超混沌金融系統(tǒng)的同步控制

陳 辰，饒若峰，林 芝，艾小全，李 燕，劉星悅，黃家琳

（1.成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川成都 611130；2.四川三河職業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川瀘州 646200，3.宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓 644007）

由生產(chǎn)子塊、貨幣子塊、證券子塊和勞動(dòng)力子塊組成的一類非線性金融模型在近幾十年受到廣泛的關(guān)注[1-6]. 最新研究已涉及混沌金融系統(tǒng)的脈沖控制[5-6]、甚至反應(yīng)擴(kuò)散金融模型，并較好地反映了現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中商品需求與不同地域的關(guān)系. Yu 等人[7]在上述混沌金融系統(tǒng)中引進(jìn)了平均利潤(rùn)率，更加合理而真實(shí)地模擬了現(xiàn)實(shí)金融的混沌復(fù)雜動(dòng)力性，并通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真模擬表明它是一個(gè)超混沌非線性系統(tǒng). Rao 等人[8]研究了超混沌金融系統(tǒng)的脈沖控制，利用Lyapunov 函數(shù)法、微分中值定理和脈沖控制技術(shù)推導(dǎo)了具正利率平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定化方法以及驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)型全局同步性. 為了更好地揭示商品需求得地域變化等現(xiàn)實(shí)金融系統(tǒng)的動(dòng)力性，本文利用文獻(xiàn)[8]的方法和技巧，進(jìn)一步研究一類更復(fù)雜的反應(yīng)擴(kuò)散馬爾可夫跳躍延遲反饋超混沌金融系統(tǒng). 由于反應(yīng)擴(kuò)散型金融系統(tǒng)模型是偏微分方程組，涉及數(shù)學(xué)理論中的Sobolev 空間變分技巧，給本文研究帶來(lái)了數(shù)學(xué)上的困難，因此，本文結(jié)合文獻(xiàn)[5]和[8]的方法，利用Sobolev 空間變分技巧研究反應(yīng)擴(kuò)散馬爾可夫跳躍延遲反饋超混沌金融系統(tǒng)的全局同步性，使得初值不同的兩個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)通過(guò)脈沖控制技術(shù)達(dá)到漸近同步，以說(shuō)明經(jīng)濟(jì)管理部門在混沌復(fù)雜經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的能動(dòng)性，即在一定頻率與強(qiáng)度脈沖控制下，經(jīng)濟(jì)落后地區(qū)可以最終實(shí)現(xiàn)與經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況同步；特別是在達(dá)到同步后，若驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)全局穩(wěn)定于正利率平衡點(diǎn)，則響應(yīng)系統(tǒng)也必然會(huì)全局穩(wěn)定于該平衡點(diǎn).

1 預(yù)備知識(shí)

文獻(xiàn)[8]研究了如下超混沌延遲反饋金融系統(tǒng)：

考慮延時(shí)反饋的隨機(jī)性和經(jīng)濟(jì)管理部門的脈沖式管理以及各類經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的區(qū)域性影響因素，本文進(jìn)一步考慮如下反應(yīng)擴(kuò)散馬爾可夫跳躍非線性系統(tǒng)：

對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)，其響應(yīng)系統(tǒng)為：

本文有界性假設(shè)(A5)受到文獻(xiàn)[13]啟發(fā)，注意到由于經(jīng)濟(jì)資源的有限導(dǎo)致金融系統(tǒng)的變量的二階偏導(dǎo)數(shù)同樣也是有限的.

2 全局同步

定理1 若有界性假設(shè)(A1)-(A5)成立，存在正的常數(shù)r1，r2，qr(r∈S)和一列正定對(duì)角矩陣Pr≥hrI＞0且Pr≤qr I(r∈S)，以及

則系統(tǒng)(8)與系統(tǒng)(6)全局漸近同步. 式中I是單位矩陣，Kr≤σrI，?k=tk-tk-1，且

證明：考慮Lyapunov函數(shù)

注意到tk-1＜tk-ρk≤tk，所以由微分中值定理有：

證畢.

3 結(jié)論與思考

受文獻(xiàn)[1-15]啟發(fā)，特別是文獻(xiàn)[8][13][14][15]中脈沖控制與變分法的啟發(fā)，本文利用Lyapunov 函數(shù)法和變分法改進(jìn)了文獻(xiàn)[5][6][8]的一些相關(guān)結(jié)果，因?yàn)樯唐沸枨髲椥韵禂?shù)等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)是受到區(qū)域的影響，而文獻(xiàn)[5][6][8]沒(méi)有考慮到這一客觀金融實(shí)情，本文利用文獻(xiàn)[13][16]中的變分方法巧妙地解決了這個(gè)數(shù)學(xué)困難，獲得了脈沖控制下的全局漸近同步結(jié)論，使得不同初值的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)能夠逐漸同步，具有一定的經(jīng)濟(jì)管理策略上的理論指導(dǎo)意義. 此外，關(guān)于依狀態(tài)切換金融系統(tǒng)是值得進(jìn)一步考慮的，正如文獻(xiàn)[12]定義1 指出，文獻(xiàn)[16]的定義3 中原創(chuàng)性地給出了切換意義下的系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定定義，這也值得本文進(jìn)一步考慮這種依狀態(tài)切換金融系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題. 另外，文獻(xiàn)[16]還針對(duì)Dirichlet 邊值原創(chuàng)性地提出了Theorem 3.1-3.3、Statement 1-2，Statement 2、Problem 1-4，特別是如何在第三邊值或紐曼邊值下重新或相應(yīng)地考慮Theorem 3.1-3.3、Statement 1-2、以及Problem 1-4，這也是值得進(jìn)一步思考的有趣問(wèn)題. 最后，文獻(xiàn)[17]在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上進(jìn)一步增加了Problem 5 和Problem 6，豐富了文獻(xiàn)[16]提出的問(wèn)題，特別是在Problem 6 中提出了無(wú)限時(shí)滯下如何重新思考文獻(xiàn)[16]中所得結(jié)果，這在反應(yīng)擴(kuò)散金融系統(tǒng)模型研究中也是一個(gè)值得進(jìn)一步考慮的問(wèn)題.