談?wù)勛C明數(shù)列不等式的三種方法

劉俊

數(shù)列不等式證明具有較強(qiáng)的綜合性，且難度較大.此類問題往往綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)、不等式的可加性、可乘性、傳遞性等，對(duì)同學(xué)們的邏輯推理和分析能力有較高的要求.本文主要介紹三種證明數(shù)列不等式的方法.

一、裂項(xiàng)放縮法

若數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式，且可裂為或通過放縮后化為兩項(xiàng)之差的形式，則可采用裂項(xiàng)放縮法求解.首先將數(shù)列的各項(xiàng)拆分，在求和時(shí)絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的項(xiàng)便會(huì)相互抵消，再將所得的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，便可證明數(shù)列不等式.

二、構(gòu)造函數(shù)法

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在解答數(shù)列不等式證明題時(shí)，可根據(jù)目標(biāo)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造出函數(shù)模型，此時(shí)需將n∈N看作函數(shù)的自變量，將目標(biāo)式看作關(guān)于n的函數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性來求得函數(shù)式的最值，從而證明不等式成立.

解答本題，需先求得bn、Ta并將目標(biāo)式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)目標(biāo)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)f（n），通過比較f（n+1）、f（n）的大小，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立，一般地，在判斷數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可采用作差或作商法來比較數(shù)列的前后兩項(xiàng)an+1、an的大小，若an+1>a。，則函數(shù)或數(shù)列單調(diào)遞增;若an+1

三、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法主要用于證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，需先根據(jù)題意證明當(dāng)n=1時(shí)不等式成立;然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，再根據(jù)題意，通過運(yùn)算、推理證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，這樣便可證明對(duì)任意n∈N*不等式恒成立.