最優權組合模型在季凍區公路軟基工后沉降中的應用

韓春鵬， 徐先博， 張建， 李建華

(1.東北林業大學土木工程學院， 哈爾濱 150040； 2.中交基礎設施養護集團有限公司， 北京 100011； 3.中國建筑第八工程局有限公司西南分公司， 成都 610093)

中國東北地區分布著較大范圍的軟土，由于該地區冬季凍結期長，地基凍結深度較大，軟土地基工后沉降的控制是影響建成后路面質量、行車速度和使用壽命的關鍵因素。因此，在修建公路時，對軟土路基路段進行沉降觀測和預測，并運用分析結果指導施工，對于保證公路建設質量和延長公路使用壽命具有重要意義。

基于Terzaghi一維固結理論進行沉降計算是常用的方法，但地基沉降屬于三維問題且由于土的不均勻性、不連續性和各向異性，其計算結果往往與實測結果相差較大，因此利用沉降觀測資料推算后期沉降(包括最終沉降)的實效性就顯得更加突出。目前常用的方法歸納起來有：曲線擬合法[1]、Asaoka法、遺傳算法[2-3]、神經網絡法[4-5]和灰色系統法等[6]。如胡其志等[7]采用雙曲線、泊松曲線及指數曲線對某公路大橋軟基路段進行聯合預測，得出采用雙曲線時預測精度較高。翁志堅等[8]利用馬爾科夫優化灰色GM(1，1)預測模型，并對基坑沉降進行了預測。謝宇航等[9]對S型單項模型和傳統嫡值法組合預測模型進行優化，提高了其預測的精度。徐衛平等[10]通過改進指數模型，提出了名為DR模型的預測方法。李豪杰等[11]通過改進灰色GM(1，1)模型對地鐵深基坑的沉降進行了預測，預測精度較傳統灰色模型有所提高。張滿想等[12]在某公路沉降預測中對比了GM(1，1)和Verhulst兩種灰色預測模型，結果表面Verhulst模型的適用性更好。

傳統的單一預測模型預測效果會出現不穩定的問題[13]，需要對其進行組合或優化。在過往的預測研究中，針對寒區考慮區域氣候特點的沉降預測研究較少，且未對取樣間隔進行系統性研究。基于此，現以某公路為依托，采用最優權組合預測模型對季凍區軟土地基的沉降進行預測，分析預測結果與實測沉降量的相對誤差，驗證組合預測模型對季節性凍土地區公路軟土地基沉降預測的適用性；同時基于季凍區區域氣候特點及實際工況，對取樣間隔的選取進行研究，根據預測模型提出適合季凍區的監測方案，在滿足軟土地基沉降預測效果的同時兼顧經濟性。

1 沉降預測模型理論

1.1 GM(1，1)預測模型

灰色系統理論是一種動態模糊的預測模型，以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”“貧信息”“不確定性系統為研究對象”[14]。GM(1，1)表示模型是一階微分方程，且只含1個變量的灰色模型。已知參考數據列為

X0=[X0(1)，X0(2)，…，X0(n)]

(1)

式(1)中：X為實測數據。

1次累加生成序列：

X1=[X1(1)，X1(2)，…，X1(n)]

=[X0(1)，X0(1)+X0(2)，…，

X0(1)+…+X0(n)]

(2)

X1的均值生成序列為

Z1=[Z1(2)，Z1(3)，…，Z1(n)]

(3)

式(3)中：Z1=0.5X1(k)+0.5X1(k-1)，k=2，3，…，n。

則灰色GM(1，1)模型的白化微分方程為

(4)

式(4)中：a、b為灰參數，其值可通過該方程的最小二乘法確定，即

(5)

式(5)中：

灰色GM(1，1)模型微分方程相應的時間序列為

(6)

(7)

1.2 曲線擬合預測方法

曲線擬合法是根據沉降離散數據選取與之相適應的曲線模型，推算出曲線模型中的相應參數，從而根據模型對后期的沉降進行預測。常用的預測模型有：雙曲線預測模型[15]、指數預測模型、二次拋物線預測模型和乘冪預測模型、泊松曲線模型等。依據沉降監測數據分析，采用雙曲線、乘冪模型和二次拋物線預測模型進行預測，其中預測效果較好的為二次拋物線預測模型計算公式為

yt=a+bt+ct2

(8)

式(8)中：yt為t時刻沉降量；c為參數。

1.3 最優預測組合模型

最優權權重法組合預測模型是將各單預測模型進行權重分配進而使得誤差最小化，設沉降預測有n種方法，t時刻沉降預測值為yi(t)；沉降t時刻實測值為y(t)；第t期第n個預測模型的權重為wi(t)；則組合預測模型[16]為

(9)

組合模型的誤差為

(10)

由

(11)

得最優權系數向量Wt=(E-1R)(RTE-1R)-1，其中E=[e1te2t…ent]T[e1te2t…ent]為誤差矩陣；R為單位矩陣。

采用灰色GM(1，1)模型與曲線擬合預測方法中的二次拋物線預測模型分別對沉降進行模擬預測，對兩種擬合預測結果通過上述方法確定最優權組合系數，將兩種模型進行有效組合，最終得出基于兩種模型的最優權組合模型。

1.4 計算結果精度檢驗

(12)

式(12)中：q(k)為k時刻的殘差。

定義后驗差比值C為

(13)

小誤差概率P為

(14)

式(14)中：

(15)

(16)

(17)

(18)

一般地，將模型的精度分為4級，分級標準如表1所示。

表1 精度評價標準表Table 1 accuracy evaluation standard table

2 工程概況

該路線地處大興安嶺，緯度較高，冬季寒冷，凍結期長，且沿線廣泛分布淺層軟土。選取K57+200斷面為研究對象，該路段路基填高2.725 m，軟土層平均厚度1.7 m，含水量大于30%，承載力低，壓縮性高，易變形，下部為可塑狀態粉質黏土，軟土地基處理采用在地基上部拋填毛石0.6 m，再進行頂面強夯，強夯至原地面標高后進行路基碎石土的填筑。

2.1 現場監測

溫度場監測系統的組成部分主要包括溫度采集裝置、核心控制裝置、通信模塊、電源及用戶接收裝置。溫度采集系統中的采集裝置選用DS18B20溫度傳感器，將其埋入到公路的路基中，每隔0.5 m將其布置，且深度達到公路的地基以下。沉降監測采用手動監測系統，由分層沉降儀、磁力環和PPR管組成。結合現場實際情況，布置沉降觀測系統。軟土地基道路典型結構形式及監測系統如圖1所示。

圖1 軟土地基道路典型結構形式及沉降監測系統Fig.1 Typical structure form and settlement monitoring system of road on soft soil foundation

2.2 路基溫度及沉降監測結果

在路基范圍內，不同深度位置處的土層溫度隨時間的推移呈正弦曲線變化，如圖2所示，隨著深度的增加，土層溫度隨大氣溫度變化的改變程度逐漸降低。距離路基表面不同深度位置處土層的溫度最高值和最低值出現的時間不同，深部土層最值溫度出現的時間滯后于淺部土層。

以2016年9月19日為沉降觀測的起點，初始沉降量為0，沉降-時間曲線如圖3所示，在距離路基頂面0.5～2.2 m深范圍內，隨著時間不斷推移，路基沉降呈非線性增大趨勢，9—11月的沉降速率較大，進入11月份后，由于氣溫較低，路基土體內部逐漸凍結，其壓縮模量逐漸增大，路基沉降變形速率緩慢；待春融期開始后，路基土層溫度升高，凍結區域的土體開始融化，排水過程重新開始，固結速率開始逐步提高，但由于起始階段的主固結沉降已完成大部分，盡管后期的固結速率逐漸提高，但路基沉降速率仍呈逐漸遞減趨勢。

圖2 路基溫度-時間曲線Fig.2 Temperature time curve of Subgrade

圖3 K57+200斷面沉降量-時間曲線Fig.3 Settlement time curve of K57+200 section

3 沉降預測及結果分析

3.1 原始數據等時距處理

三次樣條插值是指對一組已知數據點求解一組擬合多項式，兩兩數據點間采用不超過三次的多項式函數將其連接，并要求該函數二階以下均可導的一種方法。根據秦亞瓊等的研究，采用三次樣條插值法相較于直線插值，得到的等間隔序列更準確[17]。為此，選取27組實測數據，通過對原始的沉降數據進行三次樣條插值等時距處理，以深度0.5 m土層為例，等時距插值曲線如圖4所示。

圖4 深度0.5 m等時距插值曲線Fig.4 Equal time interval interpolation curve with depth of 0.5 m

3.2 沉降預測

選取深度為0.5 m的土層中前24組為樣本，記為數列X0。將樣本數據代入式(1)～式(7)進行灰色擬合預測;由式(8)進行曲線擬合預測，擬合結果為

yt=10.703 95+4.632 52t+0.005 84t2

(19)

將兩種擬合結果采用式(9)～式(11)進行組合得到本文的最優權組合模型。其中灰色GM(1，1)模型對應的最優權系數為0.517，曲線擬合的最優權系數為0.483。采用三種預測模型對25～27期沉降量進行預測，預測結果的對比分析如表2所示。

結合表2對比分析不同預測方法的精確性和合理性，各預測方法精度評級均為1級。各預測方法均可以較好地預測沉降值，灰色GM(1，1)模型，二根據李小剛等[18]的研究，增加樣本容量能提高模型的預測精度，但增大樣本數量意味著取讀數據次數的增多，即提高了交通運輸及勞動力成本，因此研究增大取樣間隔的同時兼顧模型預測精度顯得尤為關鍵。選擇取樣間隔為30、45、60和75 d分別建立最優權沉降預測模型，計算結果如表3所示。

表2 預測結果對比Table 2 Comparison of prediction results

次曲線預測模型，最優權權重預測的平均絕對值誤差分別為0.78、0.84和0.33。組合模型絕對誤差變化幅度小于兩種單一模型，具有更好的穩定性。由此可以得出相對于單一的灰色GM(1，1)模型、二次曲線模型，本文的最優權組合模型擬合預測數據相對于原始觀測數據具有更高的貼合度、穩定性，更加符合實際沉降變化情況。

由圖5及表3可知，隨著取樣間隔的增大，誤差逐漸增多，模型的預測越差。對比取樣間隔為15 d的預測結果，當取樣間隔為30 d時，預測值與實測值的相對誤差由0.09%、0.04%和0.67%增大到7.48%、7.24%和7.93%，模型的預測效果衰減劇烈。在2017年10月29日，取樣間隔30 d對比取樣間隔15 d的沉降預測值增大1.008 cm，但對實際工程而言差別不大，同時預測值高于實測值，對控制路基的工后沉降起到一定的積極作用，因此在滿足精度要求的基礎上，選擇30 d為取樣間隔，經濟效益更好。

圖5 不同取樣間隔下的預測值與實測沉降值Fig.5 Predicted value and measured settlement value at different sampling intervals

以30 d為取樣間隔，在原始的插值數據(24組)上進行間斷取樣，即選取了12組數據建立預測模型。考慮季凍區氣候特點，冬季進行現場數據的讀取難度較大，行車的安全性較低，在考慮實際工程中的不便因素下，在間斷取樣中側重增加土層沉降速率較快月份的樣本數量，即在建立預測模型的12組樣本中，相應減少冬季樣本數量，使所建立的模型更契合于實際工程。

根據溫度監測的結果(圖2)，在監測周期內路基及地基范圍的土層主要有未凍結(完全融化)、部分凍結、完全凍結和部分融化4種狀態，如表4所示。距離路基頂面越近的土層，沉降對路面的影響越明顯，因此本文選擇距離路基頂面0.5 m深土層為例，在沉降速率較快月份的增加樣本數量，在冬季及沉降速率較慢的月份減少樣本數量，樣本取值方案如表5所示。

表5所述的樣本取值方案是在不等時距的條件下進行的，切實考慮實際工況及區域氣候特點，在土層處于部分凍結狀態及部分融化狀態時，凍土層中水分相應地出現相變與遷移，對土體的壓縮變形有很大的影響，因此在該狀態下取較多樣本。在不等式時距的基礎上建立灰色預測模型，模型的沉降預測結果如表6所示。

表3 最優權不同取樣間隔預測值與實測值對比表Table 3 Comparison of predicted and measured values of different sampling intervals with optimal weight

表4 日期與土層狀態對應關系Table 4 corresponding relationship between date and soil layer state

如圖6所示，方案M3、M6在三個預測日期下的相對誤差分別為5.45%、5.34%，6.07%、5.96%，6.13%、6.88%，與等時距15 d模型預測相比，相對誤差差值在5.30%～6.20%，沉降預測增值在7.15～9.56 mm，雖預測精度較等時距15 d模型預測稍差，但在實際工程中仍可滿足精度要求；與相同樣本數量的等時距30 d模型預測值相比，M3、M6方案預測相對誤差較小，說明在考慮實際工況及區域氣候特點的情況下，適當增加沉降初期及凍融前后的樣本數量，減少凍結及沉降速率較慢時期的樣本，可以有效提高模型的預測效果，在一定程度上改善了因地質氣候特點引起的實際工程中現場取樣的難度及其他不便條件，可為季凍區類似工程沉降監測及預測提供參考。

4 結論

(1)最優權權重法組合模型預測的效果與建立模型時數據選取的頻率有關，增大取樣間隔會增大模型預測的誤差，使模型預測的精度減弱，但另一方面增大取樣間隔意味著減少了現場取樣的次數，在滿足一定精度要求范圍內可適當增大取樣間隔，取樣間隔以30 d為宜。

(2)在季凍區實際工程監測中，冬季及沉降速率較慢期的樣本數量可適當減少，沉降初期及凍融前后的樣本數量適當增加可以提高模型的預測效果，并能夠有效地改善因區域氣候引起的實際工程中現場測試的難度及其他不便因素。

表5 樣本取值方案Table 5 Sample selection scheme

表6 不同樣本取值方案下模型的沉降預測值Table 6 Settlement prediction values of models under different sample values

圖6 不同樣本取值方案下預測值與實測沉降值的相對誤差Fig.6 Relative error between predicted value and measured settlement value under different sampling schemes

(3)通過工程實例有效地驗證了經最優權權重組合后的預測模型在季節性凍土地區的適用性，可為季凍區類似工程的監測取樣間隔及沉降預測提供借鑒。