有趣的圖形分割

王素琴

分割圖形是幾何學中一個非常有趣味的課題，研究圖形的分割問題不僅可以增強對幾何圖形的直觀感受和判斷能力，豐富對圖形的想象力，提高數學思維能力，而且還有一定的實用價值.

一、將正方形分割成若干個小正方形

1926年前蘇聯數學家魯金對“完美正方形”的存在提出了猜想.所謂“完美正方形”，是指它可以分割成一些邊數各不相等且邊長為整數的正方形.分割成小正方形的個數稱為它的階.

1936年這個問題引起了英國劍橋大學三一學院的四個學生塔特、斯通、布魯克斯、史密斯的興趣.他們當時考慮了這樣一個問題：把一個矩形分割成邊長各不相等的正方形.值的說明的是，當時人們已經知道長為33、寬為32的矩形可以作正方形分割，如圖1.斯通從一開始就懷疑“完美正方形”的存在，然而無法證實自己的想法;而其余三人則致力于尋找一個實際存在的“完美正方形”，但是幾經失敗后也開始傾向于斯通的看法.

就在一籌莫展之際，柏林的施柏拉格居然找到了一個真實存在的“完美正方形”.這無疑是對塔特、斯通等人的一記悶棍，然而他們并沒有氣餒，很快改變了自己的研究方向.在理論的指導下，在1938年終于找到了一個由39個不同整數邊的正方形組成的大正方形，被稱為“39階完美正方形”，如圖2.這一成果大大增強了他們繼續研究的信心，通過研究，發現了寬為176、長為177的矩形可分為邊長不等的1 1個長方形（如圖3）.光陰流逝，一晃過去了幾十年，當年的大學生都成了蜚聲數壇的組合數學專家和圖論專家，他們的研究成果被成功地運用到電子、化學、建筑學、運籌學、通訊學和計算機等多個領域，成為造福人類的有力工具.

1964年，塔特的學生威爾遜博士找到了一個25階的完美正方形，后來這個圖形保持了12年的最佳記錄，直到威爾科克斯所創造的24階完美正方形（如圖4）.

1978年荷蘭數學家特溫特技術大學的杜依維斯廷，用大型電子計算機找出了一個21階的完美正方形（如圖5）.1962年荷蘭數學家丟伐斯丁證明了小于或等于19階的完美正方形不存在;1978年他又證明了20階的完美正方形不存在，因而可以斷定：21階完美正方形是最小階“完美正方形”，這個結論也同時被前蘇聯數學家魯奎所證明.

那么如何將矩形分割為邊數各不相等且邊長為整數的正方形呢？辦法是先作一個草圖，然后用盡可能少的未知數標出每個正方形的邊長，再寫出這些邊長應滿足的關系式，最后再求解這個方程組.

1992年，布卡姆和杜伊維斯廷給出了21-28階全部207個完美正方形：

截至2018年，已經知道的21-35階完美正方形的個數為：1，8，12，30，172，541，1372，3949，10209，26234， 71892， 196357， 528866 ，1420439. 3784262.

二、將正方形分割成若干個直角三角形

將一個正方形分割成若干個邊長不相等的直角三角形，且使正方形的邊長盡可能小，分割后的直角三角形數目也盡可能地少.這一問題最早由日本的鈴木昭雄提出.至今雖然取得一些進展，但似乎看不見最終的結論.

1966年，有人將一個邊長為39780的大正方形分割若干個三角形;在以后的15年內，人們找到了20種將邊長在1000以下的正方形分割為三角形的方式.1968年，有人將邊長為1248的正方形分割為5個直角三角形，如圖8.1976年，有人將邊長為48的正方形分割為7個直角三角形，如圖9.以上分別是分割的直角三角形數最少和大正方形邊長最小的，迄今為止的最好紀錄.

三、將正方形分割成若干個銳角三角形

將一個正方形分割成若干個銳角三角形，要求分割的銳角三角形的個數盡可能少（雖不要求邊長為整數）也是讓人感興趣的問題.

如圖10、圖11、圖12、圖13分別是將正方形分割成11個、10個、9個、8個銳角三角形的圖形，將正方形分割成8個銳角三角形是一種巧妙的方法，要想再減少銳角三角形的個數是不可能的.有趣的是，人們證明了如下事實：用邊長分別為1、2、3……的正方形去覆蓋平面，至少可以鋪滿整個平面的四分之三;還有人已經證明：要用邊長大小不等的小正方體去填滿一個大正方體是不可能的，亦即完美正方體是不存在的.

四、分割其他圖形

如果把三角形、平行四邊形分割成大小完全不同的正三角形，人們發現這種分割方式是不存在的.如果降低某些要求，比如允許某些正三角形邊長相等，則可以找到這種分割方式.可將一個平行四邊形分割成13個小正三角形（據稱這是最小階數的分割），如圖14;可將一個正三角形分割成15個小正三角形，如圖15.如果把正三角形記為“+”，把倒三角形記為“一”，在某種意義下，這種分割方式是完美的，那么圖14、圖15都可視為是完美分割圖形.

至此，數學家們的研究并沒有停止，他們還將完美分割圖形的問題推廣到莫比烏斯帶、圓柱面、環面和克萊因瓶上，也取得了許多有趣的成果，