初中數學規律性問題的分類研究

廣西桂平市南木鎮第一初級中學（537226） 李杰梅

筆者將規律性問題劃分為數字變化類、算式變化類、坐標變化類、圖形變化類四種類型。這四種類型問題涉及的背景不同，解題時需要學生在深刻理解題意的基礎上進行合理的歸納和推理，盡快地找到隱含在題干中的規律。教學中，為了使學生更好地破解這四類問題，教師應為學生做好解題示范，使學生更好地掌握解題的技巧。

一、數字變化類

學生對數字變化類問題并不陌生，該類問題通常給出一組按照某一規律排列的數字，要求學生求出某一項數字的具體值。解答該類問題時需要從給出的已知條件出發，找到其潛在規律。如果題目中給出的數字是具體的，應認真觀察數字，認真分析數字對應位數、前后項的變化情況，找到變化的值與對應序數之間的關系。如果題目中給出的數字是按照某一式子變化的，則需要運用歸納法進行分析。解題時一般寫出數字的前面幾項，相關的規律便會顯現出來。學生若能掌握解題方法與技巧，積累解題經驗，就能在解題中少走彎路。教師應做好經典例題的篩選與講解，通過解題過程的板書，引導學生認真揣摩與反思解題過程，把握解題的關鍵。

［例1］已知在一列數x1，x2，x3，…中，x1=1，當k≥2 時（取整符號[a]表示不超過a的最大整數），則x2014的值為（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：該題的已知條件并不復雜，解題的關鍵在于從給出的等式關系中找到潛在規律。觀察要求解的問題可知，其項數較大，一定存在周期。對此，可結合給出的等式關系以及對[a]含義的理解，算出前面的幾個數，歸納出周期。

可知其每隔4 個數循環一次，其周期為4，則2014=503×4+2，∴x2014=x2=2，故選B。

點評：解答數字變化類問題時應注重分析題干，凡是要求解項數較大的具體數字時均具有一定的周期性，因此應將解題的重點放在歸納、推理其周期上。

二、算式變化類

算式變化類問題一般指運算法則按照一定規則變化的問題。解答該類問題的常規思路：審題，吃透題意→按照運算法則計算出結果→分析結果，尋找規律。其中“分析結果，尋找規律”對學生的觀察、分析能力要求較高。對此，教師應引導學生牢記常規解法，認真審題，按照給出的運算法則認真計算，并通過觀察結果的形式、各數字所處的位置，分析數字的變化規律，寫出符合所有結果的通式。

［例2］某計算機程序如圖1 所示，每次運算均是將一個數先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：

圖1

若將π輸入進去，則y10的值為（ ）。

解析：要想求出y10的具體值還應根據給出的程序分別寫出y1，y2，y3，y4，認真觀察結果的構成，看能否找到所得結果的規律。

點評：該題計算較為復雜，但是只要找到正確的解題方向和規律，便不難解答。需要注意的是，得出計算結果后應注重化簡，分析分子、分母和計算次數之間的關系。

三、坐標變化類

坐標變化類問題通常和函數圖像結合在一起，解答該類問題，需要學生在明確求解問題的基礎上，運用函數、幾何圖形的性質分析坐標間的關系，以及應用函數圖像的平移規律、規則圖形的相關性質、三角形全等、三角形相似的判定等。不僅如此，還需要結合具體的情境作出輔助線，以更好地計算相關坐標。

［例3］如圖2，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是以B1，B2，B3…為直角頂點，斜邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，直角頂點B（1x1,y1），B2（x2,y2），B3（x3,y3），…均在反比例函數(x＞0)的圖像上，則y1+y2+…+y10的值為（ ）。

圖2

解析：該題是等腰直角三角形和反比例函數相結合的綜合性問題，較為抽象，而且已知條件中未直接給出對應點的坐標。可設計如下問題引導學生思考：（1）怎樣求直角頂點的坐標？（2）等腰直角三角形有什么性質？（3）相加計算時應注意哪些細節？

顯然，需要作出對應的輔助線。等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，運用給出的反比例函數，可分別求出y1，y2，y3，…，y10，而后進行相加運算。為降低運算的復雜度，求和時應注重相關規律的應用。

如圖3，分別由B1，B2，B3，…向x軸正半軸作垂線，垂足分別為D1，D2，D3，…對于△OA1B1，因其為等腰直角三角形，容易得出OD1=D1B1，因為B1在反比例函數的圖像上，所以B1的坐標為（2,2）。設A1D2=a，則B2（4+a,a），代入0)，解得即；同理，y3=所以故選A。

圖3

點評：解答坐標變化類問題時應具備靈活的思維，注重幾何知識的靈活應用，同時在計算時應注意觀察，掌握相關的計算規律。

四、圖形變化類

圖形變化類問題要求學生根據圖形的變化求解圖形的角度、圖形的線段長度、周長以及面積等。突破該類問題的關鍵在于找到圖形變化前后的規律。該類問題創設的情境復雜多變，部分習題難度較大，因此教師應多給學生提供不同的情境，多與學生互動，避免其走進解題的誤區。同時，注重運用多媒體技術為學生動態展示相關圖形的變化，使學生能夠清晰地看到圖形變化過程中角度、線段長度等的變化，幫助其更好地找到解題的思路。

［例4］如圖4，已知△ABC的面積為1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，順次連接A1，B1，C1得到△A1B1C1；第二次操作延長A1B1，B1C1，C1A1至A2、B2、C2，使得A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，按照此規律進行下去，若使得到的三角形的面積超過2019，則至少需要經過（ ）次操作。

圖4

A.4 B.5 C.6 D.7

解析：該題文字敘述較多，難度較大，只有充分理解題意，挖掘潛在的變化規律，才能順利地求解。教師應引導學生作出相關的圖形，并通過認真地對比、分析，挖掘題干中的隱含信息，找到操作后得到的三角形與原三角形面積之間的關系。

連接BC1，則其為△A1AC1的中線，則S△ABC=S△BAC1=S△A1AC1=1，則第一次操作后得到的三角形面積為2×3+1=7。同理，第二次操作后，△A2B2C2的面積為△A1B1C1的7 倍，為7×7=49，以此類推，第三次、第四次操作后得到的三角形的面積分別為49×7=343、343×7=2401，若要想滿足題意則至少需要進行4次操作，故選A。

點評：解答圖形變化類問題時應注重把握變與不變的量，分析變量是怎樣變化的，而后進行有規律的計算。

為了提高學生解答規律性問題的能力，教師應結合學生的實際情況，制訂明確的教學目標與教學計劃，既要注重相關解題技巧的教學，又要對習題分門別類地整理，優選精講經典例題，更好地拓展學生視野，使其掌握解題規律。同時，及時組織學生的開展專題訓練活動，趁熱打鐵，使學生將學到的知識內化為解題能力，靈活地解答各類問題。