Haar 小波數(shù)值解原理在圖像邊緣檢測(cè)算法中的應(yīng)用

徐艷華，周榮亞

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西渭南 714000）

在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，圖像邊緣[1]作為數(shù)字圖像最為重要的特征之一，可以方便地表示出一個(gè)圖像區(qū)域塊的開(kāi)始與結(jié)束。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，圖像的邊界上存在大量梯度突變的特征點(diǎn)，而邊緣檢測(cè)[2]的主要功能則是查找出圖像邊緣灰度不連續(xù)的部分。目前，邊緣檢測(cè)已被廣泛應(yīng)用到圖像處理、圖像分析與應(yīng)用和機(jī)器視覺(jué)[3-4]等領(lǐng)域。

近年來(lái)，邊緣檢測(cè)已成為圖像處理研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，關(guān)于邊緣檢測(cè)的算法也較多。目前常見(jiàn)的邊緣檢測(cè)算法都是基于微分的思想，常見(jiàn)的微分算子有Robert、Soble、Log 和Canny[5]等。這些微分算子對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求低，所需計(jì)算性能和存儲(chǔ)空間較小。但這些算法自身性能偏低，對(duì)復(fù)雜圖像或模糊圖像進(jìn)行檢索時(shí)表現(xiàn)較差，因此需對(duì)傳統(tǒng)算法進(jìn)行改進(jìn)。

小波分析是對(duì)微分算法進(jìn)行改進(jìn)的有效方法。其是一種局部算法，在對(duì)圖像的局部進(jìn)行分析時(shí)性能較好，同時(shí)可以在時(shí)域和頻域?qū)D像特征進(jìn)行處理。該文結(jié)合小波變換[6]與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[7]邊緣檢測(cè)的優(yōu)點(diǎn)，首先基于Haar 小波濾波器[8]對(duì)圖像進(jìn)行分解；然后利用Canny 檢測(cè)算子對(duì)圖像的高頻部分進(jìn)行邊緣檢測(cè)，而對(duì)于圖像的低頻子分量部分，則引入形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)算法。

1 基于Haar小波變換的圖像邊緣檢測(cè)

1.1 一維非均勻Haar小波原理

作為Daubechies小波家族中最簡(jiǎn)單的一種，Haar小波亦被稱(chēng)為一階Daubechies 小波。在工程應(yīng)用中，傳統(tǒng)模式的均勻Haar 小波存在一些局限性，即對(duì)眾多工程中的邊界問(wèn)題適用性較差。因此該文為提升檢測(cè)算法的精確性，采用非均勻Haar 小波[9]。下面將對(duì)非均勻Haar 小波原理進(jìn)行介紹：

非均勻Haar 小波定義的引入離不開(kāi)子空間的非均勻劃分。令M=2J，伸縮因子定義為j=0,1,…,J，平移因子定義為k=0,1,…,m-1,m=2j。小波的數(shù)量由i=m+k+1 所決定，其中i的上限為2M，則定義Haar 尺度函數(shù)為：

其中，χ[a,b](x)表示[a,b]上的特征函數(shù)，對(duì)于非均勻子空間的劃分，令x∈[a,b]，規(guī)定第l個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度Δxl=xl-xl-l，其中l(wèi)的取值范圍為1,2,…,2M。假定Δxl+1=qΔxl，這里q＞1 為指定常數(shù)，所有子區(qū)間長(zhǎng)度和為：

利用Δxl+1=qΔxl，類(lèi)推迭代可得到非均勻子空間劃分的網(wǎng)格點(diǎn)為xl=a+lql-1/q2M-1。

以上述非均勻子空間的劃分為基礎(chǔ)，可引入一維非均勻Haar 小波的定義如下：

其中，hi(x)為第i個(gè)非均勻Haar 小波函數(shù)。當(dāng)i＞1 時(shí)，上式中ξ1(i)=x(2kμ),ξ2(i)=x[(2k+1)μ],ξ3(i)=x[2(k+1)μ]。

1.2 非均勻Haar小波算法在圖像分解中的優(yōu)勢(shì)

利用小波變換可以將基礎(chǔ)圖像進(jìn)行分解，該文選用Haar小波濾波器對(duì)圖像進(jìn)行分解。對(duì)圖像分解的本質(zhì)是對(duì)積分方程進(jìn)行求解，該文使用的Haar 小波變換在積分方程求解中具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)[10-11]。

在方程求解中基于中點(diǎn)配置法和非均勻Haar小波求解積分方程，其中將配置點(diǎn)選取如下：

假設(shè)求解的積分方程為：

由積分方程的相關(guān)數(shù)理知識(shí)可知，方程的精確解應(yīng)為：

而所有的配置點(diǎn)均可由式（6）計(jì)算得到。將積分方程的非均勻Haar 小波解表示為級(jí)數(shù)的形式可得到：

式（9）中，ai式為小波系數(shù)向量a的對(duì)應(yīng)元素，將式（9）代入式（7）中可得到：

假設(shè)Gi為：

則由式（5）的非均勻Haar 小波定義可得：

將配置點(diǎn)xc代入矩陣方程：

通過(guò)式（14）和（15）即可求出向量a=(ai)。再將ai代入到式（9）中，即可得到方程的Haar 小波解。由計(jì)算結(jié)果可知，方程的精確解和數(shù)值解的誤差在10-5～10-4之間，由此可以說(shuō)明非均勻Haar 小波在求解積分方程時(shí)誤差較小，表明Haar 小波算法在圖像分解過(guò)程中可達(dá)到較高精度。

1.3 基于Haar小波的圖像邊緣檢測(cè)算法

該文以Haar小波變換為基礎(chǔ)利用Haar小波濾波器將原圖像進(jìn)行分解。針對(duì)不同的子分量圖像，選擇不同的邊緣檢測(cè)算法，然后對(duì)不同子分量的結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)以提升算法性能。最終提出的算法模型主要由三部分組成，分別是Haar小波分頻處理、Canny算子邊緣檢測(cè)和抗噪型形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)，整體的算法流程如圖1所示。下面將對(duì)每個(gè)具體的組成部分進(jìn)行介紹：

圖1 該文算法流程

1）基于Haar 小波的分頻與重構(gòu)：該文提出算法在進(jìn)行原始輸入圖像頻率分解與最終的合成重構(gòu)時(shí)，采用的方法為一級(jí)Haar 小波分解方法，具體分解信息如圖2所示。由圖2可知，所提出算法將輸入的原始圖像分為4個(gè)子集合向量，用字母表示為A、V、H、D。

圖2 一級(jí)Haar小波分解圖

2）Canny 算子邊緣檢測(cè)：邊緣檢測(cè)操作簡(jiǎn)單，但其需要處理的細(xì)節(jié)信息較多。通常基于圖像中形狀區(qū)域的梯度信息，找出灰度值變化較大的點(diǎn)，并對(duì)圖像的邊界區(qū)域進(jìn)行識(shí)別和提取，其具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖3 所示。將圖像作為二維數(shù)據(jù)，實(shí)際上就是對(duì)二維數(shù)據(jù)取梯度值即可得到所需的圖像數(shù)據(jù)矢量值。而圖像數(shù)據(jù)梯度值的本質(zhì)則是對(duì)二維變量的每個(gè)變量單獨(dú)求偏導(dǎo)，結(jié)果如式（16）所示：

圖3 邊緣檢測(cè)一般步驟

該文對(duì)原始圖像分解后得到的高頻子分量圖像部分使用Canny 算子作為該算法的邊緣檢測(cè)算子，文獻(xiàn)[12-16]中的結(jié)果均表示該算子的檢測(cè)效果最佳。基于Gauss 濾波器[12]的強(qiáng)大計(jì)算能力，可以準(zhǔn)確得出圖像的梯度信息。通過(guò)尋找基于局部梯度的最大強(qiáng)度邊界信息，Canny 算子能夠?qū)崿F(xiàn)邊緣信息的準(zhǔn)確檢測(cè)。針對(duì)噪聲問(wèn)題，Canny 算子設(shè)置了雙閾值模式，其可以保證邊緣檢測(cè)時(shí)對(duì)圖像邊緣信息的準(zhǔn)確提取。該模式能夠顯著提高邊緣檢測(cè)的精確度，并可準(zhǔn)確提取出待測(cè)圖像的邊緣信息。閾值按照大小可以分為大閾值和小閾值，若梯度強(qiáng)度小于檢測(cè)大閾值的要求，則需要對(duì)大小邊緣點(diǎn)進(jìn)行擬合，該檢測(cè)點(diǎn)即確定為弱邊緣點(diǎn)[13]。正是因?yàn)樵撍阕邮褂么笮蓚€(gè)閾值進(jìn)行邊緣點(diǎn)檢測(cè)，所以該算法的檢測(cè)性能相較于其他兩個(gè)算法更優(yōu)。

3）抗噪型形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)：通過(guò)上文分析可知，雖然算法操作簡(jiǎn)便，但檢測(cè)時(shí)的圖像噪聲對(duì)檢測(cè)結(jié)果影響較大。為解決這一問(wèn)題，提升算法的抗噪能力，該文引入一種抗噪型形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)算法來(lái)提升所提算法在噪聲干擾情況下的性能。基本形態(tài)學(xué)運(yùn)算如開(kāi)運(yùn)算和腐蝕運(yùn)算[14-16]可以較好地抑制圖像中的峰值噪聲；反之，基本形態(tài)學(xué)運(yùn)算如閉運(yùn)算和膨脹運(yùn)算則可以較好地抑制圖像中的底谷噪聲。由此可見(jiàn)，基于形態(tài)學(xué)的理論對(duì)上述算子進(jìn)行處理，可大幅度增強(qiáng)算法的魯棒性，且圖像噪聲對(duì)結(jié)果的影響也會(huì)減小。加入抗噪因子后的算子分為如下幾種類(lèi)型：

開(kāi)運(yùn)算型：

閉運(yùn)算型：

開(kāi)閉運(yùn)算型：

文中在對(duì)低頻子分量圖像部分進(jìn)行邊緣檢測(cè)時(shí)，使用的并非3 種檢測(cè)算子，而是加入了抗噪因子的抗噪算子，從而使該邊緣檢測(cè)算子抗圖像噪聲干擾的能力更強(qiáng)，其檢測(cè)結(jié)果表明進(jìn)一步優(yōu)化了圖像的邊界區(qū)域，且能夠獲得更為良好的視覺(jué)效果。

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)條件

為驗(yàn)證該文提出算法的有效性，基于Matlab R2016a軟件平臺(tái)對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，測(cè)試采用Lena圖。具體仿真的軟硬件環(huán)境參數(shù)設(shè)置，如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)軟硬件環(huán)境配置

2.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與結(jié)果分析

為測(cè)試該文提出的邊緣檢測(cè)算法的性能，首先采用所提算法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Lena 圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)。為方便對(duì)比，文中給出了傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算子Robert、Sobel、Log 和Canny 檢測(cè)的邊緣圖像，具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果主觀示意圖如圖4 所示。

圖4 邊緣檢測(cè)算法主觀示意圖

通過(guò)觀察圖4 可知，Robert 和Sobel 邊緣檢測(cè)算法檢測(cè)的圖像邊緣不連續(xù)且細(xì)節(jié)少；Log 邊緣檢測(cè)算法檢測(cè)的圖像噪聲較多；Canny 邊緣檢測(cè)算法得到的圖像邊緣平滑，但細(xì)節(jié)信息模糊；只有該文提出的邊緣檢測(cè)算法檢測(cè)的邊緣連續(xù)且清晰，而圖像數(shù)據(jù)也得到了較好的保留。在經(jīng)典的Lena 中，可以看到人物的臉部輪廓、頭頂?shù)拿弊舆吘壱琅f清晰。

上述實(shí)驗(yàn)也稱(chēng)為主觀評(píng)價(jià)法，可以通過(guò)人眼直觀地對(duì)圖片質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)法，是指使用一些統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)對(duì)圖像的數(shù)據(jù)進(jìn)行客觀計(jì)算以比較算法性能。該文使用到的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)有均方誤差、峰值信噪比以及平均梯度，使用這3個(gè)客觀指標(biāo)對(duì)文中算法和對(duì)比算法進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果如表2 所示。

表2 邊緣檢測(cè)算法客觀指標(biāo)

由表2 可知，該文算法在客觀評(píng)價(jià)的3 個(gè)指標(biāo)中均領(lǐng)先于其他3 種算法。綜上所述，通過(guò)主觀評(píng)測(cè)對(duì)比與客觀指標(biāo)評(píng)測(cè)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)文中提出的算法具有更強(qiáng)的抗噪聲干擾能力，在性能表現(xiàn)上優(yōu)于傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算法。

3 結(jié)束語(yǔ)

該文提出的邊緣檢測(cè)算法基于Haar 小波變換將原始圖像進(jìn)行分頻處理。使用非均勻Haar 小波變換，其積分方程的解相較傳統(tǒng)小波變換精度更高，因此提出算法具有更優(yōu)的檢測(cè)性能。與其他圖像邊緣檢測(cè)的算法相比較而言，文中提出算法的優(yōu)勢(shì)在于顯著提升了抗圖像噪聲干擾的能力，且檢測(cè)出的結(jié)果邊緣清晰，圖像邊界被進(jìn)一步凸顯出來(lái)，主觀視覺(jué)效果更優(yōu)。同時(shí)，對(duì)于背景對(duì)比度較低的圖像類(lèi)型，該算法依舊能對(duì)邊緣進(jìn)行高質(zhì)量的檢測(cè)與提取。基于Lena 圖像對(duì)該文算法的性能進(jìn)行驗(yàn)證，在主觀性驗(yàn)證中表現(xiàn)良好且圖像邊緣細(xì)節(jié)較為清晰。在客觀性對(duì)比評(píng)價(jià)中指標(biāo)領(lǐng)先于對(duì)比算法，說(shuō)明文中算法對(duì)圖像的檢測(cè)性能較好，圖像的細(xì)節(jié)表現(xiàn)力和抗噪能力更強(qiáng)。