怎樣選用合適的方法來求函數(shù)的值域

景慶

求函數(shù)的值域問題的難度一般不大，但具有較強的綜合性.解答此類問題，需靈活運用函數(shù)的解析式、定義域、性質(zhì)、圖象以及不等式的性質(zhì).求函數(shù)值域的方法有很多，很多同學在求值域時經(jīng)常找不到合適的方式.下面結(jié)合實例，談一談如何根據(jù)不同的題型選擇合適的方式求解.

一、利用基本不等式

基本不等式：若a、b>0，則a+b≥√ab，當且僅當a=b時等號成立.若函數(shù)中含有雙變量，或函數(shù)式是兩個代數(shù)式的和、積，則可利用基本不等式來求函數(shù)的值域.運用基本不等式求函數(shù)的值域，往往要將函數(shù)的解析式進行適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出兩式的和或積，并使其中之一為定值，再運用基本不等式或其變形式

通過三角換元，將函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化三角函數(shù)最值問題，利用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性即可求得函數(shù)的值域.在換元的過程中，要注意確保定義域的等價性.

三、局部換元

局部換元法是解答代數(shù)問題的重要方法.對于較為復雜的代數(shù)式、函數(shù)式，往往可采用局部換元法求解.通常可將根號下的式子、絕對值內(nèi)部的式子、分式的分子或者分母等用一個新元替換，這樣便可將函數(shù)式化簡，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的值域問題來求解.

可見，求函數(shù)的值域，往往要仔細分析、研究函數(shù)的解析式，將其進行合理的變形，如將其配湊成兩式的和或積，并使其中之一為定值，將某一部分或某個式子用三角函數(shù)式、新元替換，再選擇與之相應的方法，利用基本不等式、三角函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)、圖象，即可輕松求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省常州市金壇第一中學）