基于自然采樣確定PWM 逆變器脈沖沿的近似算法

屈寶麗

（西安交通工程學院，陜西西安 710300）

脈沖寬度調制（Pulse Width Modulation，PWM）是功率變換器控制技術的一種重要方法[1-2]。在當前的技術水平上，脈寬調制中的3 個區域在所完成的解決方案中具有一定的自主性，3 個區域分別為脈沖寬度調制的切換策略（與切換脈沖邊沿的產生有關）、逆變器輸出電壓基波諧波幅度的調節以及逆變器輸出電壓和電流的諧波失真[3-4]。PWM 技術是基于調制函數的方法，調制函數包含所需波形的信息，而信號載波包含開關頻率的信息。調制信號和脈沖載波的交點確定了調制信號的脈沖沿，這是涉及自然采樣調制函數方法的所有模擬實現的基礎[5-6]。

脈寬調制器輸出端的信號定義了逆變器支路的開關函數，用于控制支路內開關的導通狀態。逆變器輸出端交流電壓的合成、幅值和頻率的調節是通過逆變器支路中的開關動作來完成的。

基本的PWM 方法與脈沖沿的確定方式有關，基于調制信號和載波信號交叉的脈沖沿檢測屬于自然采樣技術。自然采樣技術的缺點是與決定脈沖沿的角度和調制函數有關[7-8]。常規采樣法是調制函數法數字化實現的基本解決方案，由于調制函數是在離散點上指定的，因此常規采樣方法具有較大的靈活性。自然采樣法在諧波含量的線性度、基波幅值的調節范圍等方面均優于常規采樣法。

空間矢量調制作為三相逆變器PWM 的矢量方法已經得到了應用[9-10]，其具有以下優點：①支持向量機擴展了線性調制范圍，無需將三次諧波注入正弦調制函數；②與基于正弦調制函數的常規方法相比，空間矢量調制方法的諧波含量更低；③空間矢量調制較低的開關損耗僅由一種狀態決定。

文獻[11]詳細分析了基于載波的PWM 方法及其與空間矢量法的關系。利用簡單的變換，調制函數從時域變換到復域，其中參考矢量以與時間調制函數的角頻率相等的角速度旋轉。文獻[12]證明了經典方法SVM 與注入三次諧波和正則采樣技術的正弦函數調制方法完全相同。在以上研究的基礎上，文中根據調制函數方法提出了一種近似的PWM 采樣算法，該算法將先驗方程式替換為導出的代數表達式即可實現任意精度的自然采樣。

1 調制函數法

調制函數法的一般特點：調制器輸出端的脈沖合成是在參考信號和信號載波的基礎上進行的。參考信號是一個周期函數，其頻率等于逆變器輸出電壓的基頻，幅值與基頻諧波的幅值成正比例[13-14]，調制函數是參考信號的解析表示，其一般式如下式所示：

其中，參數M表示調制幅值指數，參數ω表示逆變器交流電壓函數的基頻，ωt可以是連續的，也可以是不連續的[15]。

在經典的PWM 方法中，載波信號是一個三角半周期的交流信號，頻率為fc，幅值為1。載波信號頻率和參考信號頻率的比值決定了調制的頻率指數。當頻率指數是整數時，該指數表示的是脈沖數p，是同步調制函數方法的一個特征。調制函數法的另一個的特征是在載波信號的頻率不變時，基頻連續變化。在這種情況下，由于脈沖具有非周期性，因此次諧波的出現對較低基頻的負載產生不利的影響[16-17]。

與脈沖沿確定方法無關，調制器輸出端信號的基本特征是二進制形式，輸出的是調制寬度。通過開關函數將信號轉換到開關元件的狀態。調制器輸出的脈沖沿通常是在參考信號和載波信號的基礎上，由自然或常規采樣方法確定。在三相逆變器的情況下，調制函數除了基本分量外，還包含三階分量，這些分量在整個負載中起中和作用。

1.1 常規采樣法

在常規采樣方法中，參考信號被離散化，通過比較載波信號和離散化的參考信號來確定脈沖沿，這意味著該方法可數字實現。因此，與自然采樣方法相比，常規采樣方法的優點是可以控制微處理器，自然采樣法的脈沖沿是由參考三角信號與載波三角信號交叉得到的超越方程的迭代解來確定的。圖1給出了采用調制函數法和常規采樣的合成半橋逆變器的輸出電壓。

圖1 合成半橋逆變器的輸出電壓

為了確定開關函數，必須確定對應于開關頻率周期的脈沖寬度p，輸出端的交流電壓由開關函數α(ωt)通過以下表達式確定：

電壓μA0表示調制器輸出脈沖的周期序列的副本，該電壓可用傅里葉級數表示，如式（3）：

如果載波頻率遠高于參考信號基頻(ωc＞15ω)，則在諧波頻譜的較低范圍內，可以進行近似，則有以下關系：

由上式可知，逆變器輸出電壓諧波頻譜的較低部分對應于標度系數為M/2 的參考信號的頻譜。

1.2 空間矢量調制及其與調制函數的關系

使用調制函數方法的PWM 基本組成元素是參考信號，參考信號表示逆變器三相負載上確定的相電壓映射，而載波信號則可以確定逆變器支路的開關頻率，這些元素是合成支路三相逆變器的開關函數所必需的，并且這些函數與相位和線路交流電壓線性相關。與之不同的是，支持向量機的基本成分是參考電壓矢量和逆變器的開關狀態。空間矢量法的實質是使用兩個映射逆變器開關狀態的有效矢量逼近旋轉矢量的平均值。

連續矢量調制函數是由經典的支持向量機方法得到的。在每個扇區內，交換扇區是由連續矢量組成的對稱交換狀態序列。通過將此原理應用于活動連續矢量狀態，可以找到每個扇區中活動狀態和零狀態的時間。利用時間序列的不變性，可以求出逆變器支路開關函數的平均值。另一方面，通過對稱采樣，可以得到開關函數的平均值，即αˉ(ωt)=0.5[1+F(M,ωt)]。使用SVM 方法將此公式與獲得的平均值進行平衡，得到向量調制函數。利用模擬過程和由非連續空間矢量合成參考矢量，可以得到不連續調制函數。

2 近似采樣算法

在近似采樣算法中，用直接確定近似解的方法代替了求脈沖邊角的迭代方法。以脈沖個數為參數，將脈沖沿的角度視為調幅指數的函數，因為調幅指數是連續變化的，而脈沖數在頻率控制的單一范圍內保持不變。在該方法中，脈沖沿的角度由多項式近似，多項式的最高階決定了與自然采樣相比所獲得解決方案的優劣程度，并且不影響近似采樣算法的適用性。多項式近似是沒有限制的，適用于所有已知的調制函數和三角載波信號。

調制函數的載波信號是三角半周期的周期性交流信號。參考信號和載波信號的相位位置由一個公共零點同步，有兩種情況可能導致不同的脈沖角度值。第一種情況，相同符號(s=1)半周期的相位零點是同步的；第二種情況，不同符號(s=0)半周期的相位零點是同步的。從PWM 信號控制和合成的角度來看，可以應用近似過程來獲得根據振幅指數值計算脈沖寬度的分析表達式。逆變器輸出電壓的幅度和頻率調節是通過幅度指數的連續變化和頻率指數p的離散變化來實現的，在恒定的頻率指數下，脈沖沿的角度相對于參考頻率和載波頻率的變化是不變的。

在實際應用中，用近似多項式確定脈沖沿消除了迭代數值過程，根據脈寬計算方法可以得到任何調制函數。當幅值為0 時，調制器輸出的脈沖是具有相同角寬度的信號。

3 結果分析

由于基于自然采樣確定PWM 逆變器脈沖沿的近似算法產生的脈沖序列交流分量具有奇對稱性，因此逆變器交流電壓的傅里葉展開式只包含正弦分量。電壓第n次諧波的幅值由以下表達式給出：

由上式可以得到電流失真系數與振幅指數的函數關系。根據振幅指數M，令n=1 可直接獲得調幅指數。由于二階多項式算法給出的脈沖沿的角度與使用自然采樣法獲得的脈沖沿的角度的偏差相對較小，因此相同的結論也適用于脈沖產生的基波振幅二階多項式算法。使用多項式算法可顯著降低幅度調制的失真系數。數值分析和仿真結果表明，在低頻指標下，該采樣方法在失真系數和最大調制幅度系數方面都具有優勢。

當二次多項式算法應用于正弦調制函數時，p=6的結果已經接近理想自然采樣方法。實驗結果表明，在較高的頻率指標下，所有算法都收斂到相同的失真系數值和相同的電壓調節幅值特性。由于三相逆變器的橋式結構是由3 個半橋組成的，所以上述結果可應用于三相逆變器的計算。當應用于矢量調制函數時，所提出的多項式算法也顯示出了其主要優點。在頻率指數p≤15 時，算法可以給出振幅特征的最大值，與常規采樣方法相比最大值有較大的提高，同時還降低了失真系數。為了說明這一點，假設p=6 和m=1，多項式算法使基諧波的振幅降低為0.567 2，失真系數DIS為5.676 1%。如果在相同條件下應用常規采樣方法，則振幅降低為0.552 1，失真系數DIS 為8.408 7%。就幅度特性而言，使用相反符號s=0的同步半周期可以實現p=9和p=21的最佳結果。

4 多項式算法的實現及實驗結果

自然采樣數字實現的基本特征是迭代過程和浮點數格式的數據處理，這是確定脈沖邊角表達式的超越性結果。逆變器輸出電壓基波諧波的幅值與脈沖數的關系如圖2 所示。電壓失真系數DIS 與脈沖數的關系如圖3 所示。

圖2 電壓基波諧波的幅值與脈沖數的關系

圖3 電壓失真系數DIS與脈沖數的關系

通過時域轉換，可以得到在適當的開關頻率周期內的第k個脈沖位置。現代微控制器配備了集成的外圍設備，用于合成調制信號，進而控制逆變器支路的開關狀態。Intel 的微控制器8XC196MC/MD 采用調制函數法對PWM 的實現進行了優化，它包含了調制信號發生器，大大簡化了選擇算法的程序實現，并減少了對外部硬件設備的需求，從而能夠合成3組獨立的互補調制信號，具有共同的開關頻率和保守確定的“死區”時間。采用多項式算法的基本條件是程序實現所需的時間必須小于載波信號周期的一半。調幅指數可以從顯示輸出振幅與頻率的依賴關系存儲表中得到。

實驗模型是為多項式算法的實際實現設計的，它包含3 個基本單元。

1）電壓三相逆變器：實現了一次多項式算法和矢量調制函數。

2）三相異步電機：其標稱電壓為380 V；額定電流為5.3 A；功率因數cosφ為0.81；額定功率為2.2 kW；額定轉速為1 410 r/min。

3）電動制動器：其額定功率為2 kW；額定轉速為1 500 r/min。

實驗結果表明，采用多項式算法對常規的2.4 kHz開關頻率選擇算法進行改進是可行的。對于較高的開關頻率，在線計算脈沖沿位置所需的時間對于開關段的不對稱性至關重要。文中實現了輸出頻率為40 Hz，脈沖數p=60 的一次多項式算法的應用。將多項式算法與矢量調制函數合成得到的線電流和相電壓波形圖如圖4 所示。

圖4 線電流和相電壓波形圖

5 結論

文中提出了一種新的基于調制函數的自然采樣PWM 算法，該算法無需迭代即可實現自然采樣。結果表明，脈沖沿的角度可以用多項式來逼近，多項式的最高階決定了與自然采樣相比所得解的近似度量。在簡單性方面，自然采樣PWM 算法與常規采樣方法相比較，仿真結果表明，該算法保留了PWM 自然采樣技術的所有優點，使逆變器輸出的電壓質量得到了改善。