李遠飛

（廣州華商學院 數學與統計研究所，廣州 511300）

引 言

在本文中，我們研究以下非線性Keller-Segel趨化模型[1]：

其中Ω 是RN(N≥2)上 的一個有界凸區域，并具有光滑的邊界? Ω， ? /?n是? Ω上的外單位法向導數，D(u)是非線性擴散項，S(u)是 聚集項，u0和v0是 非負的連續函數，t*是可能的爆破時間.更多的限制將在下文給出.

當人們研究一個數學模型時，首先考慮的是該模型在數學上的合理性，即解的適定性研究.然而在某些特定的條件下，解具有爆破性.眾所周知，拋物方程的解當t→t*時變得無界，就稱解在t*處發生爆破.通常情況下，確定解的爆破時間是困難的.所以人們開始估計爆破時間的上界，積累了大量的方法.事實上，爆破時間的下界同樣重要.自從Weissler[2-3]在20世紀80年代開始考慮爆破時間的下界以來，近幾十年來，在研究偏微分方程的下界方面出現了大量的成果（見文獻[4-12]）.首先假設解在某個有限時刻t*處爆破，然后推導爆破時間的下界.不管爆破最后有沒有發生，這種類型的下界都是有意義的.例如文獻[13]提到的2003年哥倫比亞號航天飛機的災難.由于航天飛機發射時被一塊脫落的泡沫擊中飛機左翼，導致那塊隔熱材料局部受損.結果，在重返大氣層時，航天飛機由于在受損部分附近產生巨大熱量而解體.事實上，以前的幾架航天飛機也有類似的問題，但它們都能安全著陸.一些工程師懷疑這些損傷太小，以至于航天飛機能夠在溫度變得足夠大之前著陸.

事實上，方程(1)的幾種特殊形式已經得到了研究.Payne和Song[14]研究了趨化模型

在齊次Neumman邊界條件下的爆破現象.通過利用微分不等式技術，得到了爆破時間的下界.當初始條件滿足一定約束條件時，證明了解的全局存在性.文獻[15]把文獻[14]的研究進一步推廣到了非線性邊界條件上，通過對已知數據項進行一定的約束，當爆破發生時推導了爆破時間的下界.

Payne和Song在文獻[16]里研究了以下Keller-Segel方程：

其中ki(i=1,2,3,4)是 大于零的常數.當N=2時，文獻[16]獲得了爆破時間的下界.Li和Zheng[17]進一步推廣到一個完整的Keller-Segel方程：

本文研究一個更加復雜的系統(1)的爆破時間的下界，為了簡化起見，我們假設

1 全局解

本節假設Ω ?R3，我們尋找全局解存在的條件.為此，我們首先給出以下引理.

引理1[19]設Ω 是R3上 的有界星型凸區域.若w∈C1(Ω)，則有

其中

的第一正特征值.

我們的主要結果可以表述為如下定理.

定理1設u(x,t)和v(x,t) 是 問題(1)在星型有界區域 Ω ?R3上 的非負經典解，其中D(u)和S(u)滿足式(2).參數s,r滿足

如果方程(1)的解在任何有限時刻不會爆破，則解是全局存在的.

證明我們首先定義

對式(3)求導，利用方程(1)、散度定理和式(2)，可得

利用H?lder不等式和Young不等式，可得

再利用引理1，可得

利用不等式

可得

利用Young不等式，由式(8)可得

其中ε1是大于零的常數以及

由于s＞r，所以

把式(9)和(10)代入到式(5)再結合式(4)，可得

利用散度定理和方程(1)，可得

記

并在式(9)中取ε1滿足

由式(9)和(10)，可得

其中

利用引理2和H?lder不等式，可得

由于s＞r，所以由式(14)和(15)，可得

式(16)說明方程(1)的解在A(t)的 測度下不會在任何有限時刻爆破.否則，若存在某有限時刻t*使得limt→t*A(t)=∞， 則由式(16)可知存在區間 [t0,t*)使 得A′(t)＜0,t∈[t0,t*).這就表明A(t)在 [t0,t*)上是單調遞減函數，所以A(t*)＜A(t0).這與A(t)在t*處爆破矛盾.證畢.

注1當r≥2/3時 ，定理1就不再成立了，即解可能在某有限時刻t*處爆破.在此種情形下，我們在下一節推導爆破時間t*的下界.

2 N =3時爆破時間的下界

本節假設Ω ?R3，當爆破發生時，我們推導爆破時間的下界.我們的主要結果可以表述為如下定理.

定理2設u(x,t)和v(x,t) 是 問題(1)在星型有界區域 Ω ?R3上 的非負經典解，其中D(u)和S(u)滿足式(2).參數s,r滿足

如果方程(1)的解在某有限時刻t*爆破，則爆破時間t*一定具有下界，即

其中bi(i=1,2,3,4)是大于零的常數，以及

證明我們仍然使用式(3)所定義的輔助函數.重新計算式(6)，利用方程(1)、H?lder不等式、Young不等式、散度定理、式(2) 和引理1，可得

利用不等式(7)，可得

其中ε2是大于零的常數,

接下來，我們控制式(6)中的第二項.利用引理1，可得

其中ε3是大于零的常數,

把式(17)和式(18)代入到式(5)再聯合式(4)，可得

利用散度定理和方程(1)，可得

取

并聯合式(19)、(20)和式(13)，可得

其中

由式(21)可得

若方程的解在A(t)測度下在某有限時刻t*爆破，則 limt→t*A(t)=∞.對式(22)從0到t*積分即可完成定理2的證明.

3 N =2時的爆破時間的下界

本節推導Ω ?R2時方程(1)解的爆破時間的下界.我們先給出以下引理.

引理3[4，17，21]設Ω ?R2是一個有界的凸區域，則

其中

利用引理3，我們可得以下定理.

定理3設u(x,t)和v(x,t) 是 問題(1)在星型有界區域 Ω ?R2上 的非負經典解，其中D(u)和S(u)滿足式(2).參數s,r滿足

如果方程(1)的解在某有限時刻t*爆 破，則爆破時間t*一定具有下界，即

其中bi(i=5,6,7,8)是大于零的常數以及

證明我們利用引理3重新計算式(6)，可得

其中ε3是 大于零的常數

再重新計算式(18)，可得

其中ε4是大于零的常數，

把式(23)和式(24)代入式(5)，再結合式(3)、(4)、(9)和式(10)，可得

其中

與式(21)類似，對式(25)從0到t*積分即可完成定理3的證明.證畢.

注2如果設D(u)≤us，定理1～3仍然是成立的.

注3當Ω ?R2時，引理1和引理2就不再成立了，此時我們應用了引理3.

4 總 結

本文首先假設方程的解在某有限時刻爆破，然后推導了爆破時間的下界，說明了解在該下界之前是保持有界的.其次，本文的問題還可以向更深層次推廣.第一，我們注意到文獻[1]研究了模型(1)在Ω ?RN,N＞3上解的爆破現象，在初始數據滿足一定的條件時，得到了解的爆破時間的上界.可以進一步考慮N＞3 的情形，在此種情況下引理2和引理3就不再成立了.此時可利用高維空間的微分不等式，以證明解的存在性和爆破時間的下界.第二，本文的研究可以向更加一般化的模型推進，例如[22]

其中g(u)是連續非負函數.

致謝本文作者衷心感謝廣州華商學院科研團隊項目(2021HSKT01)對本文的資助.

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