基于ESO-GA多層次優(yōu)化策略的減振器拓?fù)鋬?yōu)化研究

盛 鷹，賈 彬，王汝恒，鐘毅彬，吳時(shí)程

（1.西南科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽 621000；2.西南科技大學(xué)工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動(dòng)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽 621000）

引 言

橡膠減振器因具有剛度易調(diào)節(jié)、形狀設(shè)計(jì)自由、可吸收高/低頻振動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于土木、機(jī)械、軍工、航空、航海等行業(yè)的減振降噪中[1-4]。而剛度、阻尼系數(shù)、損耗系數(shù)等則是影響橡膠減振器減振效果的重要性能指標(biāo)[5-7]。

圓柱形橡膠減振器因結(jié)構(gòu)簡單、加工方便、安裝簡便、規(guī)格多樣，是工程中常用的一種形式，在建筑、橋梁、交通等對(duì)減振效能指標(biāo)（如角位移、加速度傳導(dǎo)比等）要求不高的工程領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。但對(duì)于振動(dòng)工況下的精密儀器減振、文物防震預(yù)防性保護(hù)、運(yùn)動(dòng)載體中成像與測(cè)繪設(shè)備減振等對(duì)減振效果要求很高的領(lǐng)域，圓柱形橡膠減振器較難達(dá)到減振效能要求[8-10]。

為提高橡膠減振器的減振效果，除了優(yōu)化減振器材料的膠料配方、工藝、材性等之外，不少學(xué)者研究了在特定的振動(dòng)環(huán)境下橡膠減振器的幾何形狀對(duì)減振效果的影響。劉輝等[11]研究了“人”字型預(yù)彎柱體橡膠減振器在不同工況下的動(dòng)剛度特性；鞠梓文等[12]研究了提高非等截面車輛橡膠減振器減振性能的影響因素；劉德宇[13]研究了列車用異型橡膠減振器的動(dòng)剛度與等效阻尼等特性對(duì)列車安全性及舒適性的關(guān)系。

橡膠減振器的減振性能與膠料性能、幾何形狀、所處工況、被減振物的動(dòng)力特性等密切相關(guān)，它們之間存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系，難以通過普通的數(shù)學(xué)模型來描述。因此，學(xué)者們?cè)谠O(shè)計(jì)橡膠減振器的幾何形狀時(shí)，大多采用經(jīng)驗(yàn)方法，并將試驗(yàn)與數(shù)值模擬方法相結(jié)合，反復(fù)調(diào)整減振器的外形尺寸與中部鏤空尺寸，使之滿足被減振物在特定環(huán)境下的減振要求[14-16]。

在被減振物及其所受工況已確定的條件下，為快速確定橡膠減振器的幾何形狀與減振性能的關(guān)系，本文探究了一種多層次的優(yōu)化策略，提出了一種使橡膠減振器具有最佳減振性能的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。首先，基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（Evolutionary Structural Optimization，ESO）建立了橡膠減振器在指定工況下的拓?fù)鋬?yōu)化模型；然后，將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果轉(zhuǎn)化為可用參數(shù)度量的有限元模型，即建立基于APDL 參數(shù)化建模技術(shù)的有限元模型；最后，建立可量化的減振性能最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，基于遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）與VC++對(duì)ANSYS 的二次開發(fā)技術(shù)，可快速求出使減振器具有最佳減振性能時(shí)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)幾何參數(shù)解。本文的多層次拓?fù)鋬?yōu)化策略為面向工程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新思路。

1 減振器拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 結(jié)構(gòu)減振原理的力學(xué)模型

三向減振裝置的簡化力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 三向減振裝置的簡化力學(xué)模型

系統(tǒng)的振動(dòng)可分解為豎直方向與水平方向的振動(dòng)。選取中間支座的豎向位移y、被減振物的水平位移x和擺角θ為廣義坐標(biāo)。

先將上部結(jié)構(gòu)視為整體，由式(1)可計(jì)算在外荷載P2(t)作用下中間支座的動(dòng)力響應(yīng)y：

其中：m1、m2分別為被減振物和減振裝置的質(zhì)量。

上部結(jié)構(gòu)的動(dòng)能T、勢(shì)能V和耗能函數(shù)D為：

其中：g為重力加速度。

取Lagrange 函數(shù)L=T-V，并將式(2)代入Lagrange方程：

即可建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，進(jìn)而求出被減振物的動(dòng)力響應(yīng)x(t)和θ(t)。

1.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題可定義為確定某部分材料在設(shè)計(jì)空間中存在與否的問題，即：

其中：Ω 為初始給定設(shè)計(jì)區(qū)域，Ωs為實(shí)體材料所占的區(qū)域，Ω/Ωs為孔洞所占的區(qū)域。

拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為：

其中：f(u)表示目標(biāo)函數(shù)。

拓?fù)鋬?yōu)化的基本步驟為[17-18]：

（1）確定足夠大的設(shè)計(jì)區(qū)域并明確設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、邊界條件；

（2）對(duì)結(jié)構(gòu)作有限元分析，計(jì)算設(shè)計(jì)變量變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化的敏感度；

（3）用合適的優(yōu)化方法計(jì)算當(dāng)前的設(shè)計(jì)變量的新值；

（4）根據(jù)終止準(zhǔn)則判斷是否收斂和終止迭代；

（5）進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化后處理，得到最優(yōu)拓?fù)涞男问健?/p>

2 ESO-GA多層次優(yōu)化策略

2.1 ESO方法基本步驟

運(yùn)用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（ESO）進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，以應(yīng)力作為優(yōu)化準(zhǔn)則，即基于應(yīng)力水平來刪除材料，其目標(biāo)就是通過貫穿整個(gè)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一個(gè)更均勻的應(yīng)力水平來獲得一個(gè)更有效的設(shè)計(jì)。

對(duì)于各向同性材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題，一般采用式(6)所示的Von Mises應(yīng)力作為應(yīng)力準(zhǔn)則：

ESO方法的基本思想為：在某一局部，假設(shè)低應(yīng)力的材料處于沒有充分利用的狀態(tài)，于是將該局部材料刪除。如此逐漸地刪除低應(yīng)力的材料，逐漸更新設(shè)計(jì)，使經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平變得更均勻。在這種優(yōu)化準(zhǔn)則下，通過逐漸去掉結(jié)構(gòu)中的低應(yīng)力材料，減小結(jié)構(gòu)中應(yīng)力分布的差異，使剩下的結(jié)構(gòu)能更有效地承擔(dān)荷載，進(jìn)而使應(yīng)力盡可能均勻地分布。

運(yùn)用ESO 方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的流程如圖2所示。

圖2 ESO方法的計(jì)算流程圖

2.2 GA算法基本步驟

當(dāng)基于ESO 方法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化完成后，將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果轉(zhuǎn)化為可用參數(shù)度量的有限元模型，接下來用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）[19-21]對(duì)結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)作進(jìn)一步的精細(xì)化優(yōu)化。

定義加速度傳導(dǎo)比[22]為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，如式（7）所示：

其中：η(X)為加速度傳導(dǎo)比函數(shù)，X為各個(gè)變量構(gòu)成的向量組，a0為減振裝置底部受到的加速度，a1為被減振物頂部產(chǎn)生的加速度。

GA 是一類可用于復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化計(jì)算的魯棒搜索算法，其基本特征是利用群體進(jìn)化，即在求解的過程中，通過種群不斷優(yōu)化，從而找到滿意解或最優(yōu)解。本文針對(duì)橡膠減振器的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)，運(yùn)用GA算法優(yōu)化計(jì)算的主要步驟為：

（1）將待優(yōu)化變量符號(hào)化，用二進(jìn)制符號(hào)0 和1所組成的二值符號(hào)集{0，1}進(jìn)行編碼。選取橡膠減振器的4個(gè)參數(shù)為待優(yōu)化參數(shù)：上表面外徑D1、上表面孔徑D2、下表面外徑D3、下表面孔徑D4，即決策向量D=[D1，D2，D3，D4]T。

將每個(gè)變量Di(i=1，2，3，4)用長度為l的二進(jìn)制編碼表示。假設(shè)某一變量Di的取值范圍是[Umin,Umax]，則該變量總共可產(chǎn)生2l種不同的編碼。于是，二進(jìn)制編碼的編碼精度δ為：

設(shè)某一變量Di的二進(jìn)制編碼為：blbl-1,…,b2b1，則該變量對(duì)應(yīng)的解碼值di為：

（2）初始化群體。遺傳算法的運(yùn)算過程是一個(gè)反復(fù)迭代過程，第n代群體記作P(n)，則設(shè)置進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器n= 0，設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)N，并隨機(jī)生成M個(gè)個(gè)體作為初始群體P(0)。

（3）運(yùn)用VC++對(duì)ANSYS 的二次開發(fā)技術(shù)計(jì)算群體P(n)中各個(gè)個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值（加速度傳導(dǎo)比）。

為實(shí)現(xiàn)VC++對(duì)ANSYS 的二次開發(fā)，其關(guān)鍵問題是解決VC++調(diào)用ANSYS 的APDL 命令流的接口問題。這一步的實(shí)現(xiàn)過程分為4小步：

①用VC++生成APDL 命令流文件，該命令流文件包含參數(shù)化建模、求解、結(jié)果后處理的全過程；

②實(shí)現(xiàn)VC++對(duì)ANSYS 的自動(dòng)調(diào)用，即：VC++自動(dòng)啟動(dòng)ANSYS，ANSYS 啟動(dòng)后自動(dòng)讀入第①步生成的APDL 命令流文件，完成建模、求解、結(jié)果輸出的全過程，每一次計(jì)算完畢后退出ANSYS；

③在ANSYS啟動(dòng)后自動(dòng)讀入指定路徑的APDL命令流，完成結(jié)構(gòu)建模、計(jì)算分析和結(jié)果輸出。

④VC++檢測(cè)到ANSYS 進(jìn)程退出后，從指定路徑讀入ANSYS 計(jì)算輸出的結(jié)果，該結(jié)果即為GA 算法中群體P(n)中對(duì)應(yīng)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值（加速度傳導(dǎo)比）。

在VC++中可以利用CreateProcess 函數(shù)來創(chuàng)建一個(gè)進(jìn)程去執(zhí)行其他程序，而且可以設(shè)置該進(jìn)程的優(yōu)先級(jí)。以ANSYS 18.0 為例，用VC++啟動(dòng)ANSYS的關(guān)鍵代碼為：

為了使ANSYS18.0 啟動(dòng)后自動(dòng)讀入指定路徑的APDL 命令流（假設(shè)命令流文件的存儲(chǔ)路徑為E:program.txt），則只需在ANSYS 安裝目錄下找到文件“start180.ans”并打開該文件后寫入以下代碼：

INPUT,′program′,′txt′,′E:′,0

這樣，當(dāng)VC++程序運(yùn)行后，程序就能自動(dòng)啟動(dòng)ANSYS 并讀入存儲(chǔ)于“E:program.txt”的APDL 命令流，進(jìn)而自動(dòng)完成結(jié)構(gòu)建模、計(jì)算分析和結(jié)果輸出。

（4）依次進(jìn)行選擇運(yùn)算、交叉運(yùn)算和變異運(yùn)算，分別將選擇算子、交叉算子和變異算子作用于群體，于是得到下一代群體P(n+ 1)。

（5）若nN，則終止計(jì)算，并將進(jìn)化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度的個(gè)體作為最優(yōu)解輸出。

由于遺傳算法是一種概率搜索算法，因此在運(yùn)算前需要預(yù)先設(shè)置群體大小M、遺傳算法的終止進(jìn)化代數(shù)N、交叉概率pc和變異概率pm4個(gè)運(yùn)行參數(shù)。

本文運(yùn)用GA算法優(yōu)化計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 GA算法的計(jì)算流程圖

2.3 ESO-GA多層次優(yōu)化步驟

ESO-GA多層次優(yōu)化的步驟如圖4所示。

圖4 ESO-GA多層次優(yōu)化流程圖

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 ESO優(yōu)化結(jié)果

設(shè)計(jì)橡膠減振器的初始拓?fù)湫螤顬閳A柱體。選用的橡膠材料硬度為70 A，其壓縮彈性模量為7.34 MPa，泊松比為0.47。在豎向正壓力作用下，分別設(shè)置單元?jiǎng)h除率為15%、35%、55%、75%、85%和95%時(shí)，得到的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖5所示。

圖5 ESO-GA多層次優(yōu)化流程圖

根據(jù)橡膠減振器的應(yīng)力水平，最終選取單元?jiǎng)h除率為85%的拓?fù)淠Ｐ停⑵滢D(zhuǎn)化為可用參數(shù)度量的有限元模型，如圖6 所示。圖6（a）所示為ESO算法拓?fù)鋬?yōu)化模型，該模型外形呈“上小下大”形狀，且中間有非等截面通孔。雖然ESO 算法能得到最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的大致形狀，但該拓?fù)鋬?yōu)化模型邊界粗糙，特征尺寸不易表征。為方便進(jìn)行APDL 有限元參數(shù)化建模，根據(jù)ESO 算法得到的大致拓?fù)湫螤睿瑢?duì)模型邊界進(jìn)行了光滑和規(guī)則化處理，如圖6（b）所示。并選取橡膠減振器的4個(gè)尺寸為特征尺寸：上表面外徑D1、上表面孔徑D2、下表面外徑D3、下表面孔徑D4。圖6（a）和圖6（b）的形狀大致相似，從圖6（a）到圖6（b）的模型轉(zhuǎn)化過程是人為觀察后作出的合理簡化，是后面運(yùn)用GA 算法進(jìn)行橡膠減振器特征尺寸優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)。后面將運(yùn)用GA 算法求出使橡膠減振器在指定工況下具有最佳減振效能（即加速度傳導(dǎo)比最小）所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)特征尺寸值。

圖6 拓?fù)淠Ｐ团c有限元模型的對(duì)應(yīng)

建立如圖7 所示的有限元模型，圖中底部為4個(gè)橡膠減振器，減振器與支撐臺(tái)面固連，支撐臺(tái)面上放置被減振物（質(zhì)量為75 kg，高寬比為1∶1），被減振物與臺(tái)面的摩擦系數(shù)為0.15。在減振器底部施加水平方向半正弦沖擊荷載如下：

圖7 減振系統(tǒng)有限元模型

拓?fù)鋬?yōu)化前、后，被減振物頂面中心節(jié)點(diǎn)的加速度-時(shí)間曲線、加速度傳導(dǎo)比-時(shí)間曲線分別如圖8、圖9所示。

圖9 被減振物頂面中心的加速度傳導(dǎo)比-時(shí)間曲線

從圖8 和圖9 可知，拓?fù)鋬?yōu)化前，被減振物頂面中心節(jié)點(diǎn)的最大加速度為4.77 m/s2，最大加速度傳導(dǎo)比為161.98%，被減振物頂面加速度被顯著放大，橡膠減振器未起到減振作用；拓?fù)鋬?yōu)化后，被減振物頂面中心節(jié)點(diǎn)的最大加速度為1.87 m/s2，最大加速度傳導(dǎo)比為63.30%，被減振物頂面加速度小于減振器底部加速度，橡膠減振器起到了良好的減振作用。

3.2 GA優(yōu)化結(jié)果

為進(jìn)一步提高橡膠減振器的減振效果，接下來用GA 算法對(duì)其外形與內(nèi)孔尺寸作進(jìn)一步優(yōu)化。選取橡膠減振器的4 個(gè)參數(shù)為待優(yōu)化參數(shù)：上表面外徑D1、上表面孔徑D2、下表面外徑D3、下表面孔徑D4。

在計(jì)算中，為防止早熟收斂，運(yùn)用了隔離小生境技術(shù)，即將遺傳算法的初始群體分為相互獨(dú)立的多個(gè)子群體，各個(gè)子群體獨(dú)立進(jìn)化，其進(jìn)化快慢取決于子群體中個(gè)體的平均適應(yīng)度水平。

采用3 個(gè)子群體進(jìn)行獨(dú)立并行計(jì)算，每個(gè)子群體各包含10 個(gè)個(gè)體。由程序隨機(jī)生成二進(jìn)制代碼對(duì)群體初始化。設(shè)置交叉概率為0.167，變異概率為0.040。以加速度傳導(dǎo)比最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，各子群體的進(jìn)化曲線如圖10所示。

圖10 3個(gè)子群體進(jìn)化曲線

子群體1、子群體2 和子群體3 優(yōu)化得到的最大加速度傳導(dǎo)比分別為30.1%、28.1%和28.2%。子群體2 僅進(jìn)化了4 代就收斂到了減振器具有最優(yōu)減振性能所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)幾何參數(shù)解，此時(shí)，被減振物頂面的偏轉(zhuǎn)角-時(shí)間曲線如圖11所示。

圖11 減振器最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的偏轉(zhuǎn)角-時(shí)間曲線

由圖11 可知，被減振物頂面的最大偏轉(zhuǎn)角為17.20′。結(jié)果表明，經(jīng)GA 算法優(yōu)化后得到的橡膠減振器對(duì)所研究的被減振物及其所處的工況環(huán)境具有優(yōu)異的減振性能。

算例表明，本文基于ESO-GA 多層次優(yōu)化策略對(duì)減振器進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的方法是可靠的。

4 結(jié) 論

提出了一種使橡膠減振器具有最佳減振性能的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法（ESO-GA 方法），并通過算例驗(yàn)證了該方法的有效性，得到結(jié)論如下：

（1）本文提出的ESO-GA 多層次優(yōu)化策略將ESO 方法的拓?fù)鋬?yōu)化與GA 算法的高效搜索結(jié)合起來，有很高的魯棒性。其求解不依賴具體問題，優(yōu)化能力和效率都有非常明顯的優(yōu)勢(shì)。

（2）GA 算法的優(yōu)越性不是獨(dú)立的，在本文的算例中，將它與有限元軟件的二次開發(fā)結(jié)合起來，采用參數(shù)化編程，從建模、加載求解、結(jié)果提取到優(yōu)化設(shè)計(jì)都無須人工干預(yù)，設(shè)計(jì)效率顯著提高。同時(shí)，GA 算法的引入，改變了傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)觀念，其優(yōu)化結(jié)果既不會(huì)過于“危險(xiǎn)”，也不會(huì)過于“保守”，是一種經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)方法。本文建立的ESO-GA多層次優(yōu)化策略對(duì)其他結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)也有一定的借鑒意義。