基于非對稱雙穩系統的隨機共振及應用

陳 楊，張建剛

(蘭州交通大學數理學院，蘭州 730070)

1 引 言

隨機共振最初是由Benzi等人[1]提出用于解釋地球古代氣候的大振幅周期性變化現象.此后隨機共振及其相關問題引發了各界研究者的關注.隨機共振是由噪聲、弱周期信號和非線性環境相互作用引起的現象.然而噪聲并不總是破壞性的，相反，噪聲和非線性系統的作用有時也會產生建設性的結果.例如，隨機共振就是由噪聲誘導的弱信號放大產生的，它將部分噪聲能量轉化為信號能量，達到增強系統輸出響應的目的，從而提高了信噪比.通過隨機共振處理，微弱信號的幅值、能量等被提高，更便于故障的檢測.并且隨機共振方法不需要進行濾除噪聲的操作，有用信號也不會被削弱，具有很高的理論和實際研究價值.噪聲誘導的隨機共振已經被廣泛運用于生物[2-5]、物理[6-9]、化學[10-12]、量子力學[13-15]和激光[16-18]等領域.

Fauve和Heslot[19]首次通過觀察Schmidt觸發電路系統的雙穩態輸出特性，證實了隨機共振現象的存在.隨后，人們對隨機非線性動力學行為進行了廣泛研究，主要集中于對稱雙穩系統性質的研究.然而大多數非線性系統中勢函數的對稱性無法保證，因此，研究非對稱勢阱的隨機動力學特性至關重要.目前，在噪聲驅動下的非對稱雙穩系統的研究收獲頗豐.例如，Yang等[20]研究了復雜噪聲環境下的時滯非對稱系統，發現在加性和乘性α穩定噪聲共同激勵或單獨加性α穩定噪聲激勵下，調節參數均可誘導隨機共振現象.Zhou等[21]研究了周期混合信號和噪聲聯合激勵下的非對稱雙穩系統，發現對于基頻和高階諧頻情形下均出現隨機共振，并且高階諧頻存在抑制現象.

運用隨機共振原理進行實際應用是近10年來的研究熱點，而過去大部分工作是高斯白噪聲激勵下經典雙穩系統的理論研究，及其各方面的應用.本文主要研究了高斯色噪聲激勵下非對稱雙穩系統的動力學復雜性，研究結果表明，在非對稱雙穩系統相較于對稱雙穩系統更有利實現對隨機共振的控制，其應用于軸承故障診斷方面的性能相較于對稱雙穩系統更為可觀.本文結構安排如下：第2節描述了高斯色噪聲激勵下的非對稱雙穩系統，計算出了平均首次通過時間和信噪比的表達式，第3節分析了各個參數，如噪聲強度、非對稱系數、信號的幅值和頻率等分別對信噪比的影響，以及非對稱雙穩系統的兩個不同方向的平均首次通過時間與噪聲強度、非對稱系數、噪聲關聯時間之間關系，第4節對信噪比參數運用自適應粒子群優化算法(APSO)進行了優化，運用仿真信號進行模擬分析，并采用了實際軸承數據進行了實驗驗證，第5節對本文作出總結.

考慮一個高斯色噪聲和弱周期信號共同激勵下的非對稱雙穩系統，其模型可由郎之萬方程表示為：

(1)

(2)

圖1給出了勢函數U(x)隨著不同非對稱系數r的關系曲線.從圖1可以看出，當r=0時，勢函數是對稱的，即為雙穩的；當r>0時，隨著r的增大，系統勢函數的不對稱性愈發明顯，左勢阱的勢壘增大，且勢阱變得更深，右勢阱的勢壘減小，且勢阱變得更淺.

圖1 勢函數U(x)隨r的關系曲線

接下來，我們介紹信噪比和平均首次通過時間的求解過程，以及各個參數的變化對它們的影響.由于高斯色噪聲是非馬爾可夫過程，所以無法直接獲得系統相應的解析解，因此運用統一色噪近似理論來推導FPK方程.首先，我們運用統一色噪近似理論將原系統化為：

(3)

其中，m(x)=x-x3-r+AcosΩt；c(τ,x)=1-τ(1-3x2)；τ為噪聲相關時間；n(t)為高斯白噪聲.n(t)的統計性質表示為：

〈n(t)〉=0

〈n(t)n(t′)〉=2δ(t-t′)

從而得到Fokker-Planck方程：

(4)

求解Fokker-Planck方程，可以得到穩態概率密度函數表達式：

(5)

(6)

利用平均首次通過時間(MFPT)的定義和最速下降法[22]，可以得到非對稱雙穩系統的兩個不同方向的平均首次通過時間的表達式.

(7)

其中xs表示x1或x2，從而可以得到粒子分別從x1和x2所在勢阱逃逸的速率W±的表達式.

(8)

根據兩態模型理論[23]，可以得到信噪比(SNR)的表達式.

(9)

其中,

l=AcosΩt，

(τ-1)(xun-x1)]

(10)

3 隨機共振

3.1 信噪比

根據信噪比表達式，我們考察信噪比隨著噪聲強度Q和非對稱系數r變化的三維圖，固定參數A=0.5，Ω=0.5，τ=0.2, 結果如圖2所示.從圖2可以看出，隨著噪聲強度Q和非對稱系數r的增大，信噪比先逐漸增大到最大值，然后逐漸減小，呈現出非單調結構.這是隨機共振現象的識別特征，代表系統能夠隨著Q和r的變化引發隨機共振現象.

(a)

根據信噪比的表達式，我們分別討論了信噪比作為噪聲強度和非對稱系數的函數關于噪聲關聯時間、信號幅值以及信號頻率的影響.圖3a給出了信噪比作為噪聲強度Q的函數隨著不同噪聲關聯時間τ的變化曲線.從圖3a可以看到傳統的隨機共振現象，峰值隨著τ的增大而減小，但峰值的水平方向的位置沒有明顯變化.圖3b給出了信噪比作為非對稱系數r的函數隨著噪聲關聯時間τ的變化曲線，信噪比同樣隨著τ的增大而減小.由此可知，較大的噪聲關聯時間會抑制系統隨機共振現象的發生.此外，除了噪聲強度對系統的影響，系統對非對稱因素的改變也十分敏感.

(a)

圖4a給出了信噪比作為噪聲強度Q的函數隨著信號頻率Ω的變化曲線.隨著Ω的增加，峰值也在逐漸增大，峰值的位置略微向右偏移.圖4b給出了信噪比作為不對稱系數r的函數隨著信號頻率Ω的變化曲線，呈現出類似現象，也再次說明信號頻率的增加可以促進隨機共振的發生.

(a)

圖5a給出了信噪比作為噪聲強度Q的函數隨著信號幅值A的變化曲線.隨著A的增大，峰值逐漸增大，峰值位置沒有明顯偏移.圖5b給出了信噪比作為不對稱系數r的函數隨著信號的幅值A的變化曲線.圖5b呈現出隨機共振現象.隨著A的增大，峰值逐漸增大，峰值的位置也沒有明顯偏移.因此，較大的信號幅值，有利于隨機共振現象的發生.

(a)

3.2 平均首次通過時間

MFPT是描述隨機系統暫態特性的一個重要特征參數，代表粒子在噪聲驅動下首次從一個勢阱躍遷到另一個勢阱的平均時間.根據MFPT的表達式，分別討論非對稱雙穩系統的兩個不同方向(左阱到右阱和右阱到左阱)的MFPT與噪聲強度、非對稱系數、噪聲關聯時間之間關系.當r=0時，原方程退化為對稱雙穩模型，MFPT與初始狀態無關，從而MFPT(x1→x2)的曲線與MFPT(x2→x1)的曲線是一致的，當r≠0時，兩個不同方向的MFPT曲線趨勢是相反的，具體說明如下：

(11)

圖6給出了MFPT隨著噪聲強度Q和非對稱系數r在不同方向上變化的三維圖.由圖6a可見MFPT(x1→x2)隨著Q和r都呈現的大致趨勢為單調遞增，這意味著噪聲強度和非對稱系數的增大都不利于粒子在勢阱間的躍遷.圖6b則與MFPT(x1→x2)情況恰好相反，呈現了單調遞減的趨勢，因此當方向相反時，對MFPT的影響也相反，即噪聲強度和不對稱系數的增大有利于系統在兩個穩態之間相互躍遷.

(a)

圖7給出了MFPT(x1→x2)作為噪聲強度Q和非對稱系數r的函數隨著噪聲關聯時間τ的變化曲線.各曲線均呈現出單調遞增的趨勢，且隨著τ的增大，其陡峭程度也逐漸上升.這說明關聯時間τ對MFPT的影響較為顯著，關聯時間τ的增大，使得粒子從單個勢阱發生躍遷所需時間增加.

(a)

圖8給出了MFPT(x2→x1)作為噪聲強度Q和非對稱系數r的函數隨著噪聲關聯時間τ的變化曲線，在τ的取值較小時，曲線均呈現單調遞減的趨勢，說明隨著噪聲能量的增加，躍遷的概率增加，粒子首次躍遷所用時間變短.

(a)

4 模擬分析與實驗驗證

4.1 自適應粒子群算法優化參數

在進行仿真模擬前，我們先將系統參數進行優化，以便達到更優的輸出結果，并將非對稱雙穩系統與經典雙穩系統比較優劣.基于隨機共振對系統參數的敏感性，適當地調整參數可以使系統達到最優水平.我們利用自適應粒子群算法(APSO)[24]對系統參數進行調整，模擬了信號最優輸出結果.APSO是粒子群的改進算法，它能夠自適應地更新權值，保證了粒子有更快的收斂速度和全局搜索能力.

算法設計：在目標搜索空間中，有若干個粒子組成的一個群體，每個粒子都是一個潛在的解，代入目標函數之后算出其適應值，再根據適應值的大小判斷解的優劣.粒子需要經過多次迭代獲得最優解，每經過一次迭代都會更新一次位置.將適應度最好的粒子位置作為當前粒子群的最優位置，再對粒子的步長和位置進行調整，計算粒子更新后的適應度，將每個粒子的適應度與全體粒子所經歷的最好位置比較，直到達到最優解.

APSO流程如下：

(1)初始化粒子的步長和位置，將每個粒子當前位置暫設為各自的最優位置P_best.

(2)計算每個函數的適應度，存儲它們的最佳位置和適應度，并選擇適應度最好的粒子位置作為當前最優秀位置Q_best，然后調整粒子的步長和位置.

(3)計算粒子更新后的適應度，再把其適應度與之前所經歷的P_best對應的適應度對比，取最優作為當前P_best.

(4)將每個粒子的適應度與全體粒子的Q_best對比，取最優作為當前Q_best.

(5)如果達到最大迭代次數或最優適應度，則停止迭代，并輸出最優解；如果未達到以上終止條件，則返回步驟2.

圖9 自適應粒子群算法流程圖

表1 APSO算法優化結果

4.2 仿真分析

在實際的機械軸承故障診斷中，由于軸承球體滾過故障具有周期性，我們選擇單邊衰減脈沖函數[25]作為仿真信號進行模擬分析，即

S(t)=exp{-d[t-n(t)Td]2}·Asin(2πft)

(12)

(13)

其中Ad和∑iAi-Ad分別表示驅動頻率和噪聲總功率.

運用參數優化后的系統對仿真信號進行故障檢測，圖10a展示了仿真信號對應的功率譜密度，其中，采樣頻率為10 KHz，樣本大小為2000.從時域上看，周期脈沖淹沒在噪聲中；從功率譜中看，幾乎所有振蕩都被載波頻率處的振蕩遮蔽.因此，從仿真信號中直接診斷故障十分困難.圖10b通過Hilbert變換[26]，將包絡信號中的特征頻率進行了解調，但干擾成分依舊存在.圖10c為CBSR方法的輸出信號，相較于圖10b信號得到明顯改善，但依舊存在部分干擾頻率.圖10d展示了ABSR方法的輸出信號，從時域圖中可以看出具有清晰的信號周期，從功率譜圖中也可以觀察到幾乎無干擾成分的特征頻率，這說明ABSR方法從仿真信號中提取故障頻率的有效性.

(a)CBSR

為了測試ABSR方法的性能，本節對一組缺陷軸承數據進行測試.軸承數據來自凱斯西儲大學(CWRU)數據中心[27]的實驗裝置(圖11).本實驗使用的軸承為6205-2RS SKF，其詳細幾何形狀見圖12.在軸外滾道引入單點故障，圖13為外滾道缺陷信號的分析.原始信號及其功率譜如圖13a所示，從波形中無法找到故障脈沖.經過包絡提取后，分析結果如圖13b所示，從功率譜中可以看出球經過外滾道缺陷的頻率，由于旋轉頻率的調制作用，影響了故障特征頻率的解調和準確判斷.分別采用CBSR方法和ABSR方法對該信號分析，結果如圖13c和圖13d所示，波形排列都更加整齊，故障脈沖也都可以被清晰識別，而ABSR方法得到的特征頻率更高，因此診斷性能更好.

(a)

圖12 CWRU實驗臺

圖13 軸承截面圖

(a)

5 結 論

本文研究了高斯色噪聲激勵下的非對稱雙穩系統的隨機共振.首先，我們通過對信噪比曲線的分析發現，隨著噪聲強度和非對稱系數的變化，系統會出現隨機共振現象.其次，我們分別研究了噪聲關聯時間、信號的頻率、信號的幅值對信噪比的影響，發現信噪比關于噪聲強度與非對稱系數隨各個參數變化的趨勢類似.即：適當地降低噪聲關聯時間有利于隨機共振現象的發生，與之相反，適當地提高信號的頻率和幅值也有利于隨機共振現象的發生.然后，我們分別探討了非對稱雙穩系統的兩個不同方向的MFPT與其他參數之間的關系，發現隨著信號關聯時間的增加，MFPT(x1→x2)也隨之增加，但MFPT(x2→x1)隨之減小.所以在MFPT(x2→x1)方向上增加信號關聯時間τ有利于實現粒子在兩者之間的過渡，提高了粒子在兩種狀態之間的躍遷速率.此外，我們觀察到在非對稱雙穩系統中，噪聲強度、非對稱系數和噪聲關聯時間對不同方向上的平均首次通過時間的作用是相反的.最后，我們將單邊衰減脈沖函數作為仿真信號，說明了ABSR方法從仿真信號中提取故障頻率的有效性，并采用CWRU軸承數據進行了驗證.鑒于非對稱性的重要性，我們擴展了對非對稱性雙穩模型的研究，希望能在一定程度上推動今后的研究和應用的發展.