考慮極限應力相對量度的Manson-Coffin改進模型

蔣廣龍,高月華,劉其鵬,2

(1.大連交通大學 土木工程學院，遼寧 大連 116028；2.南昌航空大學 航空制造工程學院，江西 南昌 330063；3.大連交通大學 機車車輛工程學院，遼寧 大連 116028)

低周疲勞破壞是工程結構中常見的一種失效形式，大多數研究者把失效循環數低于104～105次的疲勞定義為低周疲勞[1].現有的低周疲勞壽命預測模型主要有Manson-Coffin模型、應力場強法和三參數冪函數能量法等，這些模型就是將疲勞壽命與循環應力、應變幅和循環滯回能等參量聯系在一起得到的[2-3].其中，Manson-Coffin模型在工程中得到了廣泛的應用，然而該模型更適用于對稱循環載荷加載的情況，實際工程中的疲勞載荷幾乎都是非對稱循環載荷.在載荷從最小值變化到最大值的過程中會產生平均應力，研究[4-5]表明，平均應力會影響到裂紋的擴展速度，進而會對疲勞壽命產生影響.因此，在非對稱循環載荷下進行疲勞壽命預測時，需要對Manson-Coffin模型進行平均應力修正.早在1968年，Morrow就將平均應力修正準則引入到Manson-Coffin模型中來考慮平均應力的影響[6].Smith等假設通過SWT參數來確定一個循環周期中的疲勞損傷量[7].Dowling結合Walker平均應力修正準則和Manson-Coffin模型得到了包含應力比修正的應變-壽命方程[8].Kwofie基于平均應力直接影響疲勞強度系數σf′的前提，提出了一種指數應力函數來反映平均應力對疲勞壽命的影響[9].呂志強將平均應力靈敏系數γ引入到SWT參數模型，得到了預測精度更高的修正模型[10]，但這些Manson-Coffin改進模型針對不同材料的預測結果具有較大的分散性，且預測精度仍有待進一步提高.

本文在考慮平均應力對疲勞壽命的非線性影響的基礎上，進一步考慮屈服極限和強度極限的相對量度對平均應力以及疲勞強度系數σf′的影響關系，對Manson-Coffin模型進行改進，并采用三種常用材料的非對稱加載試驗數據，通過與既有改進模型對比分析，對本文改進模型進行有效性和可行性驗證.

1 Manson-Coffin模型及既有改進模型

應變-壽命曲線是用于表示結構應變和疲勞壽命之間的關系，其中最通用的應變壽命預測模型是由Basquin在1910年提出的，用以表示彈性應變εea和疲勞壽命N之間的關系，其表達式為[11]：

(1)

式中，σf′為疲勞強度系數，b為疲勞強度指數,E為彈性模量，Nf為疲勞壽命.由于Basquin公式沒有考慮平均應力對疲勞壽命的影響，而且只能對以彈性應變為主的結構進行疲勞壽命預測.對此，1954年，Manson和Coffin在獨立研究熱疲勞問題的過程中分別提出了一種以塑性應變幅εpa為參量的壽命模型[12]：

εpa=εf′(2Nf)c

(2)

式中，εf′為疲勞延性系數，c為疲勞延性指數.在恒幅應變疲勞試驗中，總應變幅εa可以寫成彈性應變幅εea和塑性應變幅εpa之和，即Manson-Coffin公式：

(3)

對于Manson-Coffin模型，它是在對稱循環載荷下提出的，沒有考慮平均應力對疲勞壽命的影響.但是之后的試驗證明，平均應力對結構疲勞壽命的影響不可忽略，一般情況下，拉伸平均應力對疲勞壽命具有削弱作用，壓縮平均應力對疲勞壽命具有促進作用，本文主要考慮拉伸平均應力.針對Manson-Coffin模型未能考慮平均應力影響的缺點，Morrow提出了相應的平均應力修正準則，并將其引入到Manson-Coffin公式中提出了僅對結構彈性應變部分進行平均應力修正的模型[6]：

(4)

(5)

式中，σar=σf′(2Nf)b為等效對稱應力幅值，σa為循環應力幅值，σm為平均應力.

同樣地，Smith、Watson和Topper也提出了一種平均應力修正準則(SWT平均應力修正準則)：

(6)

式中，σmax=σm+σa是最大應力值.同時他們認為在給定疲勞壽命下，最大應力σmax和循環應變幅εa兩者的乘積會保持不變，因此假設在一個循環周期中的疲勞損傷量是通過SWT參數σmaxεa確定的，并結合式(6)提出了SWT參數模型[7]：

(7)

對比式 (4)～(7) 可以看出，兩種改進模型都是在Manson-Coffin模型的基礎上對疲勞強度系數σf′進行修正，Morrow改進模型假設疲勞強度系數σf′與平均應力σm之間是一次函數關系，而SWT參數模型則是假設兩者之間是冪函數關系.文獻[9]則認為疲勞強度系數損傷的嚴重程度取決于平均應力σm和強度極限σb之間的相對量度，并采用指數應力函數的形式來反映疲勞強度系數σf′與平均應力σm之間的非線性關系，即：

(8)

Nk=Nfexp(-σm/σb)1/b

(9)

2 Manson-Coffin模型的改進

根據Basquin公式可知，疲勞強度指數b通常為負值，當應力幅值一定時，疲勞壽命Nf和疲勞強度系數σf′為正比關系，由于平均應力使疲勞裂紋尖端保持張開，能夠加速疲勞損傷的累積過程，使得疲勞壽命減少，從而引起σf′的降低，即可以假定σf′是σm的某一函數，即σf′=f(σm).大量的理論和試驗數據證明，材料的疲勞壽命在加載的過程中以非線性函數的形式變化，因此假定疲勞強度系數和平均應力這兩者之間是非線性函數關系是可取的，符合疲勞裂紋擴展的規律.

需要注意的是，一方面，只有當施加的最大應力小于材料的強度極限時，才會發生疲勞破壞而不是單調破壞，而屈服極限是表征工程材料塑性行為及其相關疲勞性能的關鍵指標，其對于低周疲勞壽命的影響也是不可忽略的.Soderberg曾提出一種極限應力線來補償拉伸平均應力的影響，將屈服極限引入到平均應力修正準則中，以此來考慮屈服極限的影響[13]，但后續試驗表明只考慮屈服極限而得出的結果會比較保守[14]，因此應該綜合考慮強度極限和屈服極限兩個因素.另一方面，因為材料的力學性能差異，不同材料的平均應力效應明顯不同，文獻[10]認為材料對平均應力影響的靈敏度和屈服極限、強度極限存在一定的內在聯系，由此可得平均應力對每種材料疲勞壽命的影響程度與屈服極限σs和強度極限σb有關.綜上，可以認為疲勞強度系數σf′的平均應力損傷程度與屈服極限和強度極限的相對量度σs/σb有關.

考慮到文獻[9]通過平均應力與強度極限的相對量度σm/σb的指數應力函數形式來體現平均應力對疲勞強度系數的非線性影響具有較好的預測性能，本文改進模型中亦將相對量度σm/σb作為基本變量，并采用指數應力函數形式對疲勞強度系數σf′進行修正.根據上述分析，對疲勞強度系數σf′進行平均應力修正時，除考慮相對量度σm/σb的影響外，還需進一步考慮屈服極限和強度極限的相對量度σs/σb對平均應力以及疲勞強度系數的影響.此外，在低周疲勞區域，塑性變形會減弱或消除平均應力對疲勞強度的影響，因此主要考慮彈性部分的平均應力修正.綜上，給出改進的預測模型為：

(10)

3 算例及對比分析

為驗證本文改進的Manson-Coffin模型的疲勞壽命預測能力，采用SAE 1045 HRC 55鋼、7075-T651鋁和16MnR鋼[4,15-16]三種材料的低周疲勞壽命試驗數據進行疲勞壽命預測，同時為驗證改進模型的有效性和準確性，將其疲勞壽命預測結果與其他改進模型的預測結果進行對比分析.

SAE 1045 HRC 55、7075-T651和16MnR三種材料的疲勞性能參數的試驗值見表1，表2～表4分別給出了三種材料的疲勞壽命試驗值和不同模型的預測值，表中應力σ單位均為MPa，疲勞壽命N的單位均為cycle.由表2～表4的結果可以看出，本文改進模型的預測結果比較接近試驗值，具有較高的預測精度.為了量化不同模型的疲勞壽命預測誤差，這里采用文獻[17]中的方法，定義預測對數壽命與試驗對數壽命之差δ為預測誤差，即：

表1 SAE 1045 HRC 55、7075-T651和16MnR疲勞性能參數

表2 SAE 1045 HRC 55鋼疲勞壽命試驗值和不同模型預測值

表3 7075-T651鋁疲勞壽命試驗值和不同模型預測值

表4 16MnR鋼疲勞壽命試驗值和不同模型預測值

δ=lg(Nf)-lg(Nt)

(11)

均方差是總結模型預測誤差集中趨勢和擴散的良好統計量，計算均方差作為壽命預測模型的度量， 不同模型的疲勞壽命預測的均方差值見表5.

表5 不同模型疲勞壽命預測的均方差值

由表5的計算結果可知，本文改進模型對各個材料的壽命預測均方差值均最小，偏離試驗值的程度最低，顯示了良好的預測穩定性、準確性和適用性.

圖1(a)～1(c)分別針對三種材料，將本文改進模型的疲勞壽命預測結果與SWT參數模型和文獻[9]中模型的預測結果進行了對比.

(c)16MnR鋼圖1 不同模型疲勞壽命預測值對比

從圖1可以看出，對于SAE 1045 HRC 55鋼，本文改進模型預測結果最優，明顯優于SWT參數模型和文獻[9]模型的預測結果，三種模型分別有60%、30%和40%的數據位于±1.5倍誤差帶內；對于7075-T651鋁，三種模型的預測結果比較接近，大部分數據均在±1.5倍誤差帶內，預測精度均較高，本文改進模型略優于其他兩種既有模型，同時顯示了SWT模型對于鋁制材料的預測效果也較好；對于16MnR鋼，本文改進模型的預測結果十分接近試驗值，預測數據均在±1.5倍誤差帶內， 預測精度顯著高于SWT參數模型和文獻[9]模型，其中SWT參數模型的預測結果最差，預測數據幾乎都在1.5倍誤差帶以外.綜上，本文改進模型對非對稱載荷下結構的低周疲勞壽命預測是比較有效和準確的，相比于傳統Manson-Coffin模型、SWT模型以及文獻[9]模型，本文改進模型的預測精度均有較為明顯的提高.

4 結論

(1)為了解決平均應力對疲勞壽命影響的問題，在采用相對量度σm/σb的指數應力函數形式基礎上，引入屈服極限和強度極限的相對量度σs/σb來修正疲勞強度系數σf′，以此對Manson-Coffin模型進行改進.所提出的改進模型反映出了疲勞強度系數和平均應力之間的非線性關系以及極限應力之間的相對量度對兩者之間關系的影響；

(2)采用三種常用材料的疲勞試驗數據，對改進模型的合理性和有效性進行驗證，結果顯示本文改進模型的預測結果與試驗數據吻合良好，疲勞壽命的預測精度相較于傳統Manson-Coffin模型，其既有模型得到了明顯的提高，且形式較為簡單，便于應用于工程結構的疲勞壽命預測.