強關聯電子體系的量子蒙特卡羅計算*

許霄琰

(上海交通大學物理與天文學院,上海 200240)

理解強關聯電子體系是一個長期的重要目標,該體系的魅力不僅在于其背后蘊藏著深刻的物理,還在于其中涌現出的豐富物質態在量子調控、量子計算等領域具有巨大的潛在應用價值.同時,理論上非微擾地理解強關聯電子體系是極其困難的,一直充滿挑戰.量子蒙特卡羅計算是一類非微擾計算的標準方法,有助于對強關聯電子體系提供非微擾的理解,因而廣泛運用于凝聚態和高能物理領域.然而,量子蒙特卡羅計算通常會受到負符號問題的困擾.本文將具體介紹一些無負符號關聯電子模型的設計思路,并討論我們近期提出的符號邊界理論.通過設計無負符號或者具有代數符號行為的強關聯電子模型,可以幫助人們研究很多重要的量子多體問題,包括巡游磁性量子臨界行為、非常規超導和磁性序的競爭,以及莫爾(moiré)量子物質中的關聯物相與相變等.

1 引言

強關聯電子體系的研究可以追溯到80 多年前一些部分填充的過渡金屬氧化物絕緣體的發現[1].眾所周知,晶格中的電子運動受到周期性晶格勢場的作用,在近自由電子近似的框架下,電子能級形成以波矢標記的能帶,同時由于泡利不相容原理,電子依能量從低往高填充能帶,占據費米面以下的電子態.這種近自由電子能帶理論的圖像幫助人們對固體材料進行金屬、絕緣體和半導體的劃分.進一步,朗道的費米液體唯象理論建立了相互作用下的費米液體與無相互作用費米子體系的對應關系,并論證了費米面附近的準粒子在低溫下的穩定性,后來的微擾重整化群的計算[2?5],也進一步論證了費米面在短程庫侖排斥相互作用下的穩定性.朗道的費米液體理論給出了關于金屬很多性質的預言,比如電阻與溫度的二次方關系,比熱與溫度的線性關系等.結合能帶理論和費米液體理論,通常認為低溫下金屬是較為穩定的,注意這里暫不討論超導不穩定性.因此,當實驗上發現一些能帶部分填充的過渡金屬氧化物不是金屬反而是絕緣體時,能帶理論和費米液體理論都遇到了困難.超越能帶理論和費米液體理論實驗現象的發現,使得早期人們就意識到了電子間強關聯相互作用可能導致的不可微擾性.從電子間庫侖相互作用出發,可導出一些圖像簡潔、物理極為豐富的強關聯電子有效模型,例如哈伯德模型和t-J模型.這些模型普遍被認為可以用來描述過渡金屬氧化物中電子關聯驅動的金屬-絕緣體轉變,以及摻雜的莫特絕緣體等[6?8].

20 世紀80 年代末以來,隨著銅基高溫超導材料的發現[9],對于強關聯電子模型的研究逐漸深入,人們希望通過對這些強關聯電子模型的研究揭示銅基高溫超導材料中豐富的物理性質[6?8].銅基高溫超導材料具有非常豐富的相圖[10],在欠摻雜區存在所謂的贗能隙,并且存在多種序的交織競爭,電荷漲落、反鐵磁漲落和庫珀對漲落等交織在一起[11],讓問題變得復雜.而在最佳摻雜超導相以上,有所謂的奇異金屬行為,在奇異金屬中,電阻與溫度的關系偏離費米液體理論所預言的二次方關系,表現出非費米液體行為.除了過渡金屬氧化物,在鐵基超導、重費米子和過渡金屬合金等材料磁序或電荷序相變的邊緣,人們也觀測到了比較普遍的費米液體不穩定性,并發現了奇異金屬行為[12].近年來,人們對莫爾(moiré)超晶格材料中可能存在的強關聯電子行為也產生了極大的研究興趣[13?18].強關聯電子中不僅蘊藏著豐富的物理特性,其中涌現出的新奇物態更是具有巨大的潛在應用價值.以具有量子阻挫的莫特絕緣體為例,其中可能存在具有長程糾纏的量子自旋液體態,可支持具有非阿貝爾統計的任意子激發[19],具有用于量子計算的潛力.

盡管強關聯電子體系已經發現數十年并且較為普遍存在,但如何理解其中的物理依然是如今凝聚態物理研究的重要課題.微擾論的角度是一個非常好的出發點,可惜很多強關聯電子問題卻是不可微擾計算的(本文中后面提到的巡游磁性量子臨界問題就是一個非常好的例子),因而其中一條極其艱難的道路就是尋找強關聯電子模型的嚴格解,無論是解析上還是數值上的嚴格解均具有重要意義.量子蒙特卡羅計算是一類標準的非微擾數值計算方法,廣泛運用于凝聚態和高能物理中.給定一個體系w,在某個特定的表象下給出體系的配分函數這里給配分函數引入一個下標w,用以標記該配分函數是以wc標記的權重對所有構型c 的求和,這一標記對于后面的討論會有幫助.對于一個量子問題,如果可以找到一個表象使得wc總是非負實數,那么wc就可以被解釋成經典概率,從而可以設計蒙特卡羅算法來做重要性抽樣計算;如果不考慮可能會出現的抽樣慢化等問題,通常這也就意味著找到了一個多項式復雜度的計算方法,并且通過增加樣本數,大數定理可以保證觀測量的誤差是可控收斂的.但是,對于很多模型我們目前還不知道如何找到表象使得wc總是非負實數,通常的做法就是引入一個具有同樣構型空間的參考系統v,其配分函數為,它的所有構型的權重vc都是非負實數.依賴這個參考系統的抽樣,觀測量可寫成 〈O〉〈O〉v/〈sign〉v,〈O〉v是觀測量在該參考系統中的觀測值〈sign〉v是所謂的符號觀測值,它等于兩個系統配分函數的比值,,這里 ?f是原始系統和參考系統的自由能密度差,且通常 ?f≥0 (例如通常取vc|wc|,可證Zw≤Zv).可見這個符號觀測值通常與系統尺寸成指數關系衰減到零,使得觀測量誤差出現指數性的放大.為了取得可控的蒙特卡羅誤差,樣本數也需要指數性地增大,因此計算復雜度變為指數型,這就是所謂的負符號問題,以及人們對它的通常理解.人們曾經證明如果可以有效解決非確定性多項式(non-deterministic polynomial,NP)問題,那么解決NP 問題的方案可以用來解決符號問題[20],這樣一來很多強關聯電子問題就可以迎刃而解,然而這還未發生.但這一點并不表明負符號問題是一個NP 問題,并且事實上一些量子多體模型的負符號問題已經被解決,感興趣的讀者可以參考文獻[21]中引用的諸多文獻.

行列式量子蒙特卡羅方法是一類重要的量子蒙特卡羅算法,主要用于處理關聯電子體系,特別是定義在晶格上的強關聯電子模型.行列式量子蒙特卡羅方法又稱BSS (Blankenbecler-Scalapino-Sugar)算法[22],可以直接用于計算費米子-玻色子耦合格點模型,也可以用于處理費米子多體相互作用模型,其中相互作用項可以通過HS (Hubbard-Stratonovich)變換轉換成費米子與玻色子耦合的形式.行列式量子蒙特卡洛方法已經廣泛運用于強關聯電子體系,比較具有代表性的有求解半滿二分晶格上的哈伯德模型[23?28]、Kane-Mele-哈伯德模型[29?31]、半滿近藤模型[32]、Holstein 模型[33,34]、t-V模型[35,36]和規范場與費米子物質場耦合模型[37?39]等,不一而足.近年來隨著對于去負符號的人工設計模型的探索[40?42],行列式量子蒙特卡羅也推動了巡游磁性量子臨界行為的研究.

本文將總結我們在去負符號關聯電子模型設計方面的思路,介紹我們提出的符號邊界理論,并列舉幾個典型的量子蒙特卡羅計算的具體實例,包括:1)研究巡游磁性量子臨界行為,觀測巡游磁性量子臨界點上的非費米液體行為,并在非微擾的數值計算中發現巡游鐵磁量子臨界區中費米子自能與頻率的冪律關系;2)研究有節點的d-波超導和反鐵磁序的競爭,以及可能產生的新的物質相和相變;3)研究魔角雙層石墨烯相關有效模型中的豐富物質態.限于篇幅,這里無法具體介紹所有無負符號強關聯電子問題量子蒙特卡羅計算方向的重要進展,希望讀者可以借助文中引用的一些最新的綜述類參考文獻[40?43],獲得一個更為全面的認識.同時,本文的側重點主要分析負符號問題,因此,不會重點介紹具體的行列式量子蒙特卡羅算法,感興趣的讀者可以參考文獻[22,44,45];對于其中具體模型的計算結果僅做簡要介紹,感興趣的讀者請參考每個模型研究對應的特定文獻.

2 負符號問題與去負符號關聯電子模型的設計

2.1 行列式量子蒙特卡羅計算中的負符號問題

2.2 去負符號關聯電子模型的設計思路

這一無負符號問題的充分條件在設計人工去負符號問題關聯電子模型方面具有較為廣泛的指導意義.比如對于一個單軌道且考慮費米子自旋的晶格模型,在HS 變換之后,粒子數守恒的費米子雙線性算符記為c?hc,可以通過給定一個反幺正算符來約束費米子雙線性算符的形式.比如給定反幺正算符Uiσ2K(U2?1 ,i為虛數單位,σi=1,2,3為泡利矩陣,K為復共軛操作),與該反幺正算符對易的費米子雙線性算符在自旋空間具有通式h ～σ0+iσ1+iσ2+iσ3,這里省去了泡利矩陣前的實數系數和格點指標,σ0表示單位矩陣.符合該通式的模型就是沒有負符號問題的.2.1 節提到的吸引相互作用的哈伯德模型,其HS 變換后的費米子雙線性項h ～σ0就符合以上通式,所以從這個角度看也是沒有負符號問題的.這種討論可以很容易推廣到更多軌道問題,比如對于一個兩軌道問題,可供選擇的反幺正且U2?1的算符有Uiσ02K,Uiσ12K和Uiσ23K,這里σijσi ?σj,額外引入的泡利矩陣用于表示軌道自由度.利用這一規則規避負符號問題的例子很多,比如在文獻[50]中,費米子雙線性算符具有σ00+σ11+σ12+σ13的形式,與反幺正算符 iσ32K對易;在文獻[51]中,費米子雙線性算符具有σ00+σ03的形式,與反幺正算符 iσ20K對易;在文獻[52]中,費米子雙線性算符具有σ00+σ01+σ02的形式,與反幺正算符iσ21K對易.

同時,還要補充一點,對于二分晶格體系上具有粒子空穴對稱性的模型,有時可以通過部分粒子空穴變換來獲得無負符號的費米子雙線性算符形式.例如對于二分晶格上半填充排斥相互作用的費米子哈伯德模型,如果僅有不同子格間躍遷,那么可以重新定義費米子產生和湮滅算符,例如定義新的上自旋湮滅算符新的下自旋湮滅算符新的產生算符由新的湮滅算符取厄密共軛得到,在該定義下躍遷部分的形式不變,相互作用部分從變為,當HS 變換到新的“自旋”通道時費米子雙線性算符在自旋空間具有σ0+iσ3的形式,與反幺正算符 iσ2K對易,因而沒有負符號問題.

自從2013 年以來,又發現了更多類型對稱保護的無負符號問題.首先是半滿的自旋極化的具有排斥相互作用的電子模型(t-V模型)的負符號問題被通過所謂的費米口袋方法所解決[53].之后又發現了更多新的框架可解決t-V模型的負符號問題,包括連續時間蒙特卡羅[54]以及突破性地采用Majorana 表象[35]等,更有意思的是這些新的框架顯示了一定的可拓展性,可用于解決一些其他類型模型的負符號問題.這些發展也啟發了后續總結和發現分裂正交群[36]、Majorana 時間反演[55]、Majorana 反射正性[56]、半群[57]、贗幺正群[39]等一系列無負符號問題指導規則,限于篇幅我們不能一一介紹.

2.3 符號邊界理論

盡管規避負符號問題的指導規則非常有用,但是還有很多重要模型的負符號問題沒有得到解決,極具代表性的有一般填充的排斥相互作用哈伯德模型、t-J模型等.因此,很有必要搞清楚負符號問題本身的特性,可惜人們在這方面的見解還很有限.

正如引言中的說明,人們通常認為如果無法找到一個表象使得任意構型的權重都是非負的,那么需要引入權重非負的參考系統,在參考系統中符號測量平均值會隨著系統大小指數衰減為零.然而,我們近期的研究發現符號測量平均值的行為是很豐富的,在一些情況下呈指數衰減,而在另外一些情況下卻可以是多項式衰減[58].基于此,我們提出了符號邊界理論[21],認為低溫下符號問題的表現與原始系統以及參考系統的基態能量和基態簡并度有關,這建立了負符號問題與模型本身物理性質的直接聯系,對于規避、減輕、甚至運用負符號問題均具有重要意義.

以上關系意味著:1)如果EwEv,符號的測量值的邊界僅與兩個系統的基態簡并度比值有關,而系統的基態簡并度通常可能只是系統大小的多項式函數;2)如果EwEv,符號測量值指數趨于零;3)通過對符號的有限尺度行為分析和參考系統的基態能量和基態簡并度的計算,可以反推系統的基態性質.

在第5 節中,結合(1)式和(2)式,構造了兩類模型,其參考系統與目標系統的基態能量相等,并且基態簡并度是系統尺寸的多項式函數,因而具有代數符號邊界行為.需要指出,如何從一般意義上構造與目標系統具有相同基態能量的參考系統是極其困難的問題,也是后續研究努力的方向之一.

3 去負符號自旋-費米子耦合模型

3.1 巡游磁性量子臨界行為

巡游磁性量子臨界現象通常發生在銅基和鐵基超導、重費米子以及過渡金屬合金中磁性連續相變的邊緣,在巡游磁性量子臨界區里準粒子權重隨著溫度降低趨于零,說明在這里面建立在準粒子圖像上的費米液體理論不再適用,表現出非費米液體行為,又稱奇異金屬行為.解析上的工作可以追溯到著名的基于單圈圖計算的Hertz-Millis-Moriya理論框架[59?61],在這一框架下,無論動力學臨界指數z2(對應反鐵磁情況),還是z3 (對應鐵磁或者向列序的情況),當維度d≥ 2 時,d+z總是大于等于上臨界維度4,因此它會預言平均場型的臨界指數.雖然單圈圖計算對于費米液體是可靠的,但對于非費米液體卻還未有定論.對于巡游鐵磁量子臨界問題,二階微擾理論發現費米子自能具有ω2/3的形式,數冪次也表明在任意階微擾都能重現費米子自能的ω2/3形式[62],并且早期人們相信大N展開可以讓任意階的微擾收斂可控[63?65],似乎問題已經解決.但是來自McMaster 大學的Lee[66]發現了前人遺漏的一類費曼圖使得大N展開不再是收斂的,所以巡游鐵磁量子臨界問題仍然是未解謎題.后續的代表性工作還包括更多圈圖的計算,發現可能存在的對數修正[67].對于巡游反鐵磁量子臨界問題,微擾重整化群的計算[68,69]發現了反常維度的存在,且動力學臨界指數顯示出偏離z2.這些解析工作極大推動了我們對于巡游磁性量子臨界問題的理解.在數值上,一般填充的哈伯德模型等強關聯電子模型在已知的量子蒙特卡羅計算框架下是有負符號問題的,因此直接通過求解這些關聯電子模型來獲得巡游磁性量子臨界問題的非微擾的數值理解目前還不可行.但這并不表明我們無法取得任何進展,特別是如果我們主要只關心巡游磁性量子臨界區里的普適物理,那么可以忽略很多材料細節,設計出一個有效模型,它描寫了巡游費米子和磁性漲落的耦合,同時還可以設計成無負符號問題.有了這樣的無負符號問題的自旋-費米子耦合模型,通過研究它們的相圖,找出量子臨界點的位置,就可以具體研究巡游量子臨界點上的普適性質.這一數值研究的路徑似乎是很完美的,2012年Berg 等[50]發表在科學雜志上的工作以及后續工作[70,71]首次進行了這樣的嘗試.然而可惜的是在這些研究中巡游磁性量子臨界區被很大的超導區域掩蓋,從而難以研究臨界點本身的性質.可見,設計一個超導區域被極大壓制的巡游磁性量子模型是很有必要的.接下來將介紹我們圍繞這個方向進行的探索[51].

在介紹反幺正對稱性保護無負符號問題中,提到費米子雙線性算符具有σ00+σ03的形式是沒有負符號問題的,這一形式可用于設計費米子與伊辛自旋耦合格點模型.這是一個兩軌道簡并的模型,并且對于每個自旋均具有一個軌道空間的U(2) 對稱性,即體系的對稱性為U(2)×U(2)×Z2,這里的Z2是伊辛對稱性.并且發現,其中最易于發生配對的通道是兩分量的軌道單態-自旋三重態,由于在我們的模型中自旋僅有U(1) 對稱性,軌道單態-自旋三重態在有限溫是可以存在的,但在很低的溫度下都沒有發現超導轉變,表明這個模型非常適合用來研究量子臨界點的性質.具體的晶格模型為HHf+Hb+Hc,其中Hf是費米子項,描寫了晶格上費米子的躍遷,費米面的大小由化學勢μ來調控,

Hb是橫場伊辛項,伊辛量子漲落由橫場和伊辛自旋相互作用的比值h/J來調控,

Hc是耦合項,伊辛自旋漲落和費米子的耦合由ξ來調控,

這里,費米子算符ci是四分量的(兩自旋和兩軌道),i是格點指標;是單格點密度算符;X,Y,Z表示自旋算符的3 個分量.根據J的正負可以研究反鐵磁或鐵磁的情況.h/J可以調控伊辛自旋的磁有序到無序的相變,通過耦合項,費米子也會發生磁有序到無序的相變.計算發現,耦合項會驅動磁性相變偏離普通的伊辛相變,實現巡游磁性量子臨界點.

3.2 反鐵磁自旋-費米子模型中的非費米液體行為

首先考慮J >0,即反鐵磁的情況,并且選擇類似銅基超導材料的費米面.費米面上被Q(±π,±π)聯系的熱點附近的物理是我們關注的,為了更有效地抓住這部分的物理,我們提出了動量選擇的超大尺寸(EMUS)量子蒙特卡羅方法[72].圖1(a)是巡游反鐵磁量子臨界模型示意圖[73],其中λ1,2是上下層(軌道)指標,費米子僅在層(軌道)內躍遷,中間層為橫場伊辛自旋模型,與上下層(軌道)通過自旋相互作用耦合.圖1(b)所示為EMUS動量空間網絡,其中K和K'都是熱點,通過(±π,±π)聯系起來,在EMUS 的框架下,只關注熱點附近的費米子,從而大大減少了參與計算的費米子自由度.圖1(c)是巡游反鐵磁量子臨界模型的相圖,DQMC 表示利用常規行列式量子蒙特卡羅方法計算的結果,EQMC 表示利用EMUS 計算的結果,發現雖然EMUS 給出相變點的位置不同,但具有和DQMC 結果類似的臨界行為.此外,熱點附近的準粒子權重隨著溫度趨于零,表現出非費米液體行為,并且通過對自旋關聯的標度分析發現可能存在反常維度的修正[73].

圖1 巡游反鐵磁量子臨界晶格模型和計算結果[73] (a) 巡游反鐵磁量子臨界模型示意圖;(b) EMUS 動量空間網格;(c) 巡游反鐵磁量子臨界模型的相圖Fig.1.Itinerant antiferromagnetic quantum critical lattice model and results[73]:(a) Schematic diagram of itinerant antiferromagnetic quantum critical lattice model;(b) momentum mesh for EMUS;(c) phase diagram of itinerant antiferromagnetic quantum critical lattice model.

3.3 鐵磁自旋-費米子模型中的非費米液體行為

在巡游反鐵磁問題中,費米面上僅有有限個熱點,而在巡游鐵磁中整個費米面都是熱點,這是二者的根本區別.在巡游鐵磁模型的計算中,發現整個費米面上的準粒子權重都隨溫度趨于零,表現出非費米液體行為.通過對自旋關聯的標度分析發現,自旋磁化率具有類似Hertz-Millis 的形式,并且可能存在反常維度[51].進一步的數據分析表明,費米子的自能和頻率的關系可以很好地被修正的Eliashberg 理論所描述[74],有限溫費米子的自能可以分成兩部分.其中一部分來自于熱漲落的貢獻,在低頻下具有類似 1/ωn的行為,如圖2(b)所示;另一部分來自于量子貢獻,在低頻極限下逼近費米子自能和頻率的2/3 冪律行為,如圖2(c)所示.

圖2 巡游鐵磁量子臨界晶格模型計算結果[74] (a) 巡游鐵磁量子臨界晶格模型示意圖;(b) 巡游鐵磁量子臨界點上費米子自能虛部和頻率的關系;(c) 扣除熱漲落的貢獻之后,費米子自能虛部與頻率的關系Fig.2.Results of itinerant ferromagnetic quantum critical lattice model[74]:(a) Schematic phase diagram of itinerant ferromagnetic quantum critical lattice model;(b) the relation between imaginary part of fermionic self-energy at itinerant ferromagnetic quantum critical point and Matsubara frequency;(c) after deducting the thermal effect,the relation between the imaginary part of the fermionic self-energy at itinerant ferromagnetic quantum critical point and Matsubara frequency.

4 非常規超導無負符號問題模型

在強關聯體系中非常規超導的出現通常伴隨著和磁序的交織競爭,因此非微擾地理解非常規超導和磁序間可能存在的相變是非常重要的.非常規超導可以通過摻雜莫特絕緣體來實現,比如銅基中有節點的d-波超導.從數值計算的角度來說,這是非常具有挑戰性的.同時考慮關聯和摻雜通常會帶來負符號問題,因此數值上還不能非微擾地研究有節點的超導和反鐵磁序的競爭.但是需要注意的是有節點的d-波超導和反鐵磁的實現并不一定需要摻雜,因此可能存在半滿的無負符號問題的關聯電子模型可以實現它們的競爭.從實驗上來說,人們的確發現一些材料在壓力調控下可以實現反鐵磁莫特絕緣體到非常規超導的轉變[75?80].

通過考慮幾種特殊情況可以獲得以上模型相圖的初步認識.當U/t ?1 且K/J ?1,體系處于反鐵磁態;當U/t ?1 且K/J ?1,體系處于d-波超導態.平均場的計算也表明了這一點,如圖3(b)所示,除了反鐵磁態(AFM)和d-波超導態(dSC),還存在一個有能隙的d-波超導和反鐵磁共存態(dSCg+AFM).

圖3 d-波超導和反鐵磁競爭晶格模型[81] (a) 模型示意圖(黑色圓點表示費米子格點,上面定義了一個僅有最近鄰躍遷的哈伯德模型;菱形點上定義了量子轉子模型,紅色和藍色表示轉子與費米子橫向和縱向庫珀對算符的耦合具有相反的相位);(b) V/t=0.5 時,模型的平均場相圖Fig.3.Lattice model with competition of d-wave superconductivity and antiferromagnetic[81]:(a) Schematic diagram of the lattice model (The black dots denote fermion sites,onside is a Hubbard model with only nearest neighbor hopping.A quantum rotor model is defined on diamond points,where red and blue colors denote opposite phase of the coupling between the rotors and the cooper pairing operator along horizontal direction and the vertical direction);(b) the mean-field phase diagram of the model at V/t=0.5.

由于該模型沒有負符號問題,進一步進行量子蒙特卡羅計算,確認了dSCg+AFM 態的存在,更有意思的是發現dSCg+AFM 態到反鐵磁態的相變屬于3 維XY相變,d-波超導態到dSCg+AFM態的相變可以被Heisenberg-Gross-Neveu 理論所描述.

5 量子莫爾材料關聯電子模型

通過晶格失配或者轉角產生莫爾勢場對電子態的調控是近幾年的熱點問題[13,14].目前得到熱點關注的石墨烯和過渡金屬二硫化物莫爾體系的莫爾勢場的周期通常都在幾十個晶格常數的量級,由于能帶折疊和雜化,費米面附近出現窄帶,電子動能受到壓制,相互作用的效果顯現出來.比如在轉角雙層石墨烯中,當轉角在所謂的魔角(約為1.1°)附近時,庫侖相互作用大概為25 meV 左右,而根據能帶計算費米面附近的能帶帶寬在10 meV以下,可見體系可能處在一個中間到強關聯的區域[82].魔角雙層石墨烯的另一個顯著特征是由于電子態的拓撲性質而缺乏一個盡可能對稱且簡潔的緊束縛的描述[83?85].在魔角雙層石墨烯的早期研究中主要考慮關聯效應,發現定義在蜂窩晶格上的團簇電荷關聯模型可能是一個出發點[85,86],更進一步的理論分析發現在團簇電荷相互作用的基礎上,還需要考慮修正[82],這一修正顯著改變了基態的相圖,可能用于理解半滿的魔角石墨烯的基態.除了實空間模型,另一條互補的路徑是考慮動量空間的模型[87,88,21].基于Bistritzer-MacDonald 模型[89],僅考慮費米面附近的四條窄帶(谷自由度(又稱為軌道自由度)和子格自由度)以及自旋自由度,并考慮相互作用在這四條窄帶上的投影,這樣構造的模型在粒子空穴對稱近似和半滿情況下也是沒有負符號問題的.

5.1 團簇電荷關聯模型

接下來介紹團簇電荷關聯模型[85,86,90,91].團簇電荷關聯模型的建立與魔角雙層石墨烯的瓦尼爾函數形狀有關.如果將瓦尼爾函數的中心放在一個三角格子上,那么布洛赫波函數在K點和Γ點應該具有同樣的對稱變換性質,而計算表明K點和Γ點上布洛赫波函數屬于不同的表示,恰好可以將瓦尼爾函數的中心放在一個蜂窩格子上,盡管粒子數密度的中心是在蜂窩格子的對偶格子(三角格子)上[83?85].這種瓦尼爾函數具有指尖陀螺的形狀,使得在位、近鄰、次近鄰和次次近鄰相互作用都很重要.團簇電荷關聯模型可以將這些相互作用都囊括其中.具體來說我們考慮的團簇電荷關聯模型是定義在一個蜂窩晶格上.把每個最小六角單元(用P 標記)上各格點電荷之和定義為團簇電荷;團簇電荷相互作用項為HU分別考慮了單谷和雙谷模型,分別對應只考慮一個谷自由度和兩個谷自由度的情況.ρi是電子數密度算符,對于單軌道模型,定義;對于雙軌道模型,定義文獻[86]中,我們考慮電子動能部分簡單被最近鄰躍遷描述,研究此時該模型本身可以實現什么樣的基態.對于半填充的情況,如果定義,那么在HS 變換之后,費米子雙線性算符在自旋空間具有形式σ0+iσ3,與反幺正算符Uiσ2K對易,且U2?1,所以是沒有負符號問題的.通過量子蒙特卡羅計算,發現對于單谷模型,增大相互作用體系實現從狄拉克半金屬態(SM)到具有Kekulé圖案的柱狀價鍵固體態(cVBS)轉變,進一步增大相互作用體系進入反鐵磁絕緣體態(AFMI) (如圖4(a)和圖4(b)所示);對于雙谷模型增大相互作用體系從SM 到塊狀價鍵固體態(pVBS),進一步增大相互作用體系進入cVBS 態(如圖4(c)和圖4(d)所示).

5.2 修正的團簇電荷關聯模型

Kang 和Vafek[82]進一步指出在團簇電荷相互作用之外,還有修正項,這一修正項來源于近鄰瓦尼爾函數的交疊.修正后的相互作用部分具有形式是定義在最小六角單元上的躍遷,其中隱含了對自旋指標的求和,λ標記了谷自由度,. 這里的θλ可以通過對瓦尼爾函數的U(1)變換吸收掉.定義,考慮半填充,那么HS 變換后的費米子雙線性算符在自旋/谷/子格空間具有 iσ300+iσ332sinθ+iσ001cosθ的形式,與反幺正算符Uiσ203K對易,且U2?1,所以是沒有負符號問題的.在這基礎上加上子格間的動能躍遷項(具有σ001的形式),同時取θπ/2 時,則與反幺正算符Uiσ210K對易,且U2?1,所以也是沒有負符號問題的.修正項極大改變了團簇電荷的基態相圖(如圖4(e)和圖4(f)所示),在很弱的相互作用下基態是量子谷霍爾態(QVH),增大相互作用體系相繼進入谷間相干態(IVC),cVBS,以及最終再次進入IVC.這豐富的相圖可能幫助我們理解魔角雙層石墨烯半填充時的基態.

圖4 團簇電荷關聯模 型示 意圖(a),(c),(e)和相圖(b),(d),(f)[92] (a),(b) 單 谷(軌道)模型;(c),(d) 雙谷(軌道)模型;(e),(f) 修正后的雙谷(軌道)模型Fig.4.Schematic diagram (a),(c),(e) and phase diagram (b),(d),(f) of cluster charge correlation model[92]:(a),(b) Single-valley(orbital) model;(c),(d) two-valley (orbital) model;(e),(f) modified two-valley (orbital) model.

要進一步指出對于修正的團簇電荷關聯模型的強耦合極限,即僅考慮相互作用部分,對于非半填充是有負符號問題的,但其1/4 填充時的符號測量值具有代數標度行為[58].這一代數標度行為可以由我們提出的符號邊界理論加以理解.

5.3 動量空間關聯模型

6 結語

本文總結了部分去負符號關聯電子模型的設計思路,其中基于反幺正對稱性的無負符號條件具有廣泛的運用場景,包括設計巡游磁性量子臨界模型和非常規超導與磁性序競爭模型等.總結了最近提出的符號邊界理論,它為負符號問題提供了新的認識,將負符號問題與模型的物理性質直接聯系起來,指出符號觀測值的尺寸依賴是很豐富的,除了已知的指數衰減行為,還可以表現出代數衰減行為,為進一步規避、減輕、甚至運用負符號問題提供了新的方向.通過列舉具體的具有代數符號行為的模型,說明符號邊界理論是可以用于莫爾量子物質等關聯電子模型的計算.

通過去負符號的量子蒙特卡羅計算,可以從非微擾數值的角度加深對于強關聯電子體系的理解.通過設計無負符號巡游磁性量子臨界模型,觀察到了巡游磁性量子臨界點上的非費米液體行為,并發現了巡游鐵磁量子臨界區中費米子自能與頻率的冪律關系.通過設計無負符號的關聯電子模型研究了具有節點的d-波超導到反鐵磁的相變,并發現了其相變普適類.借助符號邊界理論,還研究了量子莫爾材料關聯電子模型中的豐富物態,可能幫助理解量子莫爾材料中發現的新奇物態.

我們進一步展望,通過調節原始系統和參考系統的基態能量差,符號邊界理論可能用于減弱很多模型中存在的負符號問題.

特別感謝張栩、潘高培、孟子楊在符號邊界理論工作中的合作和討論.感謝孟子楊、Patrick Lee、K.T.Law、Tarun Grover、孫鍇、戚揚、Fakher Assaad、劉子宏、陳闖、廖元達、潘高培、張栩、Yoni Schattner、Erez Berg、康健、張龍、許岑珂、Avraham Klein、Andrey Chubukov 等老師和同學的有益合作和討論.