含變源的多孔介質方程的解的爆破

郭晉容，唐亞勇

（四川大學數學學院，四川成都 610064）

考慮如下多孔介質方程的非負解：

與方程(1)相關的問題出現在許多應用科學的數學模型中，如核科學、化學反應、熱傳導、種群動力學、生物科學等[1-3]. 在該模型的應用中經常出現的一個現象是，模型的解的某種范數在有限時間內是無界的，這種現象稱為爆破. 近年來，爆破的研究引起了許多研究者的關注[4-5]. 當模型(1)中m=1 且p(x)是常數時，該模型的解的爆破結果首次在文獻[6]中被研究，并被進一步推廣[7]；當模型(1)中m＞1且p(x)是常數時，其爆破解的存在條件、爆破速率和爆破集可見于文獻[7][8]；當模型(1)中m=1 且p(x)不是常數時，該模型的研究見文獻[9][10]，特別地，文獻[9]刻畫了爆破解的臨界指數，文獻[10]建立了具有正初始能量的爆破解.

然而，在m＞1且p(x)不是常數時對模型(1)的解的爆破現象日前尚無文獻研究報道，所以，本文將在這種條件下對模型(1)進行研究.

令

本文的主要研究結果如下：

定理1 假設(P1)-(P2)成立且E(0)≤0，那么問題(1)的解就會在有限時間內爆破.

當初始能量為正，即E(0)＞0 時，有關爆破解的研究非常少[6]。為了證明正初始能量的爆破解的存在性，增加一個對p+的假設:

令B1是滿足如下條件的常數

引入兩個正的常數α1和E1如下:

式中 |Ω |表示Ω的Lebesgue測度.

1 非正初始能量下解的爆破

為了研究初始能量E(0)≤0 時解的爆破，即證明定理1，首先引入以下引理.

引理1 設u(x，t)是問題(1)的非負解，則式(3)定義的能量E(t)是非增的，且滿足

對上面的等式從0到t進行積分，即得到式(12).

令

下面用反證法證明結論，即假設問題(1)對t≥0都存在解u(x，t).

首先，聲稱

否則，存在t0＞0使得

這樣由式(18)得出

其中ξ在t3與t之間.

式(28)和式(26)矛盾，完成反證.

2 具有正初始能量解的爆破和爆破時間的上界估計

其中α1和E1分別由式(7)和式(8)定義.

證明：由假設可知B1＞1 且p-＞1，于是可推得α1＜1/B1.進一步，可以把g(α)表示為

因此，g(α)在(0，1/B1)∪(1/B1，+∞)是可微的，在[0，+∞)是連續的.

對g(α)求導可得

則性質(i)成立. 因為p+＞1，通過簡單計算可得出結論(ii).

引理3 在定理2 的假設下，存在正常數α2＞α1，使得

圖1 g(α)的函數圖像

這說明式(32)中的第一個不等式成立.

從而，式(33)可由式(34)和式(35)推出.

基于上述結果，可以給出定理2的證明如下：

令M(t)是式(13)定義的泛函. 則由E(t)和H(t)的定義，M(t)的微分滿足

則由引理4、式(32)(36)(37)推出