雙曲線中常見輔助線的作法

高俊元

反比例函數是每年中考考查的重點內容，通常與幾何圖形相結合，這類問題難度大，綜合性強，直接解答往往有一定的困難，常需添加輔助線，最常見的輔助線是過圖象上的點向坐標軸作垂線段，現舉例說明.

1 作垂線段根據反比例函數幾何意義解答

例1 圖1

如圖1，平行于y軸的直線與函數y1=kx（x>0）和y2=2x（x>0）的圖象分別交于A，B兩點，OA交雙曲線y2=2x于點C，連接CD，若△OCD的面積為2，則k=.

解 如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，

因為點C在雙曲線y2=2x上，

所以S△OCE=1，

因為S△OCD=2，

所以S△ECD=S△OCE=1，

所以點E為OD的中點，

因為CE∥AD，

所以點C是OA的中點，

所以S△OAD=2S△OCD=4，

因為函數y1（x>0）的圖象過點A，AD⊥x軸，

所以k=8.

2 作垂線段構造全等三角形

例2 圖2

如圖2，已知反比例函數過A，B兩點，A點坐標（2，3），直線AB經過原點，將線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BC，則C點坐標為.

解 過點B作x軸的平行線l，過點A，C分別作l的垂線，交l于D，E兩點.

因為A點坐標（2，3），直線AB經過原點，

所以B（-2，-3）.

于是D（2，-3），

因為∠ABD+∠CBE=90°，

∠ABD+∠BAD=90°，

所以∠CBE=∠BAD，

在△ABD與△BEC中，

∠CBE=∠BAD，∠BEC=∠ADB=90°，BC=BA，

所以△ABD≌△BCE（AAS），

所以BE=AD=6，

CE=BD=4，

所以C（4，-7）.

3 作垂線段根據勾股定理計算

例3 圖3

如圖3，若反比例函數y=3x的圖象經過等邊三角形POQ的頂點P，則△POQ的邊長為.

解 如圖，過點P作x軸的垂線，垂足為于M，

因為△POQ為等邊三角形，

所以OP=OQ，

OM=QM=12OQ，

因為反比例函數的圖象經過點P，

所以設Pa，3a（a>0），

則OM=a，OQ=OP=2a，PM=3a，

在Rt△OPM中，

PM=OP2-OM2=（2a）2-a2=3a，

所以3a=3a，

所以a=1（負值舍去），

所以OQ=2a=2.

4.作垂線段構造相似三角形

例4 圖4

如圖4，A，B兩點在反比例函數y=-3x（x<0）的圖象上，AB的延長線交x軸于點C，且AB=2BC，則△AOC的面積是.

解 過點A作AH⊥OC，過點B作BG⊥OC，

因為A，B兩點在反比例函數y=-3x（x<0）的圖象上，

所以設Ax，-3x，S△AOH=32，

因為AB=2BC，

所以BGAH=CBCA=13，

CGHG=CBAB=12，

所以BG=13AH，

HG=2CG，

所以點B的縱坐標為-1x，代入反比例函數中得點B的坐標為3x，-1x，

所以OG=-3x，

HG=-2x，CG=-x，

則OC=-4x，

所以S△AOC=12·OC·AH=12·（-4x）·-3x=6.