含常數(shù)激勵非對稱Duffing系統(tǒng)的主共振響應(yīng)及鞍結(jié)分岔研究

羅 鋼，侯 磊，任雙興，陳予恕

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

1 概述

在非線性振動系統(tǒng)中，常數(shù)激勵［1-2］是導(dǎo)致非對稱性的主要因素之一，例如，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受重力作用［3-4］、軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受徑向載荷作用［5-7］、基礎(chǔ)運(yùn)動及機(jī)動飛行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受慣性載荷［8-11］等。非對稱性使得非線性振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性相比于一般的對稱系統(tǒng)更加復(fù)雜，尤其是在非對稱因素十分顯著的情況下。

Carnegie 等［12］研究了重力對Duffing 系統(tǒng)2 次超諧共振的影響，表明重力使得恢復(fù)力產(chǎn)生不對稱性，勢能函數(shù)的冪律指數(shù)由奇數(shù)特征變?yōu)榕紨?shù)特征。

含常數(shù)激勵非對稱Duffing 方程的一般形式如下：

Hayashi［13］研究了參數(shù)取γ=ω=1 的情況，表明在一定參數(shù)條件下，當(dāng)常數(shù)激勵F0在某一范圍內(nèi)取值時，系統(tǒng)最多有5 個穩(wěn)態(tài)解，能夠產(chǎn)生多次跳躍現(xiàn)象。

對于帶有平方非線性項(xiàng)的Helmholtz-Duffing方程：

Ravindra 等［14］通過平移變換將其轉(zhuǎn)化為方程（1），通過解析求解表明平方非線性的存在使得具有硬特性的Duffing 系統(tǒng)產(chǎn)生剛度增強(qiáng)效應(yīng)，使其幅頻曲線峰值點(diǎn)發(fā)生右移。Benedettini 等［15-17］系統(tǒng)研究了振動方程形如式（2）的懸索主共振響應(yīng)、2 次和3 次超諧共振響應(yīng)，以及1/2 次和1/3 次亞諧共振響應(yīng)，表明這些共振響應(yīng)中均存在軟硬特性變化和多值現(xiàn)象，并且由于平方非線性項(xiàng)的存在，2 次超諧共振顯著強(qiáng)于3 次超諧共振，1/2 次亞諧共振顯著強(qiáng)于1/3 次亞諧共振。Murata 等［18］利用突變理論研究了方程（2）的分岔特性，闡釋了跳躍現(xiàn)象及滯后現(xiàn)象的發(fā)生機(jī)制。Yagasaki［19-20］分別針對原子顯微鏡的尖端部分——微型懸臂梁和受線性反饋控制的單擺建立了形如方程（2）的動力學(xué)方程，利用二階平均法分析了主共振響應(yīng)的分岔性質(zhì)，并給出產(chǎn)生亞臨界鞍結(jié)分岔及超臨界鞍結(jié)分岔時的激勵幅值［21］，還采用一種推廣的亞諧Melnikov 方法研究了方程中出現(xiàn)的退化共振行為，表明退化共振一般會導(dǎo)致尖點(diǎn)分岔［22-23］。TIAN 等［24-25］發(fā)現(xiàn)在常數(shù)激勵作用下，光滑非連續(xù)振子的混沌吸引子與SD 振子有顯著區(qū)別。Kovacic 等［26-28］將一個準(zhǔn)零剛度非線性隔振器模型的振動用方程（1）描述，對其主共振響應(yīng)進(jìn)行了細(xì)致的研究，表明在常數(shù)激勵的作用下，系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出4 種不同的幅頻曲線類型，除了近似線性的單解類型和具有3 個穩(wěn)態(tài)解的單彎曲類型，還存在具有3 個穩(wěn)態(tài)解的雙彎曲類型以及具有5 個穩(wěn)態(tài)解的雙彎曲類型。侯磊等［29］對方程（1）描述的非對稱Duffing 系統(tǒng)的骨架曲線和幅頻響應(yīng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)骨架曲線的形態(tài)表現(xiàn)為先向左微偏后轉(zhuǎn)為向右彎曲，對應(yīng)的幅頻曲線在簡諧激勵幅值較小時表現(xiàn)為軟特性，當(dāng)簡諧激勵幅值增大時表現(xiàn)出軟硬特性共存現(xiàn)象。此外，通過奇異性分析給出了該系統(tǒng)在常數(shù)激勵與簡諧激勵幅值不同組合下的6 種分岔模式［30］。

本文以形如方程（1）的含常數(shù)激勵的非對稱Duffing 系統(tǒng)為研究對象，求解強(qiáng)非線性Duffing 方程在常數(shù)激勵與簡諧激勵聯(lián)合作用下的主共振響應(yīng)，重點(diǎn)研究常數(shù)激勵對系統(tǒng)鞍結(jié)分岔的影響規(guī)律。

2 主共振響應(yīng)的近似解析求解與穩(wěn)定性分析

2.1 諧波平衡法求解主共振響應(yīng)

采用諧波平衡法求解方程（1）的主共振響應(yīng)。由于方程（1）中存在常數(shù)激勵F0，其振動響應(yīng)中會產(chǎn)生直流分量，其一階近似解具有如下形式：

式中A0為直流分量，A1為諧波響應(yīng)的幅值，θ為初相位。

將式（3）代入式（1），令常數(shù)項(xiàng)、余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)系數(shù)分別為零，可得幅頻響應(yīng)方程組：

根據(jù)式（4a），A1與A0有如下關(guān)系：

將式（5）代入式（4b），可得關(guān)于A0的方程：

可見式（6）是關(guān)于A0的9 次方程。

根據(jù)笛卡爾符號法則，一元多項(xiàng)式方程具有正數(shù)解的個數(shù)要么等于其系數(shù)符號改變次數(shù)，要么比此次數(shù)小一個偶數(shù)。式（6）系數(shù)符號改變次數(shù)為5次，其具有正數(shù)解的數(shù)目為5 或3 或1，因而式（1）的主共振響應(yīng)最多有5 個。

2.2 穩(wěn)定性分析

采用Floquet 理論分析周期解的穩(wěn)定性。在式（3）的基礎(chǔ)上增加一個小擾動u形成的擾動解如下：

將式（7）代入式（1），注意到y(tǒng)也是式（1）的解，可得基于解y的線性變分方程如下：

其中：

對式（8）作如下變換：

得到如下形式的Hill 方程：

根據(jù)Hill 方程的相關(guān)理論，當(dāng)激勵頻率與規(guī)范化固有頻率具有如下關(guān)系：

時，式（11）所代表的參激系統(tǒng)將在第n個不穩(wěn)定區(qū)域發(fā)生共振。為了考察形如式（3）的解的穩(wěn)定性，本文考慮第二個不穩(wěn)定區(qū)域。可設(shè)式（11）的解的形式為：

式中μ為Floquet 特征指數(shù)，其實(shí)部符號決定式（11）零解的穩(wěn)定性。

仍采用諧波平衡法，取一階近似，令常數(shù)項(xiàng)、余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)系數(shù)為零，得到如下方程組：

由于式（13）為非零解，則有：

由Floquet 理論可知，方程（1）形如式（3）的周期解的穩(wěn)定條件為-ζ±μ的實(shí)部小于零，又由于阻尼系數(shù)ζ＞0 且μ為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，則穩(wěn)定條件等價于ζ2＞μ2。結(jié)合式（15），可知穩(wěn)定條件為Δ1(ζ)＞0，穩(wěn)定邊界為Δ1(ζ)=0，其中：

將式（9）代入式（16）并整理，得穩(wěn)定邊界：

為了將周期解的穩(wěn)定性反映到幅頻響應(yīng)曲線上，將幅頻響應(yīng)方程重新符號化如下：

傳說，對著樹洞講出你的心事，心情會釋然。找到你的樹洞，埋藏進(jìn)所有的眼淚和哭聲，讓我為你守望。不知不覺中你就會長大。

將式（18）關(guān)于頻率ω求全導(dǎo)數(shù)，并從中解出未知數(shù)?A0/?ω，?A1/?ω和?θ/?ω，得：

其中：

Δ2i(i=1，2，3)是用?G1/?ω，?G2/?ω和?G3/?ω的相關(guān)項(xiàng)替換行列式Δ2中第i列得到的新行列式。計算行列式Δ2并整理，得到：

因此，當(dāng)Δ1(ζ)=0 時，Δ2=0。結(jié)合式（19），在穩(wěn)定邊界上有：也就是說，在幅頻響應(yīng)曲線上，在穩(wěn)定邊界點(diǎn)處的切線斜率為無窮大，即垂直于頻率軸。穩(wěn)定邊界將穩(wěn)定解所在區(qū)域與不穩(wěn)定解所在區(qū)域分隔開，可以通過式（17）來判斷特定解的穩(wěn)定性。

3 主共振響應(yīng)中的非線性振動特性分析

3.1 主共振下的幅頻響應(yīng)

以系統(tǒng)參數(shù)取ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05 為例，在常數(shù)激勵作用下，方程（1）主共振下的幅頻響應(yīng)曲線會出現(xiàn)軟特性共振滯后區(qū)，隨著常數(shù)激勵的增大，軟特性共振滯后區(qū)不斷擴(kuò)大，而原有的硬特性共振滯后區(qū)逐漸收縮直到完全消失，在這個演化過程中系統(tǒng)會表現(xiàn)出6 種類型的幅頻響應(yīng)曲線，這在文獻(xiàn)［30］中有詳細(xì)論述。本文以F0=0.8 為例，給出系統(tǒng)最典型的具有5 解共存情況的幅頻響應(yīng)曲線，如圖1所示，其中實(shí)線代表穩(wěn)定解，虛線代表不穩(wěn)定解，箭頭標(biāo)示了正反向掃頻時幅值的變化方向及跳躍現(xiàn)象。由圖1 可見，隨著簡諧激勵頻率ω的增大，幅頻響應(yīng)曲線先向左彎曲，后向右彎曲，形成一個軟特性共振滯后區(qū)和一個硬特性共振滯后區(qū)，且兩個共振滯后區(qū)有一部分重合區(qū)域，在重合區(qū)域內(nèi)特定ω下系統(tǒng)有5 個周期解，其中3 個為穩(wěn)定解，2個為不穩(wěn)定解，而在兩個共振滯后區(qū)的非重合區(qū)域，特定ω下系統(tǒng)有3 個周期解，其中2 個為穩(wěn)定解，1個為不穩(wěn)定解。

圖1 F0=0.8 時系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05)Fig.1 Amplitude-frequency response when F0=0.8(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05)

此外，圖1所示系統(tǒng)還存在復(fù)雜的跳躍現(xiàn)象。從點(diǎn)1 出發(fā)正向掃頻時，隨著簡諧激勵頻率ω的緩慢提高，系統(tǒng)振幅逐漸增大，經(jīng)過點(diǎn)2 時振幅將跳躍到點(diǎn)3，此時若繼續(xù)提高ω，則振幅逐漸減小，直到點(diǎn)4。從點(diǎn)4 出發(fā)反向掃頻時，隨著ω的緩慢降低，系統(tǒng)振幅逐漸增大，經(jīng)過點(diǎn)3 時不發(fā)生跳躍現(xiàn)象，而是振幅繼續(xù)逐漸增大，直到經(jīng)過點(diǎn)5 時發(fā)生跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)振幅將跳躍到點(diǎn)6，此時若繼續(xù)降低ω，則系統(tǒng)振幅逐漸減小，直到點(diǎn)7 再次發(fā)生跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)振幅將跳躍到點(diǎn)8，隨著ω的進(jìn)一步降低，系統(tǒng)振幅逐漸減小，回到點(diǎn)1。當(dāng)系統(tǒng)振幅達(dá)到點(diǎn)6 時，若緩慢提高ω，則系統(tǒng)振幅會逐漸增大，直到點(diǎn)9 發(fā)生跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)振幅跳躍到點(diǎn)10。以ω=1.71 為例，此時系統(tǒng)為典型的5 解共存，通過四階龍格-庫塔法對系統(tǒng)求穩(wěn)定解，得到系統(tǒng)在不同初始條件下的相圖和時間歷程曲線如圖2所示。

圖2 ω=1.71 時系統(tǒng)的相圖與時間歷程(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)0=0.8，F(xiàn)1=0.05)Fig.2 Phase diagrams and time histories when ω=1.71(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)0=0.8，F(xiàn)1=0.05)

Duffing 系統(tǒng)主共振下幅頻響應(yīng)曲線上的跳躍點(diǎn)均是鞍結(jié)分岔點(diǎn)，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)的左右邊界分別對應(yīng)一個鞍結(jié)分岔點(diǎn)，即圖1 中的點(diǎn)2、點(diǎn)5、點(diǎn)7、點(diǎn)9 四個點(diǎn)。因此，研究系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔特性有助于認(rèn)識其復(fù)雜跳躍現(xiàn)象的機(jī)理。

3.2 鞍結(jié)分岔特性分析

鞍結(jié)分岔，也稱切線分岔或折疊分岔，是非線性動力學(xué)中最為基本的局部分岔模式之一，在分岔圖中分岔點(diǎn)處的切線鉛直是其典型的幾何特征，利用該特征可通過幅頻響應(yīng)方程計算系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集，并據(jù)此對幅頻響應(yīng)曲線進(jìn)行分類。關(guān)于分岔分析更為詳細(xì)的方法，可參考文獻(xiàn)［31］。

圖3所示為系統(tǒng)參數(shù)取ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05 時，ω-F0平面上的鞍結(jié)分岔集。可見，鞍結(jié)分岔集由曲線ABC 和曲線FGH 組成，其中曲線ABC 為軟特性共振滯后區(qū)對應(yīng)的鞍結(jié)分岔集，曲線FGH 為硬特性共振滯后區(qū)對應(yīng)的鞍結(jié)分岔集。圖中還在每段分岔集曲線左右標(biāo)示出了經(jīng)過相應(yīng)分岔點(diǎn)時系統(tǒng)周期解數(shù)目的變化情況，因此通過分析這些分岔集曲線可以掌握系統(tǒng)周期解數(shù)目增加或減少的具體情況。

圖3 ω-F0 平面上的鞍結(jié)分岔集Fig.3 Saddle-node bifurcation set on the ω-F0 plane

若以簡諧激勵頻率ω為分岔參數(shù)，則隨著ω的增大，當(dāng)經(jīng)過曲線AB 和DF 時，系統(tǒng)周期解的個數(shù)由1 個變?yōu)? 個，增加1 個穩(wěn)定解和1 個不穩(wěn)定解，此時系統(tǒng)共有2 個穩(wěn)定解和1 個不穩(wěn)定解。隨著ω的進(jìn)一步增大，當(dāng)經(jīng)過曲線BD，CE 和EH 時，增加的2個周期解消失，系統(tǒng)周期解的個數(shù)由3 個變回1 個。

在鞍結(jié)分岔集曲線ABC 和曲線FGH 的交叉區(qū)域，隨著ω的增大，當(dāng)經(jīng)過曲線DG 時，系統(tǒng)周期解的個數(shù)由3 個變?yōu)? 個，增加1 個穩(wěn)定解和1 個不穩(wěn)定解，此時系統(tǒng)共有3 個穩(wěn)定解和2 個不穩(wěn)定解。隨著ω的進(jìn)一步增大，當(dāng)經(jīng)過曲線DE 和EG 時，增加的2 個周期解消失，系統(tǒng)周期解的個數(shù)由5 個變回3 個。

因此，曲線DF，DE 和EH 圍成的區(qū)域?yàn)橛蔡匦怨舱駵髤^(qū)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有3 解，這與傳統(tǒng)的無常數(shù)激勵的Duffing系統(tǒng)的主共振特性一致。曲線AB，BD，DG 以及曲線CE，EG 圍成的區(qū)域?yàn)檐浱匦怨舱駵髤^(qū)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有3 個解。曲線DE，DG，EG 圍成的區(qū)域?yàn)檐浱匦怨舱駵髤^(qū)和硬特性共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有5 個解。

當(dāng)常數(shù)激勵F0較小時，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個數(shù)會經(jīng)歷1-3-1 的變化，此時系統(tǒng)僅有一個硬特性共振滯后區(qū)，與傳統(tǒng)的無常數(shù)激勵的Duffing系統(tǒng)的主共振特性一致。當(dāng)F0的取值處于曲線BD 在縱軸的投影區(qū)域時，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個數(shù)會經(jīng)歷1-3-1-3-1 的變化，此時系統(tǒng)同時具有硬特性共振滯后區(qū)和軟特性共振滯后區(qū)，但兩個共振滯后區(qū)處于分離狀態(tài)。當(dāng)F0的取值處于曲線DG 在縱軸的投影區(qū)域時，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個數(shù)會經(jīng)歷1-3-5-3-1 的變化，此時硬特性共振滯后區(qū)與軟特性共振滯后區(qū)有交叉。當(dāng)F0更大時，硬特性共振滯后區(qū)消失，系統(tǒng)僅具有軟特性共振滯后區(qū)，幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個數(shù)會經(jīng)歷1-3-1 的變化。

4 參數(shù)對鞍結(jié)分岔集的影響分析

4.1 阻尼的影響

圖4所示為系統(tǒng)參數(shù)取γ=4，F(xiàn)1=0.05，阻尼系數(shù)ζ分別取0.01，0.015，0.03，0.04 和0.06 時，ω-F0平面上的鞍結(jié)分岔集。可見，隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集發(fā)生顯著變化，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)均收縮變小，同時軟特性共振滯后區(qū)向平面的右上方移動，硬特性共振滯后區(qū)向平面的左下方移動，兩個共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域也逐漸變小，直到兩個共振滯后區(qū)完全分離；當(dāng)ζ=0.06 時，軟特性共振滯后區(qū)完全消失。表明阻尼的增大有利于抑制Duffing 系統(tǒng)的多解及振幅跳躍現(xiàn)象。

圖4 不同阻尼大小下ω-F0 平面上的鞍結(jié)分岔集(γ=4，F(xiàn)1=0.05)Fig.4 Saddle-node bifurcation sets with different damping on the ω-F0 plane(γ=4，F(xiàn)1=0.05)

4.2 簡諧激勵幅值的影響

圖5所示為系統(tǒng)參數(shù)取ζ=0.015，γ=4，簡諧激勵幅值F1分別取0.05，0.03，0.018，0.01 和0.008時，ω-F0平面上的鞍結(jié)分岔集。可見，隨著簡諧激勵幅值的減小，系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集發(fā)生顯著變化，其變化趨勢與阻尼系數(shù)增大時的變化趨勢相似，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)均收縮變小，同時硬特性共振滯后區(qū)向平面的左下方移動，但軟特性共振滯后區(qū)向平面的右下方移動，兩個共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域也逐漸變小直到兩個共振滯后區(qū)完全分離；當(dāng)F1=0.008 時，軟特性共振滯后區(qū)完全消失。結(jié)果表明簡諧激勵幅值的減小也有利于抑制Duffing 系統(tǒng)的多解及振幅跳躍現(xiàn)象。

圖5 不同簡諧激勵幅值下ω-F0 平面上的近似鞍結(jié)分岔集Fig.5 Approximate saddle-node bifurcation sets with different harmonic excitation on the ω-F0 plane

5 結(jié)論

本文針對含常數(shù)激勵非對稱Duffing 系統(tǒng)開展了鞍結(jié)分岔特性研究，采用諧波平衡法求得系統(tǒng)在主共振下的周期解，采用Floquet 理論分析周期解的穩(wěn)定性，利用幅頻響應(yīng)曲線上鞍結(jié)分岔點(diǎn)處具有切線鉛直的幾何特征，計算了系統(tǒng)關(guān)于常數(shù)激勵和簡諧激勵頻率的鞍結(jié)分岔集，并分析了阻尼和簡諧激勵幅值對鞍結(jié)分岔集的影響規(guī)律，得到結(jié)論如下：

1）在特定參數(shù)條件下，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線先向左彎曲后向右彎曲，形成一個軟特性共振滯后區(qū)和一個硬特性共振滯后區(qū)，在兩個共振滯后區(qū)的重合區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)具有5 解共存現(xiàn)象，5 個周期解中3個為穩(wěn)定解，2 個為不穩(wěn)定解。

2）在5 解共存情況下，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線上表現(xiàn)出復(fù)雜的振動跳躍現(xiàn)象，在軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)的左右邊界上共形成4 個振動跳躍點(diǎn)，均為鞍結(jié)分岔點(diǎn)。

3）在常數(shù)激勵與簡諧激勵頻率構(gòu)成的參數(shù)平面上，鞍結(jié)分岔集由兩條曲線組成，其中一條為軟特性共振滯后區(qū)對應(yīng)的鞍結(jié)分岔集；另一條為硬特性共振滯后區(qū)對應(yīng)的鞍結(jié)分岔集。兩條曲線包圍的參數(shù)區(qū)域?yàn)槎嘟鈪?shù)區(qū)，其中兩條曲線的交叉區(qū)域?yàn)? 解共存參數(shù)區(qū)。

4）隨著常數(shù)激勵的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線上表現(xiàn)出軟特性逐漸增強(qiáng)、硬特性逐漸變?nèi)醯默F(xiàn)象，兩者對應(yīng)的共振滯后區(qū)從分離到交叉，直到硬特性共振滯后區(qū)消失，其中在共振滯后區(qū)交叉的參數(shù)區(qū)存在5 解共存現(xiàn)象和復(fù)雜的振動跳躍現(xiàn)象。

5）增大系統(tǒng)阻尼或減小簡諧激勵幅值，系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集發(fā)生顯著變化，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)均收縮變小，并且兩個共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域也逐漸變小直到兩個共振滯后區(qū)完全分離，表明增大系統(tǒng)阻尼或減小簡諧激勵幅值有助于抑制系統(tǒng)主共振響應(yīng)中的多解及復(fù)雜振動跳躍現(xiàn)象。