基于助學案的融合課堂初探
——以數學實驗課皮克定理為例

◎張文珠 （無錫市新區第一實驗學校，江蘇 無錫 214000）

本節課是為蘇科版《數學》七年級下冊而設計的一節數學專題課.在授課形式上，本節課屬于數學實驗課.實驗探究是學生積累數學基本活動經驗的重要方式，也為同伴互助式課堂提供了很好的實驗平臺.在課時內容上，本節課選擇的是格點問題.格點問題有助于學生理解基礎知識，并且能夠在提高學生基本技能的同時逐步培養學生的運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力，以及學生的數學核心素養.課時內容打破了學科界限，融入了地理、美術等學科內容，達到了課程育人的目的.在學習形式上，采用的是基于助學案的同伴互助學習方式，發揮教師的主導作用，發揮學生的主體作用.這種學習方式可達到學習者個人和同伴的共同提高.下面，以數學實驗課皮克定理為例，結合相關教學片段談談作者自己的認識.

學情分析：學生在小學階段經常會使用釘子圖或方格紙，進入初中階段，在蘇科版《數學》七年級上冊《6.4 平行》《6.5 垂直》中也使用方格紙進行了平行線和垂線唯一性的探索，已經初步具有工具意識和數形結合思想.對于多邊形面積的求法，無論是公式法還是割補法，學生已經有了一定的知識儲備.這些，就是開展本節數學實驗課的基礎.

一、基于課型，“兩案”相融，合二為一

初中階段的數學實驗有兩類：實際操作型實驗和邏輯推理型實驗.實際操作型實驗就是學生利用一些紙片、木棒、測量工具、計算機等實物進行量、折、拼等活動，經歷觀察、實驗、猜想、證明、歸納等數學活動，獲得數學知識和解決問題的方法.邏輯推理型實驗就是學生不借助于實物工具，而是運用模擬、類比、聯想等方法進行邏輯推理，以獲得正確實驗結果.數學實驗既可以是教學片段，也可以設計成專題實驗課.本課時屬于實際操作型專題數學實驗課.

課前設計時，根據本課時內容和課時類型，制定的是同伴互助型學習方式，并制作了“兩案”：助學案和實驗報告.本課時助學案的設計理念是“基于理解的逆向設計”，就是教師在考慮如何開展教與學活動之前，先努力思考學習要達到的目的到底是什么，以及哪些證據表明學習達到了目的，也就是“以終為始”，從學習結果開始逆向思考.助學案的這種設計理念，旨在促使學生參與探究活動，提升學習遷移能力，為學生提供理解的框架，幫助他們理解一些零散的知識，并揭示與內容相關的大概念.這種設計方式，對我們的教學研究從經驗型轉向實證型，對教學從知識為本轉向核心素養為本，都是具有實際操作性和借鑒意義的.基于皮克定理是一節專題數學實驗課，實驗報告的設計與書寫也是其重要組成部分.它不僅記錄了學生的實驗過程，也是學生學習過程的信息反饋.教師可以通過實驗報告的反饋，了解教與學過程中的問題，及時解決問題.而實驗報告的書寫，也是學生在學習過程中需要掌握的一項重要的基本技能.它不僅僅是記錄實驗的過程，更重要的是它可以初步地培養和訓練學生的邏輯歸納能力、綜合分析能力和文字表達能力.

在課時設計時，發現“兩案”有很多地方是相輔相成的，于是將“兩案”合一，將實驗報告融入助學案，給學生提供一個完整的實驗過程（見表1）.

表1 “兩案”合一的助學案設計

續 表

助學式實驗報告由“預學、嘗試、互動、反饋”四個助學環節構成，滲透“基于理解的逆向設計”理念，設計中“教、學、評”統一，讓學生循序漸進展開互助學習.為了實驗課能高效開展，實驗報告在“預學”環節設計了三個任務：一是計算格點多邊形的面積，讓學生經歷一個從“數格子”到“特殊多邊形的面積公式”再到“割補法”的運用過程，從而達到知識喚醒的目的，為皮克定理提供探究基礎.二是搜集太湖的相關資料，讓學生在搜集資料的過程中增加相關地理知識，感受祖國大好河山的壯麗.三是進行小組分工，明確職責，設計隊徽.小組隊徽的設計也增加了小組的團隊合作意識和凝聚力，為實驗的開展做好了充分的準備工作.“嘗試”環節設計是介紹太湖，估算地圖上太湖的圖上面積，讓學生感受到已有知識和能力不足以解決這個實際問題，目的是讓學生遇挫，從而順利引入新知的探究.在“互動”環節設計完整的實驗過程，探索和驗證皮克定理的具體內容.這一環節，充分體現了學生的主體地位，教師以一個組織者、引導者與合作者的身份參與探究，引導學生經歷一個“畫圖—列表—分析數據—尋找規律—猜想—驗證”的過程，滲透“特殊到一般、變量控制、分類討論、符號意識”等數學方法和素養.“反饋”環節設計了總結實驗成果、新知應用、多維評價三個內容.小組在隊徽的設計、計算面積的拓展活動中，充分發揮同伴互助的學習優勢，最終解決問題.在助學式實驗報告中，不僅有完整的實驗過程，而且有一個完整的學習應用過程，讓學生在實驗中收獲的不僅是數學知識，還有教師隱性的數學方法的指導、數學核心素養的培養.

二、基于學案，多維相融，實現課程育人

1.立足學科，以融合強學科

融合理念下的課程實施是以“學科知識＋”為基本形態的，這就是要打破學科局限，進行多學科融合，通過不同學科之間的融合生成對本學科新的認識，促進數學學科走向立體.無錫，位于太湖之濱，被稱為“太湖明珠”，自古就是魚米之鄉，是吳文化的發源地.在助學案“嘗試”板塊中以此架構文化背景滲透愛國主義教育，在歷史、地理知識的融合下，設計“估算地圖上太湖的圖上面積”的數學問題，將問題置于情境中.皮克定理是基于格點作圖展開的探究，因此將生活中的圖形、創作的圖形設計成格點圖解決問題是本節課的難點.這一過程又融合了學生的審美、創作、繪畫能力，將美術課程的精髓融入了數學課堂.學科的融合，讓有價值的知識打破學科界限，創生出新的領域或者對數學學科產生新的認識，促進數學學科走向豐盈，讓學生在整體上把握知識的來龍去脈.

2.立足經驗，以融合促經驗

在學生參與的數學活動中，學生解決由生活走向課堂的、由學生結合自己經驗設計的問題，獲得的活動經驗更加深刻，更有意義，融合度更高.以本課時為例，在助學案“反饋”板塊中，要求學習小組將自主設計的隊徽轉換為格點圖，并用所學皮克定理的知識計算隊徽面積，是一個開放性問題.學生設計的隊徽涉及體育、動物、工具、英文字母等.學生在解決問題的過程中，他們會綜合課內課外、自身所學的知識，這樣融合的不僅涵蓋學科知識、生活常識，還有同學之間不同的技能（畫畫、創作、審美）等.除了這些顯性的技能，一些隱性的經驗也不可忽略.這節數學實驗課，教師立足學生主體活動經驗，帶領學生經歷了一個完整的解決問題的過程，讓學生積累了解決問題的經驗，學生在參與觀察、實驗、猜想、證明等數學活動中，清晰地表達自己的想法，發展了合情推理和演繹推理的能力.

3.立足育人，以融合鑄素養

數學學科的教學不僅承載著傳遞數學知識、培養數學能力的重任，還肩負著數學育人的重任.這需要通過學科間、校內外、個體與社會之間的廣泛融合，促進學生素養的培養，達到育人的最終目的.育人的最終指向要求學生關注生活現實，通過教師采取的真實任務驅動，實現學生素養的提升，這是融合理念下的融合課堂典型的共性特征.本課時中，太湖圖上面積的估算以及小組隊徽的設計和計算，都是源于現實世界的真實問題、真實需求，基于學科知識的融合，基于活動經驗的融合，基于社會需求的融合.“數形結合、特殊到一般、符號意識”等數學思想方法的應用，為學生解決問題提供了專業的知識、技能和方法，在學生解決問題的過程中其素養也得到了提升.這是基于社會需求的融合，是立足社會發展的需求.

三、基于課堂，同伴學習，實現能力提升

融合課堂，不僅是學科與學科、經驗與技能、方法和素養、學習與生活的融合，還是一個學生共學、共促、共享、共創、共贏的主陣地.在課堂上，學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題.在這個過程中，學生學會了尊重、合作與分享.本課時從課前的小組分工、資料搜集開始，學生就進入了一個團隊角色扮演，這個團隊有組織、有任務.在小組探究過程中，成員能力的參差不齊也給同伴互助學習創造了契機，從而取長補短，共克難關.皮克定理的探究過程有兩個難點：一是學生在設計圖形時，畫出的圖形不能滿足內部點數的要求，得出數據直接影響實驗結果.通過小組同伴互助學習，總結出的活動經驗是先確定圖形內部的點，然后根據點的位置來設計格點圖形更方便.二是尋找，，之間的關系，小組內同學會有不同的結論，此時同伴之間可根據實驗數據互相糾錯，討論并訂正，直至找到正確的數量關系.這些活動經驗的得出、問題的解決就是同伴互助學習的成果.

融合課堂重點關注的是綜合所學解決實際問題，培養學生自主探究等超越學科的綜合能力與品格.這樣設計，學生由于親自動手操作，從一個旁觀者和聽眾變成了一個參與者，因此更容易對實驗結果、產生結果的原因、新的知識以及新的方法等產生強烈的好奇心.在這種內驅力的推動下，他們會主動尋求同伴的幫助，并將自己的實驗結果和同伴分享，在分享過程中不斷完善實驗過程和結論，達到一個共同進步的雙贏狀態.而這些，就是作為引導者的教師最期望看見的.