如何求角的取值范圍

喬勇 譚雪飛

求角的取值范圍問題是目前各級各類考試中出現的一種新題型，雖然比其他求范圍問題的難度要大一些，但只要把握其特點，即只要抓住角的一條邊或兩條邊來思考和解答問題，一樣能化難為易，快速解答，下面舉例說明其解法.

例1 已知∠AOB=50°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.

（1）如圖1，OD在∠AOB的內部，∠AOD=36°，∠BOD=14°時，求∠EOF的度數;

（2）如圖2，OD在∠AOB的外部，請在圖中先補全圖形，再求∠EOF的度數;

（3）如圖3，∠AOC=90°，射線OE，OF能否同時在∠BOC的內部？若不能，請說明理由;若能，請說明理由，并求∠BOD的取值范圍.

解 （1）如圖1，已知

∠AOD=36°，∠BOD=14°，

因為射線OE平分∠AOD，

所以∠EOD=12∠AOD=12×36°=18°，

因為OF平分∠DOB

所以∠DOF=12∠DOB=12×13°=7°，

所以∠EOF=∠EOD+∠DOF

=18°+7°=25°.

（2）在圖2中畫出射線OE，OF，變為圖4，圖4

因為射線OE平分∠AOD，

所以∠EOD=12∠AOD，

因為OF平分∠DOB，

所以∠DOF=12∠DOB，

因為∠AOB=50°，

所以∠EOF=∠EOD-∠DOF

=12∠AOD-12∠DOB

=12（∠AOD-∠DOB）

=12∠AOB

=12×50°

=25°.

（3）射線OE，OF能同時存在于∠BOC的內部.

理由：由（1）和（2）結論猜想得∠EOF=25°，容易證明：不論OD是在∠AOB的內部還是外部，∠EOF=25°=定值.

因為∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°，

又因為25°<40°，

所以∠EOF<∠BOC，

所以射線OE，OF能夠同時在∠BOC的內部，

當OE與OB重合時，在圖3中補全圖形變為圖5，

所以∠BOD=∠AOB=50°，

當OF與OC重合時，在圖3圖6

中補全圖形變為圖6，

因為∠EOF=25°，

所以 ∠BOE

=40°-25°=15°，

因為∠AOB=50°，

所以∠AOE=∠AOB+∠BOE

=50°+15°

=65°，

所以∠DOE=65°，

所以∠BOD=∠DOE+∠BOE

=65°+15°

=80°，

所以∠BOD的取值范圍為

50°<∠BOD<80°.

注 從以上解答過程可以看出，我們先從∠EOF靠近OB的這條邊考慮∠BOD的最小值，再從∠EOF靠近OC的這條邊考慮∠BOD的最大值，進而得到∠BOD的取值范圍.

例2 如圖7，已知O為直線AB上一點，射線OD，OC，OE位于直線AB上方，OD在OE的左側，∠AOC=120°，∠DOE=80°，點F在射線OB上.

（1）若射線OF繞點O逆時針旋轉n°（0

（2）若射線OF繞點O順時針旋轉n°（0

解 （1）∠FOE和∠EOC的數量關系為

∠EOF=2∠EOC，

①當∠DOE在∠AOC內部時，如圖8，

令∠AOD=x°，則

∠DOF=2x°，

所以∠EOF=80°-2x°

=2（40°-x°），

∠EOC=120°-（x°+2x°+80°-2x°）

=40°-x°，圖9

所以∠EOF=2∠EOC.

②當∠DOE的兩邊在射線OC的兩側時，如圖9，

令∠AOD=x°，則

∠DOF=2x°，

∠DOC=120°—x°，

∠EOF=2x°-80°=2（x°-40°），

∠EOC=80°-（120°-x°）=x°-40°，

所以∠EOF=2∠EOC，

綜上可證∠EOF=2∠EOC.

0

（2）①當∠DOE在∠AOC內部時，如圖10.

令∠AOD=x°，則

∠AOF=2x°，

∠EOC=120°-x°-80°

=40°-x°，

∠EOH=12（40°-x°）.

所以∠HOF=12（40°-x°）+80°+x°+2x°

=120°，

解得x=8，

則∠BOF=180°-2x°=180°-16°=164°.

1

②當∠DOE的兩邊在射線OC的兩側時，如圖11.

令∠AOD=x°，則

∠AOF=2x°，

∠COD=120-x°，

∠EOC=80°-（120°-x°）

=x°-40°，

∠EOH=12（ x°-40°），

∠EOB=100°-x°，

∠BOF=180°-2x°，

所以∠HOF=12（x°-40°）+100°-x°+180-2x°

=120°，

解得x=56，

則∠BOF=180°-2x°=180°-112°=68°.

綜上所得：∠BOF的取值為68°或164°.

注 本題第（2）小題的第①種情況，是依據∠DOE的兩條邊都在∠AOC內部而求值的，而第②種情況則是依據∠DOE的一條邊在∠AOC內部、另一條邊在∠AOC外面求得答案的.可見，依據角的邊的位置分情況討論是解決角的范圍問題主要依據和主要方法.讀者不妨在今后的解題中試一試.