計及頻率的電力系統概率潮流計算

汪承茂，袁 偉，李進軍，張 威，廖星星

（1.南京南瑞繼保電氣有限公司，江蘇 南京 211102；2.中國電建集團江西省電力設計院有限公司，江西 南昌 330096）

0 引言

2020年，為響應國際氣候形勢，中國相繼提出“新型電力系統”、“雙碳”目標[1]，在此背景下，可以預見未來新能源將成為我國主要能源。然而，規模化新能源接入必將導致電網呈現強隨機性，從而給系統安全穩定運行帶來挑戰，因此，有必要對其存在的不確定性進行量化分析，從而進一步評估給電網帶來的風險。

文中基于概率潮流思想，對電網進行不確定性分析，概率潮流最早由國外學者1974年提出[2]，演變至今，其主要計算方法可分為模擬法[3]、近似法[4]、解析法[5-6]和人工智能法[7-8]四大類。其中，解析法中的半不變量法由于可以快速求得系統變量的概率信息，因此受到廣泛應用。

基于上述分析，文中首先建立了考慮一次頻率特性的常規發電機、負荷和新能源功率模型。其次，針對輸入變量的功率不確定性，采用具體模型擬合新能源（主要考慮風電）和負荷的功率曲線。接著，為求得輸出變量的概率分布信息，提出了計及頻率的概率潮流計算方法。最后，在改進的標準節點系統中驗證了所提方法的有效性。

1 計及頻率的電力系統潮流模型

為計算系統頻率的概率分布特性，首先需要在穩態潮流模型的基礎上加入頻率變化特性，其各模塊的一次調頻模型如下所示。

1.1 基于下垂控制的新能源出力模型

考慮一次調頻特性并且基于下垂控制方式，新能源出力模型可表示成如下形式：

式中：PNEW_i表示新能源接入系統的有功功率；P0NEW_i表示新能源的額定有功功率；QNEW_i表示新能源接入系統的無功功率；Q0NEW_i表示新能源的額定無功功率。U0i表示空載電壓；Ui為節點i運行電壓；mpi為系統頻率；f為系統額定頻率；fN表示新能源有功下垂增益；npi表示新能源無功下垂增益。

1.2 發電機、負荷的一次調頻模型

考慮一次調頻特性，計及發電機的頻率調節模型可表示為：

式中：PGi表示系統第i臺發電機的有功出力，KGi表示其一次調頻系數。

考慮負荷參與系統一次調頻，假設第節點的負荷在系統頻率f和fN下的負荷功率分別為PDi和PDNi，其一次頻率調節特性可表示為如下表達式：

式中：KDi表示一次調頻系數。

1.3 考慮一次調頻的電力系統潮流模型

將上述模型進行整理分析，可以得到如下等式：

式中：ΔPi為節點 的有功不平衡量；ΔQi為節點i的無功不平衡量；QGi為發電機無功出力；QDi為負荷無功功率；Pi表示系統有功方程；Qi表示系統無功方程。

進一步結合式（1）-（5）建立起聯合表達式，具體模型如下：

式中：ΔF、ΔX為變量的輸入和輸出修正量；Δθ、ΔV和Δf為相角、電壓和頻率修正量；J為雅克比矩陣。

2 風電出力和負荷不確定性模型

2.1 基于高斯混合模型的風電出力模型

考慮規?；履茉矗ㄓ捎陲L電不確定性較大，因此文中主要考慮風電）接入至電力系統中，因此其隨機源主要有負荷和風電。目前，風電出力的隨機性通常采用威布爾分布描述，然而，隨著系統中變量的隨機性進一步加劇，采用傳統的模型函數難以對其概率分布進行擬合，而概率潮流計算對于輸入隨機變量的概率分布描述極為敏感，其準確程度直接影響最終的計算結果，基于以上需求分析，文中采用高斯混合模型對變量進行擬合，其具體計算流程如圖1。

圖1 多時段風速波動曲線

高斯混合模型其具體概率密度函數為：

式中：fX（x）表示隨機變量的概率密度函數；wi、μt和σt分別表示第t個高斯子成分的權重、期望值和標準差；n表示子成分個數；fN（·）為正態分布函數。

上式中權重參數wt需滿足歸一化條件，表示如下：

引入極大似然估計高斯子成分參數wt、μt和σt，對數似然函數L如下：

式中：NL表示輸入變量xi的樣本總體。

2.2 負荷的有邊界正態分布模型

負荷不確定性通?？刹捎谜龖B分布函數描述，但由于實際負荷存在最小值和最大值，因此文中采用有邊界的正態分布函數對其不確定性進行建模，其模型具體如下：

式中：Pmin和Pmax分別為有功負荷的最小和最大值；Qmin和Qmax分別為無功負荷的最小和最大值；μ和σ分別表示負荷的期望和標準差，可根據實際情況取期望的5%～10%。

3 基于半不變量法的電力系統概率潮流計算

針對新能源接入系統后對電網產生的影響，為準確獲取系統輸出變量中電壓、頻率等的概率分布信息，提出了基于半不變量法的概率潮流計算方法。

3.1 半不變量法

式（6）中建立了系統輸入、輸出關系式，以此為橋梁將其進行簡單變換即可得到半不變量計算公式，具體如下：

式中：ΔXV和ΔFV分別表示輸出和輸入變量的v階半不變量；S為靈敏度矩陣。

因此為使得計算更加接近實際運行場景，文中在計算概率潮流過程中，進一步考慮相關性，其相關性樣本產生的方法如下[9]：

1）得到一個不具有相關性的標準正態分布矩陣Vn1。

2）對其相關系數ρ變換得到新的系數矩陣ρ1并進行Cholesky分解：

式中：G1表示分解后得到的矩陣。

3）進一步，求得系數矩陣為ρ1的標準正態分布矩陣：

4）最后，通過Nataf變換得到隨機變量樣本Xn1，此時該樣本的相關系數矩陣仍然為ρ，即為所需的樣本，具體公式如下所示：

式中：F－1（Φnorm（·））表示正態分布的反函數。

通過上述方法得到隨機變量的相關性樣本后，再進行相應的靈敏度矩陣修正即可計及相關性對系統的概率潮流進行計算[5]。

3.2 Cornish-Fisher級數展開

基于上述概率潮流計算方法得到輸出變量的各階半不變量后，可以對其概率密度曲線進行擬合，目前常用的擬合方法有Gram-Charlier級數展開和Cornish-Fisher級數展開。由于Gram-Charlier級數展開在擬合概率分布曲線時在首末兩端容易出現概率小于0或大于1的反常情況[10]，而Cornish-Fisher級數展開有效的克服了這一缺點，因此文中采用該方法進行曲線擬合。

Cornish-Fisher級數擬合公式與變量的各階半不變量有關，其具體公式如下：

式中：f（δ）為變量標準化后的概率密度函數；φ（δ）為φ的概率密度函數；γi=（i=1，2，3，k）為各階半不變量。

基于上述計算后，即可得到計及頻率的概率潮流計算流程，具體如圖2。

圖2 計及頻率的電網概率潮流計算流程圖

4 算例分析

4.1 算例參數說明

以改進的IEEE-57節點系統算例進行測試分析，在節點33、44、49、50分別接入50 MW風力發電系統，為便于計算其各風電場之間的相關系數取0.5。風電場輸出功率概率特性通過實際輸出功率進行高斯混合模型擬合得到，其各分量如表1所示，其部分擬合圖像如圖3所示。風電場站功率之間的相關系數矩陣可由實際數據求得。假設負荷波動期望為其預測值，標準差取期望的10%。表2給出了部分參數的設置范圍[10-11]。

表1 風電高斯混合模型擬合及其各分量

表2 參數設置

圖3 風電功率高斯混合模型擬合示意圖

4.2 算法有效性分析

為驗證所提方法有效性，本文概率潮流計算結果以蒙特卡羅模擬法為基準，即將其進行10 000次循環計算，通過MATLAB等求得其概率信息。

（1）期望值和標準差的相對誤差值：

式中：表示相對誤差值；x表示輸出變量；η表示隨機數字特征；表示半不變量法計算結果；表示蒙特卡羅模擬法計算結果。

（2）輸出變量的方差和的根均值指標[12]：

式中：ξγ表示ARMS指標和分別為采用半不變量法和蒙特卡洛模擬法所得概率密度曲線上第i點的值；N表示取點個數。

表3為文中所提方法的計算結果誤差，其中和分別表示期望相對誤差的平均值和最大值，和分別表示標準差相對誤差的平均值和最大值。從表中分析可得，所提半不變量法計算頻率時的最大誤差為4.783%，計算電壓的最大誤差為3.683%，所得結果充分表明半不變量法計算的準確性，符合目前實踐計算所要求的計算精度。

表3 所提方法計算結果誤差

表4為系統變量的根均值指標，其中和分別表示其最大值和最小值，從表中計算結果分析，頻率計算的最大誤差為4.973%，電壓計算的最大誤差為4.256%，從該指標的降低進一步反映了所提方法的有效性。

表4 所提方法計算結果的根均值指標

為進一步驗證所提方法的準確性，圖4和圖5分別為節點電壓和頻率的概率分布曲線，表5為節點50電壓及頻率的前七階半不變量，從圖、表中可以看出，文中所提半不變量法與作為基準值比較的蒙特卡洛模擬法結果較為相近，具有較好的實用性。同時，在計算效率方面，蒙特卡洛模擬法需要356.7 s，而半不變量法僅為3.6 s，前者是后者的近百倍，因此所提方法在計算效率上也具有明顯優勢。

圖4 節點50電壓概率分布曲線

圖5 頻率概率分布曲線

表5 節點50電壓及頻率的前七階半不變量

4.3 不同風電滲透率對電網的影響

考慮不同風電滲透率對系統頻率的影響，設置不同滲透率場景：不接入新能源（0），低滲透率（13.79%），高滲透率（32.42%）。圖6和圖7分別給出了不同滲透下節點50電壓概率密度曲線和頻率概率密度曲線。從圖中分析，新能源滲透率越大時，電壓和頻率波動幅度越大。

圖6 不同滲透率下節點50電壓概率密度曲線

圖7 不同滲透率下頻率概率密度曲線

進一步定量分析變量在不同滲透率下的越限概率，表6為不同滲透率下變量越限水平。對于頻率，不接入新能源時越限概率為0，低滲透率時越限概率為0.89%，高滲透率時越限概率為6.60%；對于電壓，不接入新能源時越限概率為0，低滲透率時越限概率為3.03%，高滲透率時越限概率為9.84%?；谏鲜鰣D表分析，在規?；履茉唇尤氲母邼B透率場景下，系統變量越限需要引起足夠重視。

表6 不同滲透率下變量越限水平

5 結語

文中為準確得到電網電壓、頻率等輸出變量的概率分布信息，在考慮風電、負荷等功率不確定性的基礎上提出了一種計及頻率的電力系統概率潮流計算方法。通過算例分析充分表明所提方法的有效性、快速性，同時，計算得到的結果可以為調度運行人員提供參考依據，為后續風險評估、隨機優化研究奠定堅實基礎。