張衡及其數(shù)學(xué)成就

吳文俊

張衡（78年-139年），字平子，河南南陽人，是中國歷史上著名的科學(xué)家.張衡青少年時(shí)期在京師洛陽游學(xué)，寫了一些文學(xué)作品.24歲時(shí)為南陽郡主簿;34歲成為京官郎中;38歲升為太史令，這是當(dāng)時(shí)國家天文歷法機(jī)構(gòu)的最高官職;44歲為公車司馬令，6年后又復(fù)為太史令，最后升為尚書.

在兩度擔(dān)任太史令期間，張衡的科學(xué)研究卓有成效，他做過渾儀和渾象等天文儀器，制造過指南車，而他制造的候風(fēng)地動(dòng)儀則是我國科學(xué)史上的杰作.渾儀和渾象等天文儀器在中國影響深遠(yuǎn)，可以說后來有關(guān)天文的儀器都是在張衡制作的基礎(chǔ)上改進(jìn)和發(fā)展起來的.他著有《靈憲》《渾儀圖注》《漏水轉(zhuǎn)渾天儀注》《算罔論》等科學(xué)著作.其中的《算罔論》被認(rèn)為是數(shù)學(xué)著作，但早已失傳，其內(nèi)容無法確知.

張衡研究過《九章算術(shù)》則是肯定的.《九章算術(shù)》卷四“少廣”第24題是：已知球的體積，求其直徑.但其求解的步驟（公式）很不精確，競有大于1/6的誤差.張衡是首先注意到這個(gè)問題并試圖將其解決的人.劉徽在對(duì)該題作注時(shí)，引了張衡的一段話，并對(duì)張衡進(jìn)行了批評(píng)：“張衡算又謂立方為質(zhì)，立圓為渾.衡言質(zhì)之與中外之渾：六百七十五尺之面開方除之，不足一，謂外渾積二十六也，內(nèi)渾二十五之面，謂積五尺也，今徽令質(zhì)言中渾，渾又言質(zhì)，則二質(zhì)相與之率，猶衡二渾相與之率也.衡蓋亦先二質(zhì)之率推以言渾之率也.衡又言質(zhì)六十四之面，渾二十五之面.質(zhì)復(fù)言渾，謂居質(zhì)八分之五也.又云：方八之面，圓五之面.圓渾相推，知其復(fù)以圓困為方率，渾為圓率也，失之遠(yuǎn)矣.衡說之自然，欲協(xié)其陰陽奇偶之說而不顧疏密矣.雖有文辭，斯亂道破義，病也，”

張衡為了敘述簡便，把立方叫做“質(zhì)”、立圓叫做“渾”.“張衡算”有可能是對(duì)張衡《算罔論》的簡稱.

參考白尚恕的今譯，對(duì)上面的大段文字作如下解釋：

那么問題就歸結(jié)到“以圓柱（高與直徑相等）為方率，其內(nèi)切球?yàn)閳A率”上，即“以圓困為方率，渾為圓率”，于是劉徽指出：“失之遠(yuǎn)矣.”劉徽認(rèn)為，張衡失誤的原因在于他想?yún)f(xié)調(diào)陰陽、奇偶之說，而不考慮所得的結(jié)果是否精密，

雖然張衡的研究結(jié)果不可取，但是有兩點(diǎn)是可以肯定的：其一是所研究的問題來自《九章算術(shù)》，盡管現(xiàn)在沒有資料能直接地證明這一點(diǎn)，但他研究過《九章算術(shù)》則是可以肯定的，從張衡的地位和工作性質(zhì)可以看出，他看到《九章算術(shù)》是順理成章的事情.其二是張衡考慮問題的思路對(duì)后人有很大的啟發(fā)作用，為研究球的體積與直徑的關(guān)系開辟了新道路，

與上面的問題相聯(lián)系的還有圓周率問題.《九章算術(shù)》中的圓周率值為3，劉歆雖然用過新值，但未將其寫進(jìn)《九章算術(shù)》.張衡在研究球的問題時(shí)已注意到了這一點(diǎn).劉徽在注中說：“如按衡術(shù)，方周率八之面，圓周率五之面也.令方周六十四尺之面，即圓周四十尺之面也.又令徑一尺，方周四尺，自乘得十六尺之面，是為圓周率一十之面，而徑率一之面也.”