一道折疊問題的多種解法

王慶海

【摘要】一道折疊問題的六種解法，即勾股定理法、面積相等法、相似圖形法、三角函數法、函數圖像法和共圓模型法.

【關鍵詞】折疊問題;多種解法;中學數學

折疊問題是初中數學幾何方面的一個重要內容，它主要考查學生的識圖能力、空間想象能力和動手實踐操作能力的一種題型，它是充分利用初中所學知識解決問題的一種綜合能力的體現.解決圖形折疊問題的關鍵是看清對稱軸，觀察元素的變量與不變量，折疊前后的結合圖形全等.

折疊問題是以“折”的變化，里面蘊含“數”的問題，一直是中考數學中經常出現的題目，也是學生感覺比較困難的題目.學生要感受圖形中的“變”與“不變”，利用數形結合的思想、方程思想、函數思想等數學思想加以解決.

下面以一道折疊問題為例，介紹折疊問題的解法，即勾股定理法、面積相等法、相似圖形法、三角函數法、函數圖像法和共圓模型法.

例 如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長為多少？

分析 根據折疊的性質可得AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，下面我們嘗試用六種方法解決問題，立足于不同的知識點，多種方法解決折疊問題中求線段的長度.

解 因為AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°，

所以AB=AC2+BC2=62+82=10（cm），

由折疊的性質得AE=AC=6cm，∠AED=∠C=90°，

所以BE=10cm-6cm=4cm，∠BED=90°，

設CD=x，則DE=x，BD=BC-CD=8-x，

方法1 （勾股定理法）

在Rt△DEB中，BE2+DE2=BD2，

即42+x2=（8-x）2，

解得 x=3，

所以CD=3cm.

總結 此方法利用全等三角形的對應邊相等和直角三角形的勾股定理，應用勾股定理抽象出數學模型或者利用圖形的變換，是解決線段長度的行之有效的方法，在應用勾股定理解決問題的過程中，一定讓學生經歷解題的過程，樹立數形結合的數學思想.《課程標準》指出“它不僅包括數學的結果，也包括數學結果形成的過程和蘊含的數學思想和方法”，讓學生借助方程的思想解決，是數學知識的綜合運用.

方法2 （面積相等法）

因為S△ACD+S△ABD=S△ABC，

所以12CD·AC+12AB·DE=12BC·AC，

12x×6+12x×10=12×6×8，

解得x=3，

所以CD=3cm.

總結 此方法利用幾何圖形的面積之間的關系，借助方程的思想解決.等面積求線段長的特點是：所求線段為垂線段，可以看作是三角形的高，用不同的方式表示同一個三角形的面積，然后列出方程即可，見“高”想“面積”是關鍵.

方法3 （相似圖形法）

因為∠B=∠B，∠BED=∠BCA，

所以△BED∽△BCA（AA），

所以BEBC=DEAC，

所以48=x6，解得x=3，

所以CD=3cm.

總結 此方法利用相似三角形的對應邊成比例得到線段比例之間的等量關系，借助方程的思想解決.

方法4 （三角函數法）

在Rt△BED中，tan∠B=DEBE，即tan∠B=x4，

在Rt△BAC中，tan∠B=ACBC，即tan∠B=68，

所以x4=68，解得x=3，

所以CD=3cm.

總結 此方法利用同一個角的三角函數值相等得到線段的比例相等，借助方程的思想解決，定角的三角函數值相等是關鍵.

方法5 （函數圖像法）

如圖2，以點C為坐標原點，建立平面直角坐標系，延長ED交y軸于點F，則A（0，6），B（8，0）.

在△ACB和△AEF中，

因為∠ACB=∠AEF，AC=AE，∠CAB=∠EAF，

所以△ACB≌△AEF（ASA）

所以AF=AB=10，

因為AC=6，所以CF=4，所以F（0，-4）.

由待定系數法可求直線AB的解析式為y=-34x+6.

設直線EF的解析式為y=kx+b，因為直線EF與直線AB垂直，所以k·（-34）=-1，得k=43.

把F（0，-4）代入y=43x+b，得b=-4，

所以直線EF的解析式為y=43x-4，

當y=0時，43x-4=0，解得x=3， 所以D（3，0），

所以CD=3cm.

總結 此方法把幾何問題轉化成函數問題，體現了數學的數形結合思想，是幾何問題的一種重要的解題思想.數和形是數學中最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，就是面對一個圖形時，我們能夠聯想代數式、方程、不等式等“數”的工具去解決，第二種情形是“以形助數”，就是面對一個用代數式、方程、不等式等“數”的形式呈現的問題時，我們根據它的結構特征聯想到相應的 “圖形”去解決.通過數形結合，可使得復雜問題簡單化、抽象問題具體化、實現優化解題.

方法6 （共圓模型法）

如圖3，因為∠ACD=∠AED=90°，

所以∠ACD+∠AED=180°，

所以點A、C、D、E四點共圓，

由圓的割線定理BE·BA=BD·BC得

4×10=（8-x）×8，

解得x=3，

所以CD=3cm.

總結 此方法利用了四點共圓和圓的割線定理，在四邊形中對角互補的四邊形，四點共圓;從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等，割線定理為圓冪定理之一，體現了數學的建模思想.

一題多解著重引領學生多角度的看待一個問題，運用不同的路徑去解決同一個問題，在這個過程中，學生積極思考，關注了知識的交叉點、方法的關聯點、思維的高峰點，達到了優化解題的能力.

總結 初中數學中的幾何變換一般是指平移、對稱（翻折）和旋轉、位似.《數學課程標準》在課程目標中已明確指出“經歷探索物體與圖形的基本性質、變換、位置關系的過程”，我們知道，圖形的折疊變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，解題時可充分利用圖形折疊的特征，把圖形位置進行改變，從而達到優化圖形結構，進一步整合圖形（題設）信息的目的，使較為復雜的問題得以創造性地解決.要求初中階段的學生理解基本的幾何變換，通過有關數學知識的技能學習，逐步領會數形結合思想、方程思想、函數思想等基本數學思想.

參考文獻：

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[3]蘭玲玲.探究勾股定理在折疊問題中的應用[J].才智，2014，（01）.