和的計算問題的時候，往往會漏掉q=1的情況；在討論ɑx2+2x+1=0的解集的時候，往往會漏掉a=0的情況等.針對這些錯誤，教師應要求學生利用錯題本進行收集整理，并主動反思，避免以后發生類似錯誤.在錯題反思中，學生首先要思考“為什么會做錯”，是根本沒有想到需要討論，還是討論的條件劃分不清，抑或是討論的方法不對等.在回答了這些問題后，學生才能“對癥下藥”，主動糾錯.接下來，學生需要思考“怎么才能不出錯”的問題.例如錯題是不是由于審題不清造成的，如果是，題目中的“陷阱”在哪里，以后在解題中應該重點關注哪些詞語、條件等，這樣才能做好提前預防，防止再次犯錯.最后，學生應該及時改錯，不應拖延、推脫，而是第一時間改錯，并做好解析，給出正解，梳理總結，逐個突破分類討論學習中遇到的問題.

(五)師生充分聯動，在互動中鞏固學生對分類討論思想的掌握

(六)培養學生對分類討論思想的興趣

興趣是學生最好的老師，教師在高中數學的教學實踐中，除了要教授基礎知識之外，還要培養學生對數學這門學科的興趣，從培養學生分類討論思想的方法出發，讓學生能夠積極主動地參與到課堂學習當中.當前階段學生面臨的學習壓力很大，同樣教師的教學任務也比較艱巨，但是因為種種原因，有一部分學生在課堂中往往會感覺到枯燥乏味，這些不良因素的干擾，導致學生的學習效率低下.因此，教師可以利用分類討論思想培養學生的學習興趣.這樣不但可以完成相關的教學目標，而且能夠豐富課堂教學模式，進而提高數學教學效率.在教學實踐中，教師要培養學生隨時運用分類討論思想進行學習，并且在學習和復習的各個階段將分類討論思想融會貫通.例如，在講解指數函數和對數函數時，為了讓學生能夠畫出指數函數和對數函數的圖像，教師可以利用分類討論思想引導學生對指數函數以及對數函數相關的問題進行討論，從而將復雜的問題簡單化，將抽象的問題具體化.因此，高效利用分類討論思想，可以有效強化學生的學習興趣，提高課堂學習效率，從根本意義上提高學生的數學成績.

(七)不同題目采取不同的分類討論形式

分類討論思想是一種相對來說比較先進，并且在教學中具有一定效果的、成熟的教學思想，其能夠將學生的思維模式和思考方式充分激發出來，幫助學生對他們的視野和思維進行有效的拓展.在實際的教學過程當中，教師需要考慮學生的個體差異性，重視學生之間不同的學習能力以及不同數學題目的不同難度，而不是進行盲目的討論.尤其是面對不同類型的題目，高中數學教師在利用分類討論思想時一定要使用不同的方式引導學生.

例如，高中數學教師在實際的教學過程中為了能夠照顧數學水平不同的學生，讓他們都能夠體會到分類討論思想帶來的意義和作用，就可以將相同類型、不同難度的題目進行分類，利用這種方式幫助學習能力不同的學生找到適合他們的問題，在最大的限度內將學生的潛能充分發揮出來，開展針對性教學.

五、在高中數學教學中應用分類討論思想應注意的問題

在高中數學教學實踐中，教師要想引導學生準確把握分類討論思想，并在實踐中靈活運用，需要注意以下幾點：

第一，既要直接講解又要重視數學思想的滲透.在日常練習中，學生時常會遇到需要分類討論進行解答的題目，教師可以針對題目引導學生集中分析分類討論的運用技巧.此外，教師還應注重日常教學的滲透，即將分類討論思想潛移默化地融入概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學知識中來，不直接點明分類討論思想，卻潛移默化地引導學生體驗、領會.

第二，注重教學的漸進性，引導學生由淺入深逐漸掌握分類討論的方法.分類討論思想的滲透需要學生經歷感性到理性、從領會到形成、從鞏固到應用的發展過程.一些教師在實踐中傾向于圍繞某一題目展開分類討論，對學生分類討論的運用技巧進行指導，忽視了學生認知漸進發展的過程，從而影響了教學效果.針對此，教師應注意從發展的角度出發，引導學生在感知概念、定理、公式、法則等知識的過程中產生分類討論的意識，并結合具體題目領悟方法運用的技巧，最后在活化運用中獨立思考，實現對分類討論的深入掌握.

第三，注重教學指導的系統性.在指導學生學習分類討論思想的過程中，教師應有意識地引導學生建立學習系統，建立數學知識結構，掌握數學思想方法內在的邏輯性.在教學指導中，教師應依托數學知識，引導學生認識到分類討論思想產生的必然性，通過結合不同題目促使學生進行梳理總結、分類掌握，提高教學指導效果.

第四，強調學生的自我建構過程.學生掌握分類討論思想的過程也是一種認知的自我建構過程.在教學實踐中，教師應時刻強調學生的自主性，促使學生有計劃、有步驟地建構學習活動，形成對數學思想的個性化體驗，這樣才能促使其在知識運用中打破機械套用的局限，提高分類討論思想運用的靈活性.

結束語

總之，在當前課程改革背景下，教師不僅要指導學生掌握數學知識，學習解題技巧，還應把握數學思想，提升數學核心素養.在分類討論思想的滲透中，教師應堅持循序漸進地滲透，結合例題引導學生明確分類標準，進行合理分類以及歸納總結，這樣才能讓學生逐漸理解分類討論思想，提升解決問題的能力.