配分函數的熱核展開研究

覃寶丞

（天津師范大學物理與材料科學學院 天津 300382）

0 引言

熱核作為一種數學方法被引入物理學中并起到了至關重要的作用，有了熱核就能夠非常容易地得到有關于這個算子的一些額外的信息，于是就有可能用熱核方法來求出某些譜求和函數丟失的信息。并且可以對統計力學中的正則配分函數作熱核展開以求得配分函數的近似展開式，這樣有利于對正則系綜后續的研究。

1 熱核定義與方法

熱核原本為熱傳導方程中初值問題的格林函數導出，經過推廣后，熱核成為一個算子最重要的譜函數之一[1-2]。熱核方法是量子場論中一種十分重要的方法，并且在統計力學中也有十分重要的應用[3-5]。

對于一個算子D而言，它的熱核K（t;x,y）有：

與初始條件

熱核K（t;x,y）的譜求和函數表示為

對于算子D，其熱核算子可定義為

則整體熱核的譜表示為

由式（4）我們可知：（1）熱核中必然包含算子D所代表的物理系統全部的動力學信息。（2）熱核中必然包含系統所處背景的全部信息。

因此熱核的核心是從熱核中提取算子本身或算子所處的背景信息。

對于一個拉普拉斯型的算子D，它的熱核可以展開成如下形式

其中d為空間維數。且在文獻[6-8]中，作者給出了協變微擾理論的第三階熱核。

2 熱核的微擾展開

熱核展開是研究單圈發散、異常和有效作用的各中漸進性的一個十分簡便且有效的工具。在這里僅介紹關于拉普拉斯算子的熱核的計算。

2.1 零階平直拉普拉斯算子的熱核

此時算子D的形式為

該拉普拉斯算子的解為

其中d表示空間維度，表示空間中兩點間的距離。

2.2 對有邊彎曲空間整體熱核展開

首先設無邊彎曲空間上的n維拉普拉斯型算子為

則算子D的整體熱核的短時漸近展開式為

前四階熱核系數ai（i=1～2）可以求出[2]

則對與彎曲有邊空間，算子（16）的整體熱核展開式為

其中bm與無邊情況的熱核系數相同，前三階的熱核系數可較易求得。對于狄利克雷邊值條件和諾伊曼邊值條件，有

3 經典正則配分函數與熱核

經典統計配分函數是統計力學中的核心函數，正則配分函數是又正則系綜引入的一個譜求和函數，它的具體形式為

該配分函數的譜表示為

其中H為粒子的哈密頓量。

則配分函數可應用由熱核與熱核展開得出的大部分結論。

一個譜函數是包含了一個系統的絕大部分的信息，e-Hβ可寫成矩陣的形式，即

因為正則配分函數是對e-Hβ取跡得到的，所以在對矩陣的對角元求和的過程中會丟失一定的信息，也就是矩陣中的其他矩陣元。又因為熱核實際上是熱核算子在坐標表象下的矩陣元，則可有式（15）求得上面矩陣中所丟失的關于坐標的信息，即

并且由上式求得矩陣元后可方便地得出關于位置坐標的定域配分函數,通過此定域配分函數可以計算出與位置有關的壓強等物理量，并與通過非定域配分函數得到的壓強相比較。

4 配分函數的熱核展開

由熱核展開的結果（18）我們可得到配分函數的熱核展開形式。

我們可直接得到n維空間內，即算子D為三維平直有邊空間上有相互作用的N個粒子的哈密頓量算子為

5 配分函數的集團展開

我們討論單原子分子的經典體系，設該體系含有N個分子，體系的總能量為

式中第1項表示分子的動能，第2項表示分子間相互作用的勢能。在勢能求和中，i和j都由1到N，但保持i

則正則配分函數為

為了計算上式的展開式，邁耶發展了集團展開的方法，得到了實際氣體物態方程的維利展開，若我們僅限于計算至二階維利系數，則配分函數可展開為[9]

6 配分函數熱核展開與集團展開的比較

由式（26）與式（29）可以看出在不含相互作用的項中，即

其中熱核展開的第一項中比集團展開多出了一部分修正項，即由狄利克雷邊值條件與諾伊曼邊值條件給出的關于邊界的修正，這正是由于集團展開中的配分函數是非定域的結果。

而在有相互作用的項中，即

可以看出，熱核展開的相互作用項只是平凡項，而集團展開由于近似則可以較精確地得出相互作用項。

綜上所述，可知若計算無相互作用的體系時，應用熱核展開則較精確。當計算有相互作用的體系時，應用集團展開可以得到較好的結果。