第5屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽兒童組試題

（2014.11北京）

團(tuán)體賽

1.觀察下面按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

1，12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，……

問： 1126是第幾個(gè)數(shù)？

2.將14寫成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有幾種寫法？

3.圖1中有9個(gè)邊長為1的正六邊形，從中取出三個(gè)相鄰（至少有1條邊相同）的正六邊形，使得剩下圖形的周長等于原來圖形的周長并且不使余下的圖形斷開. 那么，取出的是哪幾個(gè)正六邊形？

4.如圖2，在等邊三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，梯形DECB中包含四個(gè)形狀相同、面積相等的等腰梯形（兩腰相等的梯形），問：△ABC的周長是等腰梯形DEQP周長的多少倍？

5.已知411<a2014<512，求整數(shù)a的個(gè)數(shù).

6.從1，2，3，4，5，6中，任取三個(gè)組成三位數(shù). 用這些三位數(shù)的和，再除以取出的三個(gè)數(shù)字的和，問：所得的商的個(gè)數(shù).

7.已知：如圖3，ABCDE是正五邊形，四邊形ACQP的面積是1.求陰影五角星部分的面積.

8.如圖4，在大正方形ABCD中，正方形EBFP與正方形MPND的面積分別是64和16.正方形IJHK的頂點(diǎn)J，K分別是正方形EBFP和MPND的對(duì)角線的交點(diǎn).求正方形IJHK的面積.

9.正方形的邊長是小于20的質(zhì)數(shù)a，正三角形的邊長是自然數(shù)b，若正方形的周長比正三角形的周長多10，求b值的個(gè)數(shù).

10.已知x是質(zhì)數(shù)，y是整數(shù)，若1xy+2xy+…+55xy是整數(shù)，那么，y最大是多少？

11.A，B兩數(shù)僅有質(zhì)因數(shù)2和5，它們的最大公約數(shù)是50.A有6個(gè)約數(shù)，B有12個(gè)約數(shù)，求A+B.

12.如圖5，ABCDEF是正六邊形，AD與FC的交點(diǎn)，AC和EC的中點(diǎn)組成一個(gè)面積為6的陰影三角形，求正六邊形ABCDEF的面積.

13.在12014，22014，32014，…，20122014，20132014中，最簡分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？

14.9個(gè)點(diǎn)可以組成8條三點(diǎn)共線的直線（如圖6），也可組成9條三點(diǎn)共線的直線（如圖7），還可組成10條三點(diǎn)共線的直線（如圖8），那么10個(gè)點(diǎn)最多可以組成多少個(gè)三點(diǎn)共線的直線？

15.安排720人乘車，現(xiàn)有50座的車13輛，40座的車20輛.每輛50座的車需付800元，每輛40座的車需付680元.問：為使運(yùn)費(fèi)最少，40座車需要安排多少輛？

16.已知a是有限小數(shù)，將它的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)若干位，得到的數(shù)比原數(shù)大9.999，求所有符合條件的a的和.

17.N是一個(gè)各位數(shù)字不相同的自然數(shù)，并且各位數(shù)字都是N的約數(shù). 求N的最大值.

18.A，B，C三人沿同一條直線同向行走. 開始，B在A、C之間且與A、C等距，如圖9;行走一段時(shí)間后，C在A、B之間且與A、B等距，如圖10. 又繼續(xù)行走，當(dāng)A在B、C之間且與B、C等距時(shí)，求B、C的距離（假設(shè)A，B，C三人的速度始終保持不變）.

19.如圖11，正方體的6個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字：1，2，3，4，5，6，用12個(gè)這樣的正方體組成一個(gè)長方體，求長方體表面（包括底面）上所有數(shù)字和的最小值.

1

2

20.圖12中有12個(gè)1×1的小正方形，它們共有20個(gè)頂點(diǎn). 從中取出3個(gè)，作為三角形的頂點(diǎn)，問：這些三角形中，面積是2的有多少個(gè)？

接力賽

1A.在圖13中，有多少個(gè)三角形？

3

1B.前面隊(duì)友傳來的答案是T，令S = 3T.

求小于S，且有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的所有自然數(shù)的和.

2A.三個(gè)數(shù)277，362和515，分別除以一個(gè)不等于1的自然數(shù)D，得到相同的余數(shù)R，求D-R.

2B.前面隊(duì)友傳來的答案是T.

4

如圖14，正方形的邊長是T，圓的半徑是8，圓心O是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，陰影部分的面積分別用S1，S2表示.

求S2-S1.（取圓周率π=3）

3A.已知 1WMTC× 3 3MTC1，式子中不同字母代表不同數(shù)字，求W+M+T+C.

3B.前面隊(duì)友傳來的答案是T，令S=T-19.

若滿足a-b=S的兩位數(shù)ab有N個(gè)，求乘積N·N·N·N…N100個(gè)N的末尾數(shù)字.

個(gè)人賽

1.如圖15，AE=4，ED=圖15

3，BC=6，DC=9.求△ABD的面積S.

2.已知四位數(shù)10ab，ba01都是完全平方數(shù)，求兩位數(shù)ab.

3.某劇場有27排座位，后排總比前面相鄰的一排多2個(gè)座位，第14排有60個(gè)座位.問：這個(gè)劇場共有多少個(gè)座位？

4.求算式2×2014+3×2013+4×2012+…+1008×1008的末位數(shù)字.

6

5.如圖16，已知正六邊形ABCDEF中，若四邊形ACDE的面積是8，求正六邊形ABCDEF的面積.

6.將一個(gè)棱長為整數(shù)的大正方體分成153個(gè)小正方體，其中，152個(gè)小正方體的棱長都是1.求大正方體的棱長.

7.a，b，c，d，e分別代表3，4，5，6，7中的一個(gè)，若a+1+b=1+c+e=d+e+2，求e.

8.已知：如圖17，等腰直角三角形ABC（∠B=90°，AB=BC）的面積為1，分別以邊AC，AB，BC為邊，向外作正方形ACDE，AFGB，BHIC，求六邊形DEFGHI的面積.

7圖18

9.圖18中有多少個(gè)四邊形？

10.A、B、C分別是1～9中的三個(gè)數(shù)字，若A+2B+3C=12，問：由A、B、C組成并且大于321的三位數(shù)有多少個(gè)？

11.若干人排成一行從左到右先按照1，2報(bào)數(shù)，然后又按照1，2，3報(bào)數(shù).兩次都報(bào)“2”的有5人，則這行人最多有多少個(gè)？

9

12.參加跳繩比賽的學(xué)生被分為A、B、C三組，每人都僅在一組.已知A、B、C三組的人均跳繩數(shù)分別為100個(gè)，80個(gè)，70個(gè).A、B兩組合起來的人均跳繩數(shù)為85個(gè)，B、C兩組合起來的人均跳繩數(shù)為76個(gè).則參加跳繩比賽的學(xué)生人均跳繩數(shù)是多少.

13.在等腰直角三角形ABC（∠A=90°，AC=AB）中，腰長AB=4，分別以頂點(diǎn)A，B，C為圓心，腰長AB為半徑作弧，得到圖20，求陰影部分的面積.（圓周率π取3）

0圖21

14.圖21中，有7n個(gè)1×1的小正方形，在以小正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，邊與小正方形的邊平行的長方形中，有154個(gè)的面積為3（不含正方形），求n.

2

15.如圖22，小圓的23和大圓的45都是陰影.如果小圓的面積是12，求大圓的面積.

16.如圖23，凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，凸六邊形有9條對(duì)角線，…，問：有2015條對(duì)角線的凸多邊形有多少條邊？

3

參考答案

團(tuán)體賽

1.答案：312.

解 先不考慮第1個(gè)數(shù)：1，①

從第2個(gè)數(shù)開始，將同分母的數(shù)由小而大，各排成一行，得到

12第1行，分母是2，有1個(gè)數(shù);

13，23第2行，分母是3，有2個(gè)數(shù);

14，24，34第3行，分母是4，有3個(gè)數(shù);

15，25，35，45第4行，分母是5，有4個(gè)數(shù).

由此推知，第n行，分母是n+1，有n個(gè)數(shù).

所以，1126在第25行，是這行的第11個(gè)數(shù).②

在第25行前，有24行，其中含有的數(shù)字的個(gè)數(shù)是

1+2+3+…+24=1+242×24=300.③

由①②③，知1126是第（300+11+1）=312個(gè)數(shù).

答：第312個(gè).

2.答案：10.

解 14=2×7（7個(gè)2）

=2×4（4個(gè)2）+3+3

=2×3（3個(gè)2）+3+5

=2+2+3+7

=2+2+5+5

=2+3×4（4個(gè)3）

=2+5+7

=3×3（3個(gè)3）+5

=3+11

=7+7.

故共有10種寫法.

3.答案：H，G，F(xiàn)或B，C，D.

解 取出相鄰三個(gè)正六邊形，并且剩下的圖形不斷開，這有以下五種情形：

（1）取出A，B，C，周長改變量是

-9+5=-4;

（2）取出A，B，H，周長改變量是

-8+4=-4;

（3）取出H，G，F(xiàn)，周長改變量是

-7+7=0;

（4）取出A，B，I，周長改變量是

-6+8=2;

（5）取出B，C，I，周長改變量是

-5+7=2.

所以，（3）合題意.同理，取B，C，D也可.

答：取出的是H，G，F(xiàn)或B，C，D.

4.答案：2.4.

4

解 如圖24，若設(shè)PQ=a，

因?yàn)樗膫€(gè)等腰梯形形狀相同、面積相等，所以

PM=QN=PQ=a，

BM=NC=a.

BD=DE=EC=MN.

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AB=2BD，

即BC=2DE，①

而BC=BM+MN+NC=a+MN+a

=MN+2a=DE+2a，②

由①②，得 BC=DE+2a=2DE，

即DE=2a.

所以BC=4a，

故可知原等邊三角形的周長為12a，

小等腰梯形的周長為

a+a+a+2a=5a，

故原等邊三角形的周長是小等腰梯形周長的

12÷5=2.4（倍）.

5.答案：107.

解 由411<a2014<512，得

2014×411<a<2014×512，

則732411<a<83916，

所以733≤a≤839，

于是整數(shù)a的個(gè)數(shù)是839-733+1=107.

6.答案：1.

解 不妨設(shè)取出的三個(gè)數(shù)為1，2，3，由它們組成的三位數(shù)是：

123，132，213，231，312， 321，

共6個(gè)，

他們的和再除以這三個(gè)數(shù)字的和就是

（123+132+213+231+312+ 321）

÷（1+2+3）=222.

由上述求解過程可知，取出三個(gè)數(shù)字排出的6個(gè)三位數(shù)的和的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別等于這三個(gè)數(shù)的和的二倍，

因此，滿足題意的所有的三位數(shù)相加的和再除以這三個(gè)數(shù)字的和都是

100×2+10×2+1×2=222，

即滿足題意的商的個(gè)數(shù)是1.

7.答案：2.

5

解 如圖25，連接MQ，因?yàn)樗倪呅蜛BCDE和PMNQR都是正五邊形，∠PAM和∠PQM分別是兩正五邊形中，不相鄰的兩條對(duì)角線的夾角，所以相等.

而△PAM和△PQM又都是等腰三角形，且PM=PM，所以

△AMP與△QMP的面積相等，

因?yàn)锳BCDE是正五邊形，所以△AMP，△BNM，△CQN，△DRQ，△EPR，△QMP的面積相等，設(shè)為S1，

△RPQ，△MNQ的面積相等，設(shè)為S2，

又因四邊形ACQP的面積是1，

即3S1+S2=1，

所以S陰影五角星=6S1+2S2=2.

8.答案：36.

解 正方形IJHK、EBFP重合部分的面積為

64×14=16，

正方形MPND、IJHK重合部分的面積為

16×14=4，

由正方形EBFP，MPND的面積分別為64和16，知正方形EBFP，MPND的邊長分別為8和4，所以正方形IJHK中，不與EBFP和MPND重合部分的面積為

2×2×4=16，

則正方形IJHK的面積為

16+4+16=36.

9.答案：3.

解 由題意，可知

4a-3b=10，

所以b=4a-103=（a-3）+a-13，

故a-1可被3整除，又a<20，是質(zhì)數(shù)，

所以只取a=7，13，19，從而，得b=6，14，22.

即b的個(gè)數(shù)為3.

10.答案：770.

解 1xy+2xy+…+55xy

=1xy（1+2+…+55）

=1xy×1+552×55

=1540xy，

因?yàn)?540xy是整數(shù)，所以設(shè)1540xy=k（k為整數(shù)），

即1540=kxy，

若使y最大，kx就要最小，而x又為質(zhì)數(shù)，所以kx的最小值為2，則y的最大值為770.

當(dāng)質(zhì)數(shù)x=2時(shí)，y最大=770.

11.答案：6300或550或250.

解 因?yàn)?0=2×52，所以

A可以寫成2×52×a，

B可以寫成2×52×b，

其中a、b為整數(shù)且只含質(zhì)因子2、5. 可設(shè)

A=21+x×52+y，

B=21+m×52+n，

其中x、y、m、n均為非負(fù)整數(shù)，

由A有6個(gè)約數(shù)，得

[（1+x）+1]×[ （2+y）+1]

=（2+x）×（3+y）

=6，

所以x=0，y=0，

即A=21+0×52+0=50.

由B有12個(gè)約數(shù)，得

[（1+m）+1]×[（2+n）+1]

=（2+m）×（3+n）

=12，

所以m=0，n=3;

m=1，n=1;或m=2，n=0，

對(duì)應(yīng)的B分別為

21+0×52+3=6250，

21+1×52+1=500，

或21+2×52+0=200;

又（50，6250）=50，

（50，500）=50，

（50，200）=50，

所以A=50，B=6250或500或200.

因此，A+B為=6300或550或250.

12.答案：144.

6

解 觀察圖形可知，△ACE的面積是陰影三角形面積的

3×4=12（倍）.

根據(jù)圖26易得，△ABC的面積等于△ACO的面積，△ACE的面積是△ABC面積的3倍.

由對(duì)稱性可得正六邊形ABCDEF的面積

=△ABC的面積+△CDE的面積+

△AEF的面積+△ACE的面積

=3△ABC的面積+△ACE的面積

=△ACE的面積+△ACE的面積

=2 ×△ACE的面積

=2 ×12×陰影三角形的面積

=2 ×12×6

=144.

所以正六邊形ABCDEF的面積是144.

13.答案：936.

解 2014=2×19×53，

在1，2，3，…，2013中，

有2012÷2=1006（個(gè)）數(shù)含有約數(shù)2，

有2×53-1=105（個(gè)）數(shù)含有約數(shù)19，

有2×19-1=37（個(gè)）數(shù)含有約數(shù)53，

有53-1=52（個(gè)）數(shù)同時(shí)含有約數(shù)2和19，

有19-1=18（個(gè)）數(shù)同時(shí)含有約數(shù)2和53，

有2-1=1（個(gè)）數(shù)同時(shí)含有約數(shù)19和53，

所以最簡分?jǐn)?shù)有

2013-（1006+105+37）+（52+18+1）

=936（個(gè)）.

14.答案：12.

7

解 10個(gè)點(diǎn)，使3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，最多能組成12條直線，如圖27：

15.答案：3.

解 因?yàn)?0050=16（元/人），

68040=17（元/人），

所以，50座的車人均費(fèi)用比較少，應(yīng)當(dāng)多用50座的車.

注意到50×13=650（人），

720-650=70（人），

7040=1.75（輛）.

所以，如果13輛50座車全用，則還需2輛40座的車.

如這樣安排，則運(yùn)費(fèi)是

13×800+2×680=11760（元）.（1）

這時(shí)40座的車上，有10個(gè)空位.

如果用12輛50座車，可運(yùn)

12×50=600（人），

余下720-600=120（人），

恰好需用3輛40座車，如這樣安排，則運(yùn)費(fèi)是

12×800+3×680=11640（元）.（2）

比較（1）、（2），可知（2）運(yùn)費(fèi)最少.

用40座的3輛，可使運(yùn)費(fèi)最少.

16.答案：1.213.

解 （1）將a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，則新數(shù)是a的10倍，新數(shù)減去a是a的9倍，即

a=9.999÷9=1.111.

（2）將a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，則新數(shù)是a的100倍，新數(shù)減去a是a的99倍，即

a=9.999÷99=0.101.

（3）將a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，則新數(shù)是a的1000倍，新數(shù)減去a是a的999倍，即

a=9.999÷999=0.01009…，

是一個(gè)循環(huán)小數(shù). 與a是有限小數(shù)矛盾，故舍去.

（4）將a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)四位，則新數(shù)是a的10000倍，新數(shù)減去a是a的9999倍，即

a=9.999÷9999=0.001.

（5）將a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)五位，則新數(shù)是a的100000倍，新數(shù)減去a是a的99999倍，即

a=9.999÷99999=0.0000999909999…，

是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，與a是有限小數(shù)矛盾，故舍去.

（6）同理，將a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)五位以上，得到的a都不符合要求.

故所有符合條件的a的和為

1.111+0.101+0.001=1.213.

17.答案：9867312.

解 0不能做除數(shù)，所以N的數(shù)字中不含0.

N不能同時(shí)含有5和偶數(shù)，因?yàn)榇藭r(shí)N的個(gè)位將是0.如果含有5，則2，4，6，8都不能有，此時(shí)位數(shù)不超過5位.

如果N的各位數(shù)字中不含5，則N最大可能是八位數(shù)，它的各位數(shù)字分別是1，2，3，4，6，7，8，9，但數(shù)字和為40，不能被9整除，所以N最多是七位數(shù)，又為使N最大，可保留9，并將9放在最高位，又為使N能被9整除，可去掉4，這時(shí)為使N能被2，6，8整除，末尾數(shù)字應(yīng)該是偶數(shù).

此時(shí)還需要考慮被7和8整除.

（1）前四位最大為9876時(shí)，9876312能被8整除，但被7除余5;9876132能被7整除，但被8除余4.

（2）前四位如果取9873時(shí)，9873612能被7整除，但被8除余4;9873216能被8整除，但被7除余3;9873162和9873126都既不能被7整除，也不能被8整除.

（3）前四位如果取9872時(shí)，9872316既不能被7整除，也不能被8整除;9872136能被8整除，但被7除余1.

（4）前四位如果取9871時(shí)，9871632能被8整除，但被7除余1;9871362，9871326和9871236都既不能被7整除，也不能被8整除;

（5）前四位如果取9867，9867312能被8整除，也能被7整除.

所以N的最大值是9867312.

18.答案：560.

8

解 由題意，當(dāng)A在B、C之間且與B、C等距時(shí)，設(shè)A，B間的距離為x，如圖28.

由圖9到圖10可知，C比B多走900米，B比A多走300米，根據(jù)三人的速度始終保持不變，知在相同的時(shí)間內(nèi)，C比B多走的距離是B比A多走的距離的3倍.

由圖10和圖17可知，C比B多走（2x-200）米，B比A多走（400-x）米.

則有2x-200=3（400-x），

即5x=1400，

解得x=280（米）.

所以B、C的距離為560米.

19.答案：60.

解 觀察可知，數(shù)字2所在的面和數(shù)字1，3，4，6所在的面相鄰，故

數(shù)字2所在的面和數(shù)字5所在的面相對(duì)，

數(shù)字3所在的面和數(shù)字1，2，5，6所在的面相鄰，于是可知

數(shù)字3所在的面和數(shù)字4所在的面相對(duì)，

則數(shù)字1所在的面和數(shù)字6所在的面相對(duì).

因?yàn)?2=1×1×12=1×2×6

=1×3×4=2×2×3，

所以用12個(gè)正方體可組成的長方體有四種.

（1）1×1×12，如圖29.

9

因?yàn)槿我庀鄬?duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的和都是7，所以12個(gè)正方體上下、前后兩組相對(duì)面的數(shù)字和不變，是

12×7×2=168，

當(dāng)兩端的正方體露在外面的數(shù)字的和最小時(shí)，長方體表面的數(shù)字和最小，為

168+1+1=170.

（2）1×2×6，如圖30.

0

因?yàn)槿我庀鄬?duì)兩個(gè)面上的數(shù)字的和都是7，所以長方體上下表面上的數(shù)字的和是定值，為

6×2×7=84.

如圖，長方體表面的數(shù)字和的最小值為

84+6×1×2+2×2×2=104.

（3）1×3×4，如圖31.

同理，可得長方體表面的數(shù)字和最小值為

4×3×7+4×2×1+2×（2+1+2）=102.

1圖32

（4）2×2×3，如圖32.

同理，可得長方體表面的數(shù)字和最小值為

6×2×1+6×2×2+4×2×3=60.

綜上可知，長方體表面上所有的數(shù)字和的最小值為60.

20.答案：154.

解 首先，由面積公式S=12×2×2=2，可知：

3

（1）以圖33中的粗線段為底邊時(shí)，頂點(diǎn)可以選5個(gè)黑點(diǎn)中的任意一個(gè)，此時(shí)，有5個(gè)這樣的三角形，將底邊向右移動(dòng)一個(gè)單位，又有5個(gè)這樣的三角形，……此圖中共有5×3個(gè)這樣的三角形.

同理，底邊在大長方體的最上邊的橫邊上，又有5×3個(gè)這樣的三角形.而圖中這樣的大長方形有2個(gè)，所以共有三角形

5×3×2×2=60（個(gè)）.

4

（2）如圖34，類似（1），長方形如果豎起來，去掉與（1）重復(fù)的三角形，共有三角形

2×2×2×3=24（個(gè)）.

其次，由面積公式S=12×4×1=2可知：

5

（3）以圖35中的粗線段為底邊時(shí)，頂點(diǎn)可以選4個(gè)黑點(diǎn)中的任意一個(gè)，此時(shí)，有4個(gè)這樣的三角形，將底邊向下移動(dòng)一個(gè)單位，又有4個(gè)這樣的三角形，……

此圖中共有4×3個(gè)這樣的三角形. 同理，底邊在大長方形的最右邊的豎邊上，又有4×3個(gè)三角形，所以共有三角形4×3×2=24（個(gè)）.

6

（4）同（3）類似，以圖36中的粗線為底，去掉與（3）重復(fù)的，頂點(diǎn)可以選3個(gè)黑點(diǎn)中的任意一個(gè)，有3個(gè)這樣的三角形，將底邊往下移一個(gè)單位，又有3個(gè)這樣的三角形，……此圖中共有3×3個(gè)這樣的三角形. 同理，如果將大長方形的最下面的邊作為底，有3個(gè)三角形，……，所以共有三角形

3×3×2=18（個(gè)）.

最后，還有邊不在小正方形的邊上的三角形.

（5）如圖37，在下面的長方體中，有4個(gè)面積為2的三角形，而3×4的正方形中豎著有3個(gè)這樣的長方形，橫著有4個(gè)這樣的長方形，所以三角形的個(gè)數(shù)共有

（3+4）×4=28（個(gè)）.

7

故4×3的正方形中，面積為2的三角形共有

60+24+24+18+28=154（個(gè)）.

接力賽

1A.答案：35.

解 圖中有10個(gè)小三角形和1個(gè)小五邊形.

由1個(gè)小三角形組成的三角形有10個(gè);

由2個(gè)小三角形組成的三角形有10個(gè);

由3個(gè)小三角形組成的三角形有5個(gè);

由2個(gè)小三角形和1個(gè)小五邊形組成的三角形有5個(gè);

由4個(gè)小三角形和1個(gè)小五邊形組成的三角形有5個(gè).

所以圖中共有10+10+5+5+5=35（個(gè)）三角形.

1B.答案：385.

解 有奇數(shù)因子的自然數(shù)一定是完全平方數(shù)，

由前一位隊(duì)友傳來的答案，知

S=3T=3×35=105.

因?yàn)?02=100<105<121=112，

所以小于105且有奇數(shù)個(gè)因子的所有自然數(shù)的和為：

12+22+32+42+…+102

=1+4+9+16+…+100

=385.

2A.答案：12.

解 因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)277，362和515，分別除以正整數(shù)D，余數(shù)相同，

所以362-277，515-362，515-277，

都能被D整除，

即85，153，238，都能被D整除，

因此D為85，153，238，的公因子.

又因?yàn)?5=5×17，

153=9×17，

238=2×7×17，

所以D=17.

又因?yàn)?77÷17=16……5，

362÷17=21……5，

515÷17=30……5，

所以R=5，

故（D-R）=12.

2B.答案：48.

解 由題設(shè)可得

（S2+S）-（S1+S）

=S2-S1=π×82-T2，

由前一位隊(duì)友傳來的答案，知 T=12，

則S2-S1=3×82-122=48.

3A.答案：22.

解 由C×3的尾數(shù)為1知，C=7，

由T×3+2的尾數(shù)為7知，T=5，

由M×3+1的尾數(shù)為5知，M=8，

由W×3+2的尾數(shù)為8知，W=2.

故W+M+T+C=22.

3B.答案：1.

解 由題意，可知a-b只能為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一個(gè).

若S=0，則N=9;

S=1，則N=9;

S=2，則N=8;

S=3，則N=7;

S=4，則N=6;

S=5，則N=5;

S=6，則N=4;

S=7，則N=3;

S=8，則N=2;

S=9，則N=1.

所以N只能為1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一個(gè).

由于若干個(gè)1，5，6相乘的末尾數(shù)字永遠(yuǎn)是1，5，6.

若干個(gè)3相乘的末尾數(shù)字是3，9，7，1的循環(huán).

若干個(gè)4相乘的末尾數(shù)字是4，6的循環(huán).

若干個(gè)7相乘的末尾數(shù)字是7，9，3，1的循環(huán).

若干個(gè)8相乘的末尾數(shù)字是8，4，2，6的循環(huán).

若干個(gè)9相乘的末尾數(shù)字是9，1的循環(huán).

又因?yàn)?00÷4=25，

所以100個(gè)N相乘的末尾數(shù)字與4個(gè)N相乘的末尾數(shù)字相同.

由前一位隊(duì)友傳來的答案，知

S=22-19=3，

所以N=7.

7100與74的末尾數(shù)字相同，為1，

故N100的末尾數(shù)字為1.

個(gè)人賽

1.答案：27.

解 S=S梯形ABCE-S△ADE-S△BCD

=12（4+6）×（3+9）-12×

4×3-12×6×9

=60-6-27

= 27.

2.答案：89.

解 由312=961<10ab，322=1024，

332=1089，342=1156>10ab，

知10ab=1024或1089，

所以ba01=4201或9801，

因?yàn)?801=992，

而642<4201<652，

所以a=8，b=9.

于是ab=89.

3.答案：1620.

解 S27=13×2a14+a14=27×a14

=27×60

=1620（個(gè)）.

4.答案：7.

解 此算式含有1007個(gè)乘積，它們的末位數(shù)字依次是：

2×2014的末位數(shù)字是2×4=8，

3×2013的末位數(shù)字是3×3=9，

4×2012的末位數(shù)字是4×2=8，

5×2011的末位數(shù)字是5×1=5，

6×2010的末位數(shù)字是6×0=0，

7×2009的末位數(shù)字是3，

8×2008的末位數(shù)字是4，

9×2007的末位數(shù)字是3，

10×2006的末位數(shù)字是0×6=0，

11×2005的末位數(shù)字是1×5=5，

12×2004的末位數(shù)字是2×4=8，

13×2003的末位數(shù)字是3×3=9，

……

觀察以上的末位數(shù)字發(fā)現(xiàn)從第11個(gè)末位數(shù)字開始，重復(fù)出現(xiàn)前10個(gè)末位數(shù)字，因?yàn)橛?007個(gè)乘積，

而1007÷10=100……7，

所以原式的末位數(shù)字與

100×45+2×4+3×3+4×2+5×1+6×0+7×9+8×8=4657

的末位數(shù)字相同，

故2×2014+3×2013+4×2012+…+1008×1008的末位數(shù)字是7.

5.答案：12.

解 設(shè)正六邊形ABCDEF的面積是6x，則由正六邊形的對(duì)稱性，知四邊形ACDE的面積是4x，即

4x=8，

解得x=2，

6x=12，

故正六邊形ABCDEF的面積是12.

6.答案：6.

解 設(shè)棱長不為1的小正方體的棱長為x，大正方體的棱長為y，則

由體積關(guān)系，得

x3+152=y3，

因?yàn)閤和y都是正整數(shù)，不妨排列一下立方數(shù)1，8，27，64，125，216，343，512，

因?yàn)?12-343>152，

而y3-x3=152，

所以不需要再往下排，

這里，唯一的解就是

64+152=216，

于是x=4，y=6，

所以大正方體的棱長為6.

7.答案：4或7.

解 設(shè)a+1+b=1+c+e

=d+e+2

=k，

所以（a+1+b）+（1+c+e）+（d+e+2）

=3k，

即a+b+c+d+4+2e=3k.①

而3+4+5+6+7=25，

所以a+b+c+d+e=25.

由①，得29+e=3k，

所以2+e可被3整除，即

2+e=3（k-9），

因?yàn)?≤e≤7，

于是，只有e=4或7.

8.答案：12.

解 連接點(diǎn)A，G; C，H，如圖38，

8

由正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，可知△AFG，△AGB，△BGH，△BHC，△CHI的面積和△ABC的面積相等，都是1.

因?yàn)椤鰽FG和△AEF等底同高，△CHI和△CID等底同高，

所以△AEF和△CID的面積都是1.

又正方形AGHC和ACDE的邊長相等，

所以正方形ACDE的面積是4，

故六邊形DEFGHI的面積為

4+4+1+1+1+1=12.

9.答案：60.

解 在四邊形LBCK中：有10個(gè)四邊形;

在四邊形KCDJ中，有10個(gè)四邊形;

在四邊形JDEI中，有10個(gè)四邊形.

同理，在四邊形LBDJ，KCEI，LBEI中，分別有10個(gè)四邊形，

所以，總共有60個(gè)四邊形.

10.答案：4.

解 若A=B=1，

由A+2B+3C=12，得

3+3C=12，

解得C=3.

因?yàn)锳、B不能同時(shí)為1，所以C<3，

即C=1或2.

（1）當(dāng)C=1時(shí)，則

A+2B=12-3C=9.

由奇偶性知，A是奇數(shù)，又題設(shè)三位數(shù)>321，

所以A、B均≥2，

又A+2B=9，且A≠B，

所以A=5，B=2，C=1.

（2）當(dāng)C=2時(shí)，則

A+2B=6.

由奇偶性知，A是偶數(shù)，注意到

A≠C，B≠C，

所以B=1，A=4，C=2.

綜上知，A=5，B=2，C=1，或A=4，B=1，C=2.

所以用A、B、C組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是

6+6=12（個(gè)），

其中大于321的有2+2=4（個(gè)）.

11.答案：31.

解 第一次報(bào)數(shù)依次為1， 2， 1， 2， 1， 2， 1， 2， …

第二次報(bào)數(shù)依次為1， 2， 3， 1， 2， 3， 1， 2， 3，…

兩次都報(bào)“2”的分別是第2名， 第8名，第14名，…，

即第6n+2（n=0，1， 2，…）名同學(xué)兩次都報(bào)了“2”.

因?yàn)橛?個(gè)兩次都報(bào)了“2”的同學(xué)，

所以第五個(gè)兩次都報(bào)“2”的同學(xué)是第26名.

第六個(gè)兩次都報(bào)“2”的同學(xué)應(yīng)該排在第32名.

所以班里最多有31人.

12.答案：80.

解 設(shè)A、B、C三組的人數(shù)分別為a、b、c.

由A、B兩組的人均跳繩數(shù)分別為100，80， A、B兩組合起來的人均跳繩數(shù)為85，得

100a+80ba+b=85，

整理，得a∶b=1∶3.

由B、C三組的人均跳繩數(shù)分別為80，70，B、C兩組合起來的人均跳繩數(shù)為76，得

80b+70cb+c=76，

整理，得b∶c=3∶2，

所以A、B、C三組的人數(shù)之比為1∶3∶2，

因此，所有參加跳繩比賽的學(xué)生人均跳繩數(shù)為

100×1+80×3+70×21+3+2=80（個(gè)）.

13.答案：8.

9

解 如圖39，從點(diǎn)A作AF⊥BC，交BC于點(diǎn)G，交弧BC于點(diǎn)F，

則直線AF和BC將陰影部分分割成相等的四部分，且每一部分的面積為

扇形CAE的面積-三角形CAG的面積

=18π×42-4×4÷2÷2

=2，

4×2=8，

所以陰影部分的面積為8.

14.答案：14.

解 面積為3的長方形中，水平位置一共有7（n-2）個(gè)，豎直位置一共有5n個(gè)，則

7（n-2）+5n=154，

整理，得12n=168，

解得n=14.

15.答案：20.

解1 因?yàn)榭瞻祝ㄖ睾希┎糠值拿娣e

=12×1-23=4，

所以S大圓=4÷1-45=20.

解2 小圓中，空白部分與陰影部分的面積比是

1-23∶23=1∶2;

大圓中，空白部分與陰影部分的比是

1-45∶45=1∶4，

設(shè)兩圓的公共部分（空白部分）的面積為x，

所以小圓的面積為（1+2）x，

大圓的面積為（1+4）x，

由題設(shè)條件知，（1+2）x=12，

即x=4，

所以（1+4）x=5×4=20，

即大圓的面積為20.

16.答案：65.

解 觀察多邊形的對(duì)角線，發(fā)現(xiàn)

N邊形對(duì)角線條數(shù)

N=42

N=52+3=5

N=62+3+4=9

N2+3+…+N-2=（2+N-2）（N-3）2

而（2+N-2）（N-3）2=N（N-3）2，

由題意得，知2015=N（N-3）2，

即N（N-3）=4030.

因?yàn)?030=2×5×13×31=62×65，

所以N=65.