選用合適的方法，求動點的軌跡方程

張中正

求動點的軌跡方程問題經常出現在圓錐曲線問題中.此類問題的命題形式多樣，求解方法眾多，如直接法、定義法、代人法、參數法、交軌法、待定系數法等.筆者對其中五種方法進行了歸納，希望對大家有所幫助.

一、直接法

直接法是求動點的軌跡方程的基本方法.運用直接法解題的思路為：建系——設點——列式——代換——化簡——證明或檢驗結果.在求動點的軌跡方程時，要仔細分析題意，找出動點所滿足的幾何條件或者等量關系，然后列出有關動點坐標的關系式.

解答本題可采用直接法，先設出動點坐標，根據已知關系式得出關于P點坐標的關系式，化簡該式，就得到了動點的軌跡方程.

二、定義法

有時根據題意的條件可判斷出動點軌跡為圓、雙曲線、橢圓、拋物線，此時可利用定義法，根據圓、雙曲線、橢圓、拋物線的定義設出動點的軌跡方程，將相關的參數代人圓錐曲線的標準方程中，即可求得動點的軌跡方程.

三、代入法

代人法，也叫坐標轉移法或相關點法.若動點隨著另一個動點的變化而變化，則需采用代人法求解.首先設出動點和相關點的坐標，利用所給條件建立這兩點坐標之間的聯系，用動點的坐標表示相關點，再將相關點的坐標代人所滿足的方程中并進行化簡，就得到了動點的軌跡方程

仔細分析題意可以發現，動點P隨著動點M的變化而變化，因此本題需采用相關點法求解.設出兩個動點的坐標，根據二者之間的關系建立關系式，將點M的坐標代人方程中，就可求得動點的軌跡方程.

四、參數法

參數法是解答圓錐曲線問題的常用方法.在解題時，根據題意設出相關的參數，如直線的斜率、方程、圓錐曲線的方程、點的坐標等，然后將參數代人題設中進行求解，通過代換、消元、化簡，求得動點的軌跡方程， 若所給的條件中有許多參變量，可先將待求動點的坐標用其他相關的參數表示出來，再消去參數，從而建立關于x、y關系式.特別需注意參數對x、y的影響，這是消去參數后確定軌跡范圍的重要依據.

五、交軌法

如果動點是兩條曲線的交點，就可以采用交軌法來求解.因為動點為兩條曲線的公共點，那么動點的坐標滿足兩條曲線的方程，因此在求動點的軌跡方程時，可將兩條曲線的方程中的參數消去，得到關于x、y的方程，即可得到動點的軌跡方程.

運用交軌法求動點的軌跡方程，關鍵是求出確定動點軌跡的兩個含參數的曲線方程，消去參數即可解題.

求動點的軌跡方程，關鍵是找到與動點相關的幾何關系或數量關系，建立符合條件的動點的坐標的關系式，可直接設點建立關系式，利用直接法求解;也可根據圓錐曲線的定義建立幾何關系，采用定義法求解;也可根據相關點建立關系式，采用代人法求解;也可設出參數，采用參數法求解;還可以根據曲線的方程建立關系式，利用交軌法求解.同學們可根據解題需求，選擇與之相應的方法進行求解.

（作者單位：山東省聊城第三中學）