矩陣的幾類常見乘積及其應用

程利芳

(鄭州航空工業管理學院 數學學院，河南 鄭州 450046)

線性代數作為數學的一個獨立分支在物理學、計算機科學、經濟管理、航空科學等領域有著廣泛的應用。矩陣作為線性代數學科的一個主要研究工具，在計算行列式、求解線性方程組、研究線性變換等方面發揮著至關重要的作用。因此，對矩陣理論知識的掌握程度直接影響著整個課程的學習。矩陣的乘法是矩陣的一種基本運算，也是矩陣運算的重要內容之一。學習者不免質疑矩陣的乘法為何如此定義，有沒有其它的乘法定義方式？矩陣乘法主要應用在哪些方面？為了回答這些問題，本文介紹了幾種常見的矩陣乘積,并討論了不同乘積在各個領域的應用。

1 矩陣的乘積

幾類常見的矩陣乘積: 矩陣的一般乘積、克羅內克積(Kronecker)、阿達馬積與Fan積。

定義1.1 設矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)n×p，則矩陣A與B的乘積是一個m×p矩陣C=(cij)m×p，其中cij是A的第i行元素與B的第j列元素對應相乘再相加，即

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj

記作C=AB。

定義1.2 設A=(aij)m×n,B=(bij)p×q，則稱分塊矩陣

為A與B的克羅內克(Kronecker)積[1]，記為A?B=(aijB)mp×nq。

定義1.3 設矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，稱A與B對應元素相乘而得到的m×n矩陣

為A與B的阿達馬積[1]，記作A°B=(aijbij)m×n。

定義1.4 設矩陣A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，令

稱(cij)m×n為A與B的Fan積[1]，記作A★B=(cij)m×n。

注：Fan積是阿達馬積的一種變異。

2 矩陣各類乘積的應用

2.1 一般乘積的應用

2.1.1兩矩陣乘法色圖展示

在計算機數字圖像處理程序中,可以將一幅圖定義為一個二維數組的函數f(x,y),其中(x,y)表示取樣后圖像上點的坐標,幅值f(x,y)表示該點的像素。利用matlab中的image函數[2]，直接把像素矩陣中的數f(x,y)當成索引值,該索引值在colormap中對應于顏色RGBf(x,y)。圖1展示了像素矩陣A與像素矩陣B的乘積矩陣AB與BA,對比發現圖1(c)與圖1(d)對應的顏色不同,可見矩陣乘法不滿足交換律。

注：由于image函數默認的顏色數據映射是jet(64),它直接將數值解釋為當前顏色圖中的索引而沒有縮放,從而顏色范圍為[RGB1,RGB64]中的整數。當矩陣中的數小于1時,此時默認顏色為RGB1,當矩陣中的數大于64時,此時默認顏色為RGB64。所以很容易解釋為什么圖1(c)與1(d)中,數77，85，70對應的顏色相同了。

2.1.2圖像的剪切變換與旋轉變換

剪切變換是空間線性變換之一,它類似于四邊形的不穩定性，由矩形變為平行四邊形,是任意一邊都可以被拉長的變換。旋轉變換是由一個圖形繞一個固定點沿某一方向轉動一個角度θ得到另一個圖形的變換。下面以圖1(c)為例介紹這兩個變換的實現步驟。首先，使用imshow命令將圖1(c)導入; 其次，定義剪切變換矩陣或旋轉變換矩陣; 再次，使用maketform函數創建結構體; 最后，使用imtransform函數執行變換。對圖1(c)進行x,y軸方向剪切系數為0.2，0.1的剪切變換得到圖2(a)。圖1(c)沿其左下角頂點逆時針方向旋轉30°得到圖2(b)。

圖1 圖像矩陣A與B及其乘積AB與BA

圖2 圖1(c)矩陣的剪切變換與旋轉變換

2.1.3飛行動力學中常用坐標系之間的轉換

飛機運動一般是復雜的空間運動,為了描述其運動特性并建立適當的運動學方程,首先需要建立相應的坐標系統。常用的坐標系有：地面坐標系、機體坐標系、速度坐標系與航跡坐標系等[3-4]。各坐標系之間的轉換用歐拉角的轉換矩陣來表示。從原坐標系到目標坐標系相當于對原坐標系進行了一系列的旋轉變換。

地面系與機體系之間存在著歐拉角——偏航角ψ，俯仰角θ與滾轉角φ(如圖3(a))，地面系到機體系的轉換矩陣為

速度系相對于地面系的方位,由三個歐拉角來確定,分別為:速度偏航角χ、速度俯仰角γ與速度滾轉角μ(如圖3(b))。地面系到速度系的轉換矩陣為

地面系與航跡系之間的關系有航跡偏角與航跡傾角來確定。當飛機在無風的平靜大氣中飛行時，速度軸系的x軸與航跡系的x軸重合。因此，速度俯仰角和速度偏航角與航跡傾角和航跡偏角重合，如圖3(c)所示。地面系到航跡系的轉換矩陣可簡化為

速度系與機體系之間的相對位置關系有迎角α與側滑角β來確定,如圖3(d)所示。機體系到速度系的轉換矩陣為

(a)偏航角ψ，俯仰角θ與滾轉角φ

由逆變換的性質可知，若要從目標坐標系回到原坐標系，只需左乘轉換矩陣的逆矩陣即可。

2.2 Kronecker積的應用

2.2.1 Kronecker積在分形中的應用

分形[5]是局部與整體具有自相似結構的集合,幾何形態上呈現出無限嵌套層次的精細結構。在圖像處理中,一些黑白方塊相間的矩形可以用0或1作為元素的矩陣來呈現。矩陣的Kronecker乘積A?B將矩陣B嵌入矩陣A的各個元素所在的位置，其中A反映了A?B圖像的整體輪廓，B反映了A?B內部的精細結構,所以分形結構可以用矩陣的Kronecker積來展示。

給定矩陣

圖4(a)為矩陣A的圖像，圖4(b)為矩陣B的圖像，A與B的嵌套結構如圖4(c)所示。

圖4 矩陣A，B與A?B的圖像

2.2.2 Kronecker積在解矩陣方程中的應用

對于矩陣方程AX=B與XA=B的解不少文獻中已有研究[6-7]。在線性代數課程中,對于形如AXB=C的矩陣方程,當A，B均為方陣且可逆時,則矩陣方程的解為X=A-1CB-1。而當A，B不是方陣或者不可逆時,書中沒有給出通用的解法,下面我們將展示此矩陣方程的解法。

2.3 阿達馬積與Fan積的應用

2.3.1阿達馬積在盲信號分離中的應用[8]

給定k時刻的n維源信號向量sk,經過混合矩陣A的作用產生m維觀測向量xk，現構造自適應更新權矩陣Wk,使得yk=Wkxk是sk的估計。

在盲信號分離自適應算法中[9-10],經典的更新權矩陣可表示為Wk+1=WK+ηkG(yk)Wk,其中ηk稱為學習速率,它決定了算法的收斂速率和信號跟蹤性能。當ηk取常數時,兼顧收斂速率與信號恢復質量是困難的。當ηk取時變函數或自適應學習速率時,也沒能實現和信號的分離狀態或相依性直接相連,效果有限。為了克服這一缺陷,張[11]等人利用阿達馬積提出了分階段學習的盲信號分離算法:

Wk+1=Wk+Λk°G(yk)Wk

在初始階段,各信號通常是強相依的,為了加速混合信號的分離,學習速率矩陣Λk的元素取較大的值。為了凸顯對信號的捕捉與分離能力,捕捉階段的學習速率矩陣Λk采用對角矩陣,對角元素對應不同信號分量的學習率。為了減小各分量之間的相互影響,提高信號的恢復質量與分離精度,跟蹤階段的學習速率矩陣Λk各元素應取較小的值。采用這種學習方法,彰顯了信號分離狀態與學習速率之間的關系,很好地控制了信號的收斂與跟蹤,分離效果也更明顯。

2.3.2 Fan積的應用

M矩陣(非對角元素均非正,所有主子式均正的實方陣)在工程與經濟領域有著重要的應用。在網絡計算中,M矩陣可以用來斷定一個離散系統是否穩定;在數值計算領域,M矩陣可以用來判定一個迭代系統是否收斂;在經濟學領域,M矩陣可以用于經濟系統的leontief投入—產出分析。

由M矩陣的性質知，若A，B是M矩陣,則A☆B也是M矩陣。M矩陣的Fan積是特殊的矩陣乘積,它被廣泛地應用到偏微分方程的弱極小原理和概率論的特征函數等方面的研究。近年來,關于M矩陣的Fan積最小特征值下界的估計成為一個新的研究課題[12-14],備受學者們的關注。在譜圖理論中,矩陣的最小非平凡特征值可以用來刻畫圖的代數連通度[15],可用于判別一個圖是否是某個圖的線圖[16],也可用于度量圖的二部性[17]。當矩陣的階數較高，最小特征值不能直接求出時,對最小特征值的估計就顯得尤為重要,所以對特征值下界的估計具有十分重要的實用價值。

3 結 論

本文在給出矩陣的一般乘積、克羅內克積、阿達馬積與Fan積定義的基礎上，研究了各個乘積在不同領域的應用。研究結果表明，圖像的剪切與旋轉變換以及坐標系之間的轉換可以用一般的矩陣乘法來實現；幾何形態上的無限嵌套層次結構是由于兩個圖形之間施行了Kronecker積；信號的捕捉與分離可以用阿達馬積的分離算法來實現；M矩陣Fan積最小特征值可以用來刻畫圖的代數連通度與度量圖的二部性。