復雜裂縫支撐劑轉向規律研究

陳志強， 李鳳霞， 潘林華， 周彤

(中國石化石油勘探開發研究院， 北京 100083)

21世紀以來，頁巖油、頁巖氣進入快速發展期，成為全世界油氣產量的重要組成部分[1-3]，其中復雜裂縫壓裂(體積壓裂)技術是實現頁巖油氣商業開發的關鍵技術之一[4-7]。室內裂縫擴展研究[8]以及現場微地震信號監測[9-10]顯示，頁巖水力壓裂形成的裂縫不是簡單的雙翼型，而是呈現網狀分布，主裂縫周圍存在大量次級分支裂縫。壓裂液和支撐劑在主/次裂縫交匯處發生分流，如何保障支撐劑順利進入次級分支裂縫并進行有效支撐是實現體積壓裂的關鍵。

以往體積壓裂相關研究主要側重于如何形成復雜裂縫，對于復雜裂縫形成后“支撐劑去哪了，能否進入分支縫？”的問題還不明晰[4，11]。數值模擬、室內實驗提供了部分定性認識，但缺乏歸納總結形成定量規律，特別是還沒有工程可用的數學模型。設計人員在進行壓裂液排量、支撐劑粒徑等參數選擇時主要依賴現場經驗，缺乏理論依據，導致在施工過程中出現主裂縫加砂困難、分支縫支撐不足等問題，最終影響體積壓裂改造效果，因此亟需開展相關理論研究[4]。

支撐劑沉降、運移實驗研究目前主要集中在單一裂縫[12-13]，相關學者分析了加砂濃度、壓裂液黏度以及速率等對于支撐劑運移與展布規律的影響。針對復雜裂縫，雖有相關報道[5，7，14]，但受限于場地與實驗裝置，主要考慮一條主裂縫與一條分支縫構成的二級裂縫系統。然而，頁巖水力壓裂形成的復雜裂縫網絡往往呈現多級、多尺度特征，主裂縫(100 m)與最小尺度裂縫(100 μm)跨越4～5個量級并通過不同級別的分支縫溝通互聯，且小尺度縫對于頁巖等致密儲層同樣發揮重要作用，但是這種多級、多尺度特征實驗研究往往難以直接考慮。

支撐劑輸運數值模擬方法主要包括傳統的雙流體模型[15]以及離散元模型[16]。雙流體模型將離散的支撐劑顆粒簡化為連續的流體相進行處理，這種方法整體計算量小，在模擬簡單裂縫支撐劑運移時計算精度較高，但缺點是難以準確描述支撐劑在主/次裂縫交匯處的輸運行為，且無法考慮支撐劑粒徑的影響。為了更準確模擬支撐劑在復雜裂縫中的輸運行為，有學者提出計算流體力學(computational fluid dynamics， CFD)與離散單元法(discrete element method，DEM)耦合的方法[16]，該算法采用CFD模擬壓裂液流動過程，并計算支撐劑所受的流體作用力，采用DEM模擬該作用力下支撐劑的輸運行為。CFD與DEM耦合算法的優勢是不需要將支撐劑簡化為連續的流體相，而是直接模擬支撐劑顆粒在流體中的運動，因此計算精度更高，但缺點是計算量相對較大。

綜上所述，現提出工程可用數學模型，具體模型包括兩個方面。首先，主裂縫以及各級分支縫內壓裂液流速對于支撐劑輸運行為具有重要影響，因此，本文研究關注的第一個問題是在注入排量(速率)已知的情況下，壓裂液如何在多級裂縫系統中進行液量(速率)分配(液量分配模型)。第二個關鍵問題是，在已知主裂縫與各級分支縫壓裂液排量的情況下，支撐劑能否在裂縫交匯處發生轉向(支撐劑轉向輸運條件)，以及有多少支撐劑可以發生轉向(砂量分配模型)。旨在通過理論分析的方法對復雜裂縫支撐劑輸運規律進行研究，為現場施工提供參考。

1 復雜裂縫液量分配模型

1.1 理論模型

雖然目前石油行業對于非常規儲層開發中復雜裂縫的重要性已達成共識，但是針對復雜裂縫系統液量分配模型的研究還相對較少。侯磊等[4]參照限流壓裂思路提出了一個簡化模型，該模型假設上級裂縫中液體流量都分配到了下級裂縫，分流比與下級裂縫截面積2/3次方成正比，并采用Fluent模擬結果對于模型進行了驗證，結果顯示該模型預測的流量分布與Fluent模擬結果定性上趨勢一致，但定量上誤差較大。因此有必要進一步分析前人模型誤差來源，提出更為準確的液量分配模型。

在模擬多孔介質滲流時，一個經典的方法是孔隙網絡模型(pore network)[17]，該方法將多孔介質簡化為一系列“孔”與“喉道”的集合，“孔”之間通過“喉道”相連，并采用解析方法計算每一個“喉道”的流動阻力，最后利用基爾霍夫定律(流入節點和流出節點的流量和為零)聯立求解，得到多孔介質內流場分布。該方法既考慮了多孔介質微觀細節，通過“孔”“喉道”簡化又提高了計算速率，因此在滲流領域廣泛應用。

借鑒孔隙網絡模型的思路，如圖1所示，將已知形態的復雜裂縫進行網絡結構提取，其中裂縫端點與裂縫交匯點作為“節點”，節點之間由“裂隙”相連。將壓裂液流動與熱流、電流進行類比，節點儲存壓強信息，流體在節點之間流動時會受到阻力，進而產生壓降，該壓降由經典的哈根泊肅葉公式得到

(1)

(2)

式中：q為裂隙內的液體流量；ΔP為節點間的壓力降；Rh為節點間裂隙流動阻力；μ為液體黏度；L為裂隙長度；Dr為裂隙截面積水力半徑；w和d分別為截面的寬和高。將裂隙截面簡化為矩形，那么水力半徑Dr的表達式為

qij為流進j節點的流量；qjk、qjn為流出j節點的流量圖1 四級多尺度復雜裂縫示意圖Fig.1 Geometric diagram of multi-scale complex fracture

(3)

利用基爾霍夫定律，每個節點流入和流出的液量之和為0，以節點j為例，可得

(4)

式(4)中：qij為流進j節點的流量；qjm、qjn為流出j節點的流量。

設裂縫入口處為恒定流量邊界條件，各個出口處壓力為定值，均為原始地層壓力，通過聯立式(1)～式(4)則可得到壓裂液在主裂縫以及各級分支縫中的分配情況。

1.2 模型驗證

為了驗證當前模型的有效性，采用Fluent對不同復雜裂縫系統液量分配情況進行模擬，并將模擬結果與本文液量分配模型[式(1)～式(4)]預測結果進行對比，進而說明當前模型在預測復雜裂縫液量分配方面的有效性。為了更全面地對模型進行檢驗，模擬的復雜裂縫系統包括單分支二級裂縫、多分支二級裂縫、多分支四級裂縫，同時為了說明當前模型對于主/次裂縫斜交情況的適用性，第4個算例考慮了主裂縫與分支裂縫呈30°、45°、60°以及120°斜交的情況。

1.2.1 單分支二級裂縫

單分支二級裂縫包括一條主裂縫與一條分支裂縫，主裂縫與分支裂縫夾角為90°，如圖2(a)所示。主裂縫縫長、縫寬、縫高分別為20、1、4 cm，分支裂縫位于距主裂縫左側入口12 cm處，縫長、縫寬、縫高分別為8、1、4 cm，計算域內采用均勻網格，網格尺寸為0.05 cm。主裂縫左側為入口，主裂縫右側與分支裂縫為兩個出口，壓裂液選用清水。模擬開始時，壓裂液從主裂縫左側流入，從主裂縫右側與分支裂縫流出。入口采用恒定流量邊界條件，出口1與出口2為恒定壓力邊界條件，模擬中考慮了三種不同的入口流量。

達到穩態后，裂縫系統內速度分布如圖2(b)所示，并統計了不同入口流量下，出口1與出口2的流量分布。同時為了檢驗本文液量分配模型有效性，采用式(1)～式(4)計算了相同入口流量下，出口1與出口2的流量，圖3為當前預測模型與Fluent模擬結果的對比，兩者吻合較好，誤差在3%之內。

Fluent進行液量分配模擬時計算量大，涉及的網格數眾多，如引言部分所述，頁巖裂縫系統具有多尺度特征，主裂縫(100 m)與分支裂縫(100 μm)相差4～5個數量級，若采用Fluent對該系統進行液量分配模擬時，網格數將達到計算機無法承受的量級。而本文提出的液量分配模型采用解析求解的方法，不需要進行網格劃分，只需計算不同節點間裂隙流動阻力即可，在保證與Fluent具有相同精度的情況下，計算量與計算時間幾乎可以忽略不計。

圖2 單分支二級裂縫系統示意圖Fig.2 Schematic of single branch secondary fracture system

圖3 單分支二級裂縫本文預測結果與Fluent模擬結果對比Fig.3 Comparison between prediction results and fluent simulation results

1.2.2 多分支二級裂縫

準確的液量分配模型是研究復雜裂縫支撐劑運移的關鍵與基礎，文獻[4]參照限流壓裂法提出復雜裂縫液量分配模型，但與Fluent模擬結果差異較大。主要原因是前人模型在計算流動阻力時只考慮了裂縫截面積大小而忽略了裂縫長度的影響，本文模型綜合考慮了裂縫截面積與長度的影響，因此計算精度更高。

圖4為本文模型與前人模型預測結果的對比，可以發現對于多分支二級裂縫，本文模型大大提高了分支縫流量的預測精度，與Fluent模擬結果吻合更好，彌補前人模型沒有考慮沿程流動阻力的不足。

1.2.3 多分支四級裂縫

上述兩個算例只考慮了一級主裂縫與二級分支縫，實際壓裂形成的復雜裂縫可能存在多級特征，因此本節第三個算例考慮了具有四級分支縫的復雜裂縫。如圖5所示，主裂縫左側為壓裂液入口，其余各級分支裂縫以及主裂縫右側為出口，主裂縫、二級裂縫、三級裂縫、四級裂縫縫長分別為20、7、5、5 cm，縫寬分別為1、0.8、0.6、0.4 cm，縫高均為4 cm。Fluent模擬得到的各級分支縫流量如圖5所示，可見當前模型對于多分支多級裂縫系統也具有較好的預測效果。

圖4 多分支二級裂縫系統本文預測結果與Fluent結果對比Fig.4 Comparison between prediction results in this paper and fluent simulation results

圖5 多分支四級裂縫系統本文預測結果與Fluent結果對比Fig.5 Comparison between prediction results in this paper and fluent simulation results

1.2.4 分支裂縫與主裂縫斜交系統

前3個算例中主裂縫與分支裂縫夾角均為90°，然而受到最小主應力方向、天然裂縫分布影響，主裂縫與分支裂縫可能會發生斜交，此時兩者之間存在一定的夾角。侯騰飛[6]基于參考文獻[4]的模型進行了角度修正，在流量分配關系式中引入了角度影響f(θ)，f(θ)的具體表達式通過參數擬合得到。為了明晰分支裂縫與主裂縫夾角對于流量分配影響的物理機制，并驗證當前模型在斜交情況下的適用性，本節最后一個算例考慮不同角度的斜交裂縫，包括30°、45°、60°、120° 4種情況，如圖6所示。

w為分支裂縫實際縫寬；L為主裂縫出口寬度；θ為分支裂縫與主裂縫夾角圖6 單分支二級裂縫本文預測結果與Fluent結果對比Fig.6 Comparison between prediction results in this paper and fluent simulation results

實驗中考慮主裂縫與分支縫夾角影響時，通常固定L改變θ，通過這種方法改變裂縫夾角時導致分支縫實際縫寬變窄W=Lsinθ，而前人模型直接將L作為分支縫寬進行計算，因此需要修正。如果將實際縫寬W=Lsinθ代入本文模型計算流動阻力，預測結果與Fluent模擬結果吻合良好，不需要再次進行修正。因此，本文研究澄清了分支裂縫夾角對于液量分配影響的本質是對于分支裂縫實際寬縫的影響，只要計算時將實際縫寬帶入預測模型就不需要再對角度進行修正，同時也說明本文模型不僅適用于正交情況，對于主縫與分支縫斜交的情況也同樣適用。

2 支撐劑轉向輸運模型

2.1 理論模型

影響支撐劑在主/次裂縫交匯處輸運行為的因素主要有以下幾點：主裂縫與分支裂縫幾何形態、壓裂液物性參數與流動速率、支撐劑物性參數等。本文支撐劑轉向輸運模型包括兩部分：第一部分為在已知主裂縫與分支裂縫壓裂液流速的情況下，支撐劑能否發生轉向；第二部分為如果可以發生轉向輸運，有多少支撐劑能夠進入下一級分支裂縫。

2.1.1 支撐劑轉向條件

支撐劑被壓裂液攜帶進入主裂縫后會隨著壓裂液一起運移，運移一段距離后發生沉降，形成砂堤，隨著砂堤高度逐漸增加，壓裂液過流面積減小，流速開始增大，當壓裂液流速大于支撐劑顆粒水平臨界啟動速率時，沉降后的支撐劑再次被壓裂液攜帶運移。

Sahai等[18]實驗研究了支撐劑在主/次裂縫交匯處的輸運行為，發現主裂縫內支撐劑進入分支縫主要通過兩種模式：第一種為砂堤中處于沉降狀態的支撐劑依靠重力滾落進入分支縫；第二種為處于懸浮狀態的支撐劑跟隨壓裂液一起進入分支縫。第一種模式容易在裂縫交匯處發生堵塞，進入分支縫的支撐劑大多集中在入口處且數量有限，所以只有通過第二種模式才能將大量支撐劑有效輸運到分支縫。因此，支撐劑能夠進入分支縫的前提條件是主裂縫內壓裂液流速大于支撐劑水平臨界啟動速率(水平臨界攜砂流速)，保證支撐劑在主裂縫內處于懸浮狀態而不發生沉降。

目前中外學者針對垂直井的臨界攜砂流速研究較多，而關于水平方向固體顆粒的臨界啟動速率關注較少。曾思睿等[19]通過實驗分析了不同角度對于臨界攜砂流速的影響，發現水平方向臨界啟動速率是垂直方向的1.71倍。

垂直方向臨界啟動速率可以通過以下受力分析得到，固體顆粒在液體中受到的拖曳力FR與浮力Ff為動力，自身重力Fg為阻力，分別表示為

(5)

(6)

(7)

式中：ds為顆粒直徑；ρs、ρl分別為固體顆粒密度、流體密度；CD為阻力系數取決于顆粒雷諾數(Rep)；Vs、Vl分別為顆粒速度、流體速度；g為重力加速度。

(8)

式(8)中：

(9)

顆粒受力平衡后，求得

(10)

令Vs=0得到垂直方向臨界啟動流速Vl，即

(11)

根據參考文獻[19]實驗結果，得到水平方向臨界啟動速率，即

(12)

Sahai等[18]通過實驗發現，主裂縫內流速越大，支撐劑越容易在裂縫交匯處發生轉向，且對于一條主裂縫與一條分支縫構成的裂縫系統，顆粒發生轉向輸運的臨界流速介于0.1～0.23，平均值為0.165 m/s。將實驗中采用的支撐劑、壓裂液物性參數代入式(11)得到本文模型預測的臨界速率位于0.14～0.29 m/s，平均為0.2 m/s，兩者吻合較好，說明了當前臨界啟動模型的有效性。

值得注意的是，主裂縫內壓裂液流速大于水平臨界流速Vmin[式(12)]只是支撐劑發生轉向的必要條件，而非充分條件。當支撐劑大小與分支裂縫縫寬尺寸相當時，支撐劑能否發生轉向還必須考慮支撐劑粒徑影響。如圖7所示，假設主裂縫內壓裂液流速大于顆粒A與顆粒B的水平臨界啟動速率，但顯然兩個顆粒在轉向處的輸運行為不同，只有顆粒B可以完成轉向，顆粒A由于尺寸較大，無法進入分支縫，繼續在主裂縫內運動。

通過大量文獻調研發現，Yamada等[20]在研究微流動通道細胞分流時，考慮了不同尺寸細胞在轉向處的輸運行為，并提出細胞能夠發生轉向的條件，其核心思想如圖7所示。

設主裂縫入口處壓裂液流量為Q且速度V沿縫寬度方向服從拋物線分布，w1為主裂縫寬，w2為分支裂縫縫寬，S1、S2為速度沿主裂縫方向積分的面積，則有以下關系：

圖7 顆粒轉向輸運示意圖Fig.7 Schematic of particle diversion transportation

(13)

流量Q在裂縫交匯處發生分流，根據流線分布可知，距壁面距離小于H處的壓裂液將進入分支縫(圖7)流量為Q2，其余壓裂液繼續在主縫內流動流量為Q1(Q1=Q-Q2)。由于支撐劑跟隨壓裂液做隨體運動，因此只有半徑小于H的支撐劑顆粒才可能跟隨壓裂液Q2一起進入分支縫，否則支撐劑只能在流量Q1的攜帶下繼續在主裂縫內運動。特征長度H主要取決于Q1與Q2的相對大小：

(14)

如圖7所示，Q1與Q2可以表示為

(15)

(16)

由1.1節給出的液量分配模型與式(14)～式(15)聯立求解則可以得到H。根據當前模型可知，如果分支裂縫較窄時，流動阻力大，進入分支縫的壓裂液比例較低(Q2/Q)，因此得到的特征尺度H較小，只有尺寸更小的支撐劑顆粒才能夠進入。

綜上所述，復雜裂縫系統顆粒轉向輸運條件為：①主裂縫壓裂液流速大于支撐劑顆粒水平臨界啟動速度；②支撐劑顆粒半徑小于特征長度H。

(17)

(18)

2.1.2 砂量分配模型

當支撐劑滿足轉向輸運條件后，另一個重要問題是有多少支撐劑進入了分支縫，即砂量如何在主裂縫與分支縫之間進行分配[21-22]。假設處于懸浮狀態的支撐劑在壓裂液中均勻分布，并在慣性力作用下跟隨壓裂液一起做隨體運動，此時砂量在裂縫分叉處的分配等同于液量分配。以二級分支裂縫為例(圖7)，由液量分配模型[式(1)～式(3)]可得分支裂縫與主裂縫砂量比為

(19)

2.2 模型驗證

針對支撐劑臨界轉向速率模型已在2.1節進行了驗證，本節主要對砂量分配準則[式(19)]進行驗證，目前定量的實驗結果較少，固采用數值方法對支撐劑在復雜裂縫內的輸運行為進行模擬，并通過統計主裂縫與分支縫內支撐劑的個數確定砂量比，并將模擬結果與砂量分配模型[式(19)]進行對比，以驗證模型的正確性。

采用計算流體力學(CFD)與離散單元法(DEM)耦合模擬支撐劑在復雜裂縫內的輸運過程，該耦合算法中，采用CFD計算復雜裂縫內流場信息以及支撐劑受到的流體作用力，采用DEM計算支撐劑在壓裂液中的輸運行為。該方法相較于傳統的雙流體模型求解精度更高，可以更準確地描述支撐劑顆粒在裂縫交叉處的輸運行為，但缺點是計算時間較長，因此，主要考慮一個主裂縫與一個分支裂縫構成的二級裂縫系統，如圖8所示共有5組不同的縫長、縫寬、夾角組合。

模擬結果如圖9所示，支撐劑通過裂縫交匯處后，一部分進入了分支縫，另一部分仍在主裂縫內運移，通過統計進入分支裂縫以及留在主裂縫內的支撐劑數目，可以得到不同二級裂縫系統對應的砂量分配情況。圖9為進入分支裂縫的支撐劑數目隨時間的變化，可以看出在0.32 s時，支撐劑開始進入分支裂縫，并隨著時間的增加，進入的支撐劑數量逐漸增加，其斜率代表單位時間進入分支裂縫內的支撐劑數量。同樣可以算出殘留在主裂縫內的支撐劑數量，進而得到分支裂縫與主裂縫之間的砂量分配情況。

圖8 5種不通過縫長、縫寬、夾角的二級裂縫系統Fig.8 Five fracture systems with different fracture lengths， widths and angles

圖9 分支裂縫中支撐劑累計個數隨時間變化曲線Fig.9 Variation curve of cumulative number of proppant in branch fracture with time

圖10顯示了采用CFD耦合DEM模擬得到的五種二級裂縫系統(不同縫寬、縫長、夾角)進入分支裂縫與殘留在主裂縫內的支撐劑比值，同時采用式(19)預測了不同情況對應的砂量比，結果顯示兩者吻合較好，最大誤差小于10%。

3 結果與分析

前文介紹了本文提出的液量分配模型與支撐劑轉向輸運條件，本節主要應用該模型定量分析天然裂縫開啟程度對于壓裂液流量分配以及支撐劑輸運情況的影響?？紤]三級分支裂縫系統(圖11)，其中一級裂縫(縫長100 m、縫寬10 mm、縫高10 m)與二級裂縫(縫長30 m、縫寬 5 mm、縫高10 m)為水力壓裂形成的人工縫，三級裂縫為人工縫溝通的天然裂縫(縫高10 m、縫長10 m)。壓裂液與支撐劑從入口處注入，出口1、2、3為恒定壓力邊界條件。

如圖12所示，考慮5種天然裂縫開啟程度(1、2、3、4、5 mm)，隨著天然裂縫寬度的增加，進入天然裂縫的壓裂液流量(以入口流量進行歸一化)逐漸加大。當天然裂縫寬度為1 mm時，進入天然裂縫流量僅為0.001，當寬度增加為5 mm時，流量增加為0.064，提高了64倍。

圖10 不同結構對應的進入分支裂縫與殘留在主裂縫內的支撐劑比值Fig.10 Ratio of proppant number of entering branch crack and remaining in main crack corresponding to different structures

如前文所述，壓裂液注入排量越大，支撐劑越容易發生轉向，也更容易被壓裂液攜帶進入下一級裂縫。利用本文提出的顆粒轉向模型，可以預測不同排量下，能夠進入圖11所示的二級裂縫(縫寬5 mm)與天然裂縫(縫寬2.5 mm)對應的最大支撐劑粒徑(表1)。

如表1顯示，雖然二級裂縫縫寬5 mm，但只有直徑小于1.6 mm的支撐劑方可進入，對于縫寬2.5 mm的天然裂縫，隨著排量的增加，可進入天然裂縫的支撐劑直徑由0.4 mm增加到1.5 mm。因此為了有效提高復雜裂縫的支撐效果，必須增加壓裂液注入排量，以保證支撐劑順利進入開度較小的次級分支裂縫。

圖11 三級裂縫系統示意圖Fig.11 Schematic diagram of tertiary fracture system

圖12 不同天然裂縫縫寬對應的歸一化流量Fig.12 Normalized flow corresponding to different natural fracture widths

表1 不同排量進入二級裂縫、天然裂縫最大支撐劑直徑Table 1 Maximum proppant can enter the branch and natural cracks with different velocity

4 結論

提出了一種多級裂縫系統支撐劑轉向輸運條件以及液量、砂量分配計算模型，該模型物理圖像清晰、計算簡單、工程可用，可以有效預測支撐劑在復雜裂縫中的分布情況，同時與前人模型相比大幅度提高了預測精度。本文模型采用解析法進行預測，不需要進行網格劃分以及大規模數值模擬，因此克服了Fluent等商業軟件由于計算量大，無法考慮實際復雜裂縫系統多級、多尺度特性的不足。同時澄清了分支裂縫夾角對于液量分配的影響本質是對于分支裂縫縫寬的影響。最后應用該模型定量研究了天然裂縫開啟程度對于壓裂液分配情況以及支撐劑輸運效果的影響，有望為現場壓裂設計支撐劑粒徑、壓裂液排量選取提供理論依據。