融合Sin混沌和分段權值的阿基米德優化算法

羅仕杭，何 慶，2

1.貴州大學 大數據與信息工程學院，貴陽 550025

2.貴州大學 貴州省公共大數據重點實驗室，貴陽 550025

在工程應用和科學研究中存在大量高維度、非線性以及目標函數不可導的全局優化問題，傳統的優化方法很難在合理的時間內找到這些問題的全局最優解。元啟發式算法具有原理簡單、易操作、參數少等優點，為復雜全局優化問題提供了一種新的解決途徑。因此，近年來元啟發式發算法在避障[1]、自動控制[2]、調度問題[3]、圖像演化[4]、路徑規劃[5]等領域得到廣泛應用與研究。

阿基米德優化算法（Archimedes optimization algorithm，AOA）是2021年Hashim等[6]基于阿基米德原理提出的新型元啟發式優化算法，AOA的種群個體是浸入流體中的物體，當浸入流體中的物體之間發生碰撞時，碰撞程度隨時間不斷減弱，適應度值優的個體加速度大，引導其他個體逐漸收斂到最優位置，達到尋優的目的。

AOA具有模型簡單、易于擴充、設置參數少等優點。然而，AOA與其他群智能優化算法相似，存在全局搜索能力弱、尋優精度低、易陷入局部最優等缺陷。

為改善群智能算法存在全局搜索能力弱、尋優精度低、易陷入局部最優等問題，許多學者提出改進：王堅浩等[7]針對鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）收斂精度低的問題，添加慣性權重對種群位置進行非線性擾動更新，提高了算法的收斂精度；龍文等[8]提出非線性變化的收斂因子，達到平衡WOA的全局探索和局部開發能力；李守玉等[9]將變異反向學習策略引入蝴蝶優化算法（butterfly optimization algorithm，BOA），提高算法的尋優精度；王海瑞等[10]將柯西高斯變異引入麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）中，在增加種群多樣性的基礎上避免算法陷入局部最優。雖然上述文獻中的改進策略在一定程度上提高算法收斂精度和速度，但是算法仍存在全局開拓能力弱、搜索精度不足等缺陷。為此，本文提出融合Sin混沌和分段權值的阿基米德優化算法（SAOA）。首先，利用無限折疊迭代的Sin混沌反向學習策略初始化種群，通過計算適應度值選取初始階段最優的個體，增強種群多樣性并提高求解效率；其次，引入算數交叉算子，將當前個體與最優個體進行交叉，產生的子代個體更靠近全局最優個體，引導種群向最優區域靠攏，增強全局搜索的充分性；同時，采用分段權值策略來平衡算法的全局開采和局部挖掘能力，協助算法跳出局部最優。最后通過8個基準測試函數及其Wilcoxon秩和檢驗、部分CEC2014測試函數以及機械優化案例進行仿真實驗，驗證了SAOA的有效性和可行性。

1 阿基米德優化算法

在標準AOA中，通過轉移因子(TF)控制個體間碰撞和平衡狀態之間的切換（即算法從全局探索切換到局部開發的過程）獲得優化問題的解，其中定義如下：

式中，t表示當前迭代次數，tmax表示迭代次數。

在初始化階段，AOA初始化個體的密度(den)、體積(vol)、加速度(acc)，在此步驟中，AOA評估初始化種群，選出當前最優適應度個體位置(xbest)、最優密度(den)、最優體積(vol)、最優加速度(acc)，以此用來對下一代密度、體積和加速度的更新。

式中，N是種群的規模，i=(1,2,…,N)。rand是取值為（0，1）的隨機數。和分別為第i個個體在第t代和第t+1代的密度，和為第i個個體在第t代和第t+1代的體積。

當TF≤0.5時，算法進行全局搜索，個體的加速度更新方式如下：

當TF＞0.5時，算法處于局部開發階段，此時個體加速度更新公式為：

通過公式（5）對加速度進行標準化處理，用來進行個體位置更新：

式中，u和l為常數。

在全局搜索階段，碰撞個體的位置更新公式如下：

式中，表示第i個個體在第t次迭代的位置向量，C1為常數，rand∈(0,1)的一個隨機數，xrand表示第i個隨機個體在第t次迭代的位置向量，d為密度降低因子，更新公式為：

在局部開發階段，個體的位置更新公式為：

式中，xbest表示全局最優個體，C2為常數，T=C3×TF,C3為常數。F是改變個體移動方向的標志，用于決定個體位置更新的方向，定義如下：

式中，p=2×rand-C4,C4為常數。

2 改進的阿基米德優化算法

在基本AOA中，種群初始化采用隨機分布的方式，這種方式造成種群多樣性差，導致個體前期搜索存在一定的盲目性，從而使得算法收斂速度慢；其次，在全局開發階段，AOA僅依靠隨機個體帶領種群向最優區域尋找最優解，當隨機個體是一個較差的解時，會導致算法求解精度低，同時，在局部開發階段，雖然種群圍繞最優個體進行位置更新，但是當最優個體陷入局部極值空間時，種群也會陷入局部最優，使得算法出現停滯搜索現象；最后，AOA用來平衡全局搜索和局部開發能力的轉移因子TF并不是有規律的，根據公式（1）可知TF的最小取值是0.36，最大值是1，則全局搜索階段的區間是（0.36，0.5），局部開發階段的區間是（0.5，1），這使得算法全局搜索階段過短，未能搜索更廣闊的區域，可能丟失更優的解。

綜上所述，本文針對上述AOA原理的缺陷，引入對應的策略進行改進。具體策略介紹如下。

2.1 Sin混沌反向學習初始化策略

種群初始多樣性可以有效地擴大算法的搜索范圍，從而提高算法的尋優精度和收斂速度[11]。混沌經常被用于優化問題，其基本原理是通過映射關系在混沌變量空間[0，1]之間產生混沌序列，再將其轉化到個體的優化變量空間內。Sin混沌模型是一種具有較好遍歷性和隨機性的映射折疊次數無限的混沌模型。反向學習[12]通過當前解尋到其對應的反向解，然后評估選擇更好的解，從而引導個體尋找最優解。因此，本文先利用Sin混沌產生多樣性較好的初始種群；其次，根據反向學習產生反向種群；最后，分別計算Sin混沌初始種群及反向種群的適應度，選擇適應度低的解作為初始種群，提高了找到最優初始解的概率，從而使種群向全局最優解靠近。Sin混沌1維映射表達式如下：

式中，Xn是取值為(-1,1)的序列且初始值不能設置為0。將Sin混沌序列映射到解空間中，得到種群X={Xi,i=1,2,…,N},Xj={Xj,j=1,2,…,dim}，種群個體表示如下：

式中，Xi+1,j為第i+1個種群的第j維值。

由種群X計算反向種群,，反向種群個體表示如下：

式中，[Xminj,Xmaxj]為搜索空間的動態邊界。將Sin混沌種群X和反向種群X*組成新種群{X∪X*}，將新種群的適應度值進行排序，選擇N個適應度值最優的個體組成初始種群。

2.2 算數交叉算子

在標準的AOA中，碰撞個體根據公式（6）進行全局搜索，由于沒有任何先驗條件可以使用，僅依靠種群中隨機個體的引導進行種群位置更新，隨機個體可能是一個質量較好的解，也可能是一個較差的解，導致算法的全局尋優性能較弱。因此，為提高標準AOA的全局搜索性能，本文引入的算術交叉算子，表達式如公式（13）所示：

式中，λ∈(0,1)表示隨機數。

SAOA選擇當前個體與全局最優個體進行算術交叉，產生新的子代個體更靠近當前最優解，從而加快群體向全局最優區域靠攏，同時算術交叉算子給予當前個體向優秀個體學習的能力，增強種群信息分享能力，從而增加種群多樣性。將當前個體與全局最優個體進行交叉后，雖然能增強算法全局搜索能力，但是無法直接判斷產生的新個體是否優于原始個體。因此，通過交叉選擇后，利用貪婪機制比較新舊個體適應度值，再決定是否更新當前個體，通過這種方式不斷獲得更優解，從而提升算法全局尋優性能。其中貪婪機制的數學模型如公式（14）所示：

2.3 分段權值策略

在標準AOA中，轉移因子TF取值為（0.36，1），當TF＞0.5時，算法進行局部開發，最優個體引導種群進行位置更新，但是當最優個體陷入局部極值空間時，種群將受其影響陷入局部最優，使得算法出現“早熟”現象。為解決這個問題，本文提出分段權值的位置更新策略，首先，借鑒雙曲正切函數的思想，本文在算法迭代前中期種群位置更新處引入動態雙曲正切權值w，其值隨迭代次數的增加呈非線性遞減，其次，在算法迭代后期，引入正弦波動權值，降低算法陷入局部最優的概率。本文所采用的動態雙曲正切權值，在算法迭代前期，SAOA獲得較大權值以保證其在更廣闊的區域搜索最優解，在算法迭代中期，SAOA獲得較小權值，使當前個體可以在最優個體附進行精確搜索，達到平衡全局搜索與局部開發的能力，算法迭代后期，利用正弦波不規則變換的特點來增強最優個體在局部空間開發的多元性，協助種群跳出局部最優。分段權值w的計算如公式（15）所示：

式中，wstart表示迭代開始時的初始權值，即當t=0時，wstart=0.8,wend表示迭代結束時的權值，即當t=tmax,wend=0.4。δ為迭代次數，β1=0.23,β3=1.6,θ=0.3。α和β2為調節因子，控制曲線的平滑度，經過多次實驗驗證，當α=0.75和β2=0.06時，實驗結果為最優。

由圖1可知，在算法迭代初期，w值較大，使SAOA具有較強的全局勘探能力，在算法迭代中期，w值較小，使SAOA的開發性能逐步提高并盡可能在最優解附近精確尋優，在算法迭代后期，w值的方向和大小變換的不確定性增強SAOA搜索的多元性，避免算法陷入局部極值空間。因此，AOA引入分段權值策略后全局搜索階段的個體位置更新公式為：

局部開發階段個體位置更新公式為：

圖1 分段權值曲線圖Fig.1 Segmented weight curve graph

2.4 SAOA算法實現步驟

綜上改進策略，本文所提的SAOA算法步驟如下：

步驟1初始化算法相關參數：種群規模N、空間維度dim、種群的搜索空間[ub,lb]、最大迭代次數tmax、參數C1、C2、C3、C4、密度(den)、體積(vol)、加速度(acc)。

步驟2采用Sin混沌反向學習初始化策略初始化種群。

步驟3計算種群中每個個體的適應度值并記錄當前最優個體位置(xbest)、最優密度(den)、最優體積(vol)、最優加速度(acc)。

步驟4根據公式（1）、（2）、（7）分別更新函數TF、den、vol、d。

步驟5當TF≤0.5時，進入步驟6根據公式（3）更新函數acc，進一步根據公式（5）更新函數acci-norm；當TF＞0.5時，進入步驟7，根據公式（4）更新函數acc，進一步根據公式（5）更新函數acci-norm。

步驟6算法進行全局搜索，根據公式（13）選擇隨機個體與當前最優個體進行算術交叉操作，產生新的候選解，并通過公式（14）進行擾動，進一步根據公式（16）更新個體位置。

步驟7算法進行局部開發，根據公式（17）更新個體位置。

步驟8判斷是否滿足迭代終止條件，滿足則輸出全局最優解及位置信息，否則進入步驟3繼續執行。

改進算法流程圖如圖2所示。

圖2 SAOA算法流程圖Fig.2 SAOA algorithm flow chart

2.5 SAOA時間復雜度分析

時間復雜度間接反映算法的收斂速度。在標準AOA中，假設參數初始化（種群規模N、維度d等參數）時間為η1，初始化每個個體需要的時間為η2，求解目標適應度函數時間為f(d)，則標準AOA種群初始階段時間復雜度為：

設更新函數TF、den、vol、d、acc時間為η3，每一維按公式（6）和（8）更新位置所需時間為η4，比較當前位置和歷史最優位置的時間為η5，選取最優位置的時間為η6，此階段時間復雜度為：

所以基本AOA的時間復雜度為：

在SAOA中，初始化參數所需時間與基本AOA相同，采用Sin混沌反向學習初始化種群所需時間為復雜度為O(N×d×f(d))，則SAOA初始化種群階段的時間復雜度為：

計算算術交叉算子所需時間為η7，每一維按公式（13）進行個體位置更新，利用貪婪機制比較新舊個體適應度所需時間為η8，保留最優位置時間為η9，此階段的時間復雜度為：

算法引入分段權值后，每一維按照公式（16）和（17）更新個體位置所需時間為η10，此階段的時間復雜度為：

綜上分析可得，SAOA的時間復雜度為：

綜上所述，SAOA與AOA時間復雜度一致，本文針對AOA缺陷所提改進策略并沒有增加時間復雜度。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 實驗設計與測試函數

本文基于Intel?CoreTMi7-i7-6500U CPU，2.50 GHz主頻，8 GB內存以及Windows 10（64位）的操作系統對所提出的算法進行仿真實驗。編程軟件為MATLAB 2018（a）。各個算法的參數設置如表1所示，選取8個基準函數其中5個單峰函數F1～F5，3個復雜非線性多峰函數F6～F8，取值范圍、最優值信息如表2所示。

表1 算法參數設置Table 1 Algorithm parameter setting

表2 基準測試函數介紹Table 2 Benchmark test functions

3.2 不同改進策略對算法性能影響分析

為驗證SAOA算法的可行性和優越性，將基本AOA與本文加入Sin混沌反向學習初始化策略的算法（AOA1）、加入算術交叉算子的算法（AOA2）、加入分段權值策略的算法（AOA3）在8個具有不同尋優特征的基準函數上進行仿真實驗。算法參數統一設置為：種群規模N=30,搜索空間維度dim=30,最大迭代次數tmax=500。表3通過最優值、最差值、平均值和標準差四個性能指標來評估各算法的尋優性能。5種算法對8個基準測試函數的尋優結果如表3所示。

表3 不同改進策略的結果比較Table 3 Comparison of results of different improvement strategies

由表3可知，SAOA對函數F1、F3、F6、F8求解時，SAOA都能夠尋到理論最優值，對函數F2和F4，無論是尋優精度還是穩定性均表現出明顯的優勢。在求解函數F5和F7時，SAOA陷入局部最優值，其他對比算法也尋優停滯，但SAOA相較于其他改進策略具有更高的收斂精度和穩定性。具體來說，僅采用算術交叉算子（AOA2）對AOA性能的改進有限，但其收斂精度相對于AOA也得到一定程度的提升，尤其對求解函數F6和F8，均得到了尋優理論值，這是因為通過當前個體與最優個體進行交叉后，不僅增強種群之間信息交流，而且產生的子代個體可以有效引導種群向最優區域進行尋優。Sin混沌反向學習初始化策略（AOA1）和分段權值策略（AOA3）對函數F1、F3、F6、F8效果顯著，均能尋到理論值，同時對函數F2、F4求解精度和穩定性也有極大提升，這是因為Sin混沌反向學習初始化策略增強了種群的多樣性并提高初始階段種群解的質量，分段權值策略使得算法在迭代前期獲得較高權值，增強SAOA全局探索能力，在迭代中期權值減小，幫助SAOA在局部空間精確搜索，在迭代后期權值大小和方向不斷變化，協助SAOA跳出局部最優，提高算法的尋優精度和收斂速度。

3.3 算法收斂性分析

為了反映SAOA的動態收斂特性，取搜索空間維度為30維，每個算法獨立運行30次，采用平均收斂曲線圖描述算法的收斂性。圖3（a）～（h）給出了8個基準測試函數的平均收斂曲線圖：

由圖3可知，對于函數F1、F2、F3、F4、F6、F8,SAOA在尋優精度和收斂速度上都明顯優于其他4種對比算法，且迭代前期的搜索性能和迭代末期的開拓性能也都優于其他4種算法，在相同的迭代次數下具有更高的求解精度和更快的收斂速度，并在相同的求解精度下具備更快的收斂速度，表明SAOA在保證開拓能力的同時也能充分保證搜索能力，不失種群多樣性和尋優穩定性。對于函數F5、F7,SAOA與其他4種算法一樣，雖然陷入局部最優后難以跳出，但SAOA的平均收斂曲線均位于4種對比算法平均收斂曲線下方，且達到特定精度所需的迭代次數最少。

綜上，表3的實驗結果與圖3的平均曲線驗證了本文所提改進算法的有效性。雖然在某些函數上5種算法收斂精度差距不明顯，但SAOA的收斂速度遠快于其他對比算法，表明SAOA的綜合尋優能力比其他算法更強，穩定性更高。

3.4 與最新改進的群智能算法對比

為比較SAOA與其他改進算法的尋優性能，本文將SAOA與新改進的灰狼算法（improved grey wolf optimizer for solving engineering problems，IGWO）、混合灰狼和布谷鳥搜索優化算法（hybrid grey wolf and cuckoo search optimization algorithm，GWO_CS）、新改進的鯨魚算法（CWOA）、IWOA以及新改進蝴蝶優化算法（PWBOW）在空間維度30/200/500條件下對8個基準測試函數進行仿真實驗，其中“—”表示參考文獻未給出相應數據，每個算法獨立運行30次后結果如表4所示。

圖3 5種算法的平均收斂曲線圖Fig.3 Comparison of average convergence curves of 5 algorithms

由表4的實驗結果表明：總體上IGWO與GWO_CS尋優能力相差不大，CWOA是5種對比算法中尋優精度最高的，且SAOA求解精度和穩定性明顯優于5種對比算法。

從縱向來看，CWOA只有對函數F1、F6、F8求解時，才能找到理論值，且由標準差可知CWOA尋到理論值不具有穩定性，對函數F1～F4，IGWO算法與GWO_CS算法無法求解且PWBOA求解精度不高時，SAOA仍具有較高的尋優精度和穩定性，其中IGWO求解精度是5種算法中最差的，GWO_CS算法次之。函數F5存在局部極值，算法容易陷入局部最優且無法跳出，CWOA對其求解精度略優于SAOA，但差異穩定在同一個數量級內，可以接受。函數F7是一種具有山脊形狀的多峰函數，其全局最優值比較難尋，所以SAOA同其他改進算法均未找到理論值，但其尋優精度和穩定性均高于其他算法。

表4 與三種改進群智能算法在不同維度的結果對比Table 4 Comparison with results of three improved swarm intelligence algorithms in different dimensions

從橫向來看，當維度從30維上升到200維再上升到500維，5種對比算法求解精度和魯棒性均有不同程度下降，這是因為隨著維度增加使基準函數復雜度增加，尋優過程需要更多計算，但SAOA求解精度仍最高，從而驗證了SAOA在求解低維和高維問題時具有極強的魯棒性，進一步說明了SAOA在求解函數優化問題時具有一定的競爭優勢。

3.5 Wilcoxon秩和檢測

上訴仿真實驗中，僅憑平均值和標準差不能夠完全說明SAOA算法的優越性。為了保證算法的公平性和有效性，需要進行統計檢驗[13]。本文采用Wilcoxon秩和檢驗驗證SAOA每次實驗結果是否在統計上與其他算法存在明顯差異。秩和檢驗在5%的顯著性水平下進行，當p＜5%時，可以被認為拒絕H0假設，說明兩種算法之間存在顯著性差異；p＞5%時，可以被認為接受H0假設，說明兩種算法尋優性能上整體相同。表5給出了SAOA與AOA1、AOA2、AOA3、GWO_CS算法、IGWO算法進行8個基準測試函數上的Wilcoxon秩和檢驗對比分析，其中“N/A”表示兩者之間性能相當，“Na”表示不適用，即無法進行顯著性判斷，判斷結果，“+”“-”“=”分別表示SAOA性能優于、劣于和相當于對比算法。由表5可知，大部分p值都小于5%，總體上SAOA的性能與其他6種算法在統計上差異顯著，從而表明SAOA比其他算法擁有更好的優越性。

表5 Wilcoxon秩和檢驗結果Table 5 Wilcoxon rank sum test results

3.6 在CEC2014測試函數上進行測試

為了進一步驗證SAOA處理具有復雜特征的問題時的魯棒性，本文選取部分具有復雜特征的CEC2014單目標優化函數進行優化求解，其中包括單峰（CEC01）、多峰（CEC12）、混合（CEC19）和復合（CEC23、CEC27、CEC30）類型函數，選取的部分函數如表6所示。本文將SAOA與基本AOA、PSO算法、GWO_CS算法、PWBOA、IGWO算法進行實驗對比。其中L-SHADE算法在CEC2014函數中表現出色，常作為對比算法，其數據和PSO算法的數據來源于文獻[14]。實驗參數選取種群規模為30，最大迭代次數為1 000，維度為30，獨立運行30次取平均值和標準差，實驗結果如表7所示。

表6 部分CEC2014函數介紹Table 6 Part of CEC2014 function

如表7可知，L-SHADE在單峰CEC03函數上表現出色，而SAOA尋優性能相較標準AOA弱一些，因為SAOA需要進行更多的參數計算，造成收斂精度稍有下降；在多峰CEC12函數和在混合CEC19函數上，SAOA尋優精度更加接近理論值；在復合特征CEC23、CEC27和CEC30函數上，SAOA的標準差為0，說明其對于復合特征函數尋優穩定性強。上述CEC2014測試函數尋優結果分析說明，本文提出的SAOA算法對于具有復雜特征的函數尋優上同樣具有很大優勢，驗證了SAOA算法具有較強的魯棒性。

4 仿真實驗與結果分析

優化設計是20世紀60年代發展起來的一門新學科與設計方法。在機械優化設計中，經常需要解決數值優化問題，然而傳統的優化方法受限于目標函數是非線性和可微等問題，很難找到最優的解決方法[15]。因此，本文將提出的SAOA用于求解機械優化設計問題，進一步驗證所提算法的適用性和可行性。

表7 CEC2014函數優化對比Table 7 CEC2014 function optimization comparison

絕大多的機械優化問題與數學模型有著緊密的聯系。選擇設計變量，目標函數以及約束條件是構造優化設計數學模型的關鍵步驟。該問題的數學模型一般可以描述為如下約束優化問題[16]：

式中，x為設計變量，f(x)為目標函數，gj表示第j個不等式約束，hp表示第p個等式約束，xmin和xmax分別表示設計變量的上下界。

焊接梁設計是機械優化設計問題中的一種，其設計是在4個決策變量和7個約束條件下，以最小化焊接梁的制造費用為優化目標。決策變量分別為焊縫厚度(h)、鋼筋連接長度(l)、鋼筋高度(t)和鋼筋厚度(b)，其結構示意圖如圖4所示。

圖4 焊接梁結構示意圖Fig.4 Schematic diagram of welded beam structure

焊接梁設計的數學模型如下所示。

目標函數：

約束方程：

其中：

式中，τ為剪切應力，σ為橫梁彎曲應，Pc為屈曲載荷，δ為橫梁撓度，f(x)為最小化設計費用總成本。

為了保證實驗對比的公平性，與文獻[6]參數一致，選取種群規模為30，最大迭代次數為1 000，每個算法獨立運行30次，其中SCA、WOA、PSO算法、EO算法的數據來源于文獻[6]。表8是SAOA與其他算法求解焊接梁設計的實驗對比結果。

表8 不同算法求解焊接梁設計問題的對比結果Table 8 Comparison results of different algorithms for solving welded beam design problems

由表8可知，通過焊接梁設計問題的實例驗證，所提SAOA可以取得優于其他算法的優化結果，說明SAOA尋優能力優于其他算法，具有較好的求解精度，進一步驗證SAOA在實際應用中的可行性和適用性。

5 結束語

為了改善AOA的性能，本文提出融合Sin混沌和分段權值的阿基米德優化算法，首先采用Sin混沌反向學習策略初始化種群，提高了初始種群的質量；其次引入的算術交叉算子，增強算法的全局尋優性能；同時在算法中加入分段權值平衡算法全局探索和局部開發能力，降低算法陷入局部最優的概率。通過8個基準測試函數和部分CEC2014測試函數仿真實驗以及基準測試函數Wilcoxon秩和檢驗結果證明提出的SAOA具有更好的尋優性能和有效性。最后，將SAOA應用到機械設計案例中，進一步驗證該算法的可行性和適用性。下一步研究內容的重點內容是將SAOA應用到更加復雜的工程中，如多目標優化、高維函數優化問題等。