例談求圓錐曲線離心率的途徑

傅劍

圓錐曲線的離心率是反映圓錐曲線幾何特征的一個基本量.圓錐曲線的離心率主要是指橢圓與雙曲線的離心率，可用e=-來表示.求圓錐曲線的離心率

問題是一類常考的題目.下面談一談求圓錐曲線離心率的三種途徑，

一、根據圓錐曲線的定義

圓錐曲線的定義是解答圓錐曲線問題的重要依據.我們知道，橢圓的焦半徑長為c、長半軸長為。;雙曲線的焦半徑長為c、實半軸長為a，而圓錐曲線的離心率為e=-.因此，只要根據圓錐曲線的定義確定a、c的值，即可求得圓錐曲線的離心率.

題目中指出了兩個焦半徑| PF1|、| PF2|之間的關系，可將其與雙曲線的定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡關聯起來，根據雙曲線的定義建立關于兩個焦半徑的方程，通過解方程求得雙曲線的離心率.

二、利用幾何圖形的性質

圓錐曲線的幾何性質較多，如雙曲線、橢圓的對稱軸為坐標軸，對稱中心為原點，雙曲線的范圍為x≥a或x≤-a.在求圓錐曲線的離心率時，要仔細研究幾何圖形，明確焦半徑、實半軸長、虛半軸長與幾何圖形的位置關系，據此建立關于a、b、c關系式，再通過解方

解答本題主要采用了數學歸納法，分兩步完成，首先證明當n=1時不等式成立，然后假設當n=k時不等式成立，并將其作為已知條件，證明√2

相比較而言，構造函數法的適用范圍較廣，裂項放縮法和數學歸納法的適用范圍較窄，且裂項放縮法較為靈活，運用數學歸納法證明不等式過程中的運算量較大.因此在證明數列不等式時，可首先采用構造函數法，然后再根據不等式的特點和解題需求運用裂項放縮法或數學歸納法求證.

三、構造齊次式

有些圓錐曲線離心率問題較為復雜，我們需根據題意、圓錐曲線的方程、直線的方程建立關于a、c的關系式，通過等量代換構造關于a、b、c的二次齊次式，然后在齊次式的左右同時除以a2，便可得到關于e的二次方程，解該方程即可.

解答本題，需根據題意建立兩個方程組，通過解方程組求得交點的坐標，再根據兩點間的距離公式建立關于a、c的二次齊次式，即可求得橢圓的離心率.

用a、b、c表示出曲線上某點的坐標，再將其代人曲線方程，這樣就建立了一個關于a、c的二次齊次式，通過解方程即可得出離心率的值.

可見，求圓錐曲線的離心率，關鍵是根據圓錐曲線的方程、定義、幾何性質，建立關于三個參數a、b、c的等量關系式，再通過變形、化簡，得到圓錐曲線的離心率.