雙參數層狀地基中大直徑單樁水平振動解析解與分析

辛 宇，崔春義，許成順，梁志孟，王本龍，裴華富

（1.大連海事大學土木工程系，遼寧大連 116026；2.北京工業大學城市與工程安全減災省部共建教育部重點實驗室，北京 100124；3.大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連 116024）

引言

樁-土動力相互作用作為巖土工程中的熱點問題，一直受到學術界和工程界的關注［1-2］。近年來，隨著交通基礎設施及近海工程建設的大力發展，國內外學者對水平荷載作用下樁基動力響應問題進行了諸多層面的研究，并取得了豐富的研究成果［3-7］。

首先，因物理概念清晰和計算簡單，Winkler地基模型在樁基水平動力分析中得到了廣泛應用［8-10］。相比較而言，Pasternak雙參數地基模型進一步考慮了地基土體剪切效應，更加符合實際［11-15］。因此，許多學者圍繞雙參數地基模型中樁基水平動力響應方面開展了系列研究工作。Dogan等［12］在均質雙參數地基上將樁等效為歐拉-伯努利梁，利用拉格朗日方法推導得出樁基水平振動解析解，分析了Pasternak地基系數對樁基水平振動的影響規律。張望喜等［16］通過哈密頓原理和能量變分原理推導得出多層Pasternak 雙參數地基中樁基受水平振動的解析解。王玨等［17-18］利用傳遞矩陣法推導得到Pasternak 雙參數層狀地基中單樁水平和回轉振動阻抗解析解。

以上研究樁基模型均將樁體簡化為Euler-Bernoulli 梁，只考慮了樁體彎曲變形，忽略了樁體剪切變形的影響。而對于大直徑樁，采用能考慮樁身剪切變形的Timoshenko 梁模型則更為合理和必要［19］。基于此，早期Sun 等［20］、陳云敏等［21］考慮樁剪切變形影響，分別建立了單層和成層土中樁基水平振動控制方程，并推導出了對應解。進一步地，胡安峰等［22-24］基于Timoshenko 梁理論求解了復雜黏彈性地基中單樁水平動力響應，強調了忽略樁身剪切變形會引起較大誤差。隨后，章敏等［25］在Timoshenko梁模型基礎上推導得出了樁頂水平頻域響應解析解，研究了非飽和土中端承樁穩態水平振動特性。欒魯寶等［26］將PCC 樁簡化為Timoshenko 模型，進一步闡述了Timoshenko 模型與Euler-Bernoulli 模型計算樁頂阻抗時的差異性。

另一方面，上述研究均未考慮軸向荷載對樁基動力響應的影響，而在實際工程中樁基往往同時承受水平和軸向荷載作用［27-28］。圍繞此點考慮，Catal［29-30］基于Winkler 模型，求解了在多向復雜荷載作用下的樁基振動方程。欒魯寶等［31-32］考慮豎向荷載作用，分別求解了黏彈性地基中大直徑管樁和飽和土中端承樁水平動力響應解析解，并進一步分析了豎向荷載對水平受荷樁動力響應的影響。

不難看出，在樁基水平振動已有研究中較少有同時考慮地基、樁基剪切變形和軸向荷載影響的相關研究。因此，本文將考慮軸向壓力二階效應的影響，將土體和樁基分別簡化為Pasternak 雙參數成層地基和Timoshenko 梁，建立大直徑樁-成層土相互作用體系水平振動分析模型，進而結合樁土連續邊界條件求解樁身位移、內力、轉角的解析解，并與已有相關解析解進行退化對比驗證其合理性。在此基礎上，探討樁身長徑比、地基剪切層厚度、樁土模量比、樁身剪切變形系數及軸向荷載對樁基水平動力響應的影響規律。

1 力學模型描述與基本假定

基于Pasternak 地基模型的水平簡諧激振作用下大直徑單樁簡化計算模型如圖1所示。具體地，樁頂處施加水平簡諧激振力Q0eiωt，其中Q0為激振力幅值，ω為激振圓頻率，t為時間，N0為作用在樁頂的軸向壓力。此外，第j層土的厚度、剛度系數、阻尼系數和地基剪切剛度分別為和；樁長、樁徑分別為l和d；樁身微元體傾角、剪切角以及截面轉角分別為α，β，φ，第j段樁截面彎矩為Mj。

圖1 水平簡諧激振作用下大直徑單樁簡化計算模型Fig.1 Simplified calculation model for a large diameter single pile under horizontal harmonic excitation

基本假定如下：

（1）樁身簡化為圓形等截面、均質Timoshenko 梁；

（2）樁周土體沿樁身縱向劃分為n層，每層土體簡化為Pasternak 地基模型以描述樁-土相互作用；

（3）樁-土模型系統各部分均滿足小變形條件，樁土界面為完全接觸且無相對滑動；

（4）樁頂處僅發生水平位移，樁底處為固端約束。

2 定解問題力學模型的建立與求解

綜合Timoshenko 梁和Pasternak 地基模型相關理論，得到第j（j為土層數，j=1，2，…，m，…，n）層段樁身單元的動力平衡方程如下：

樁體水平位移和轉角可表示為：

將式（5）代入式（1）可得：

顯然，式（6）為四階線性常系數微分方程，其對應的4個特征根為則可得其方程位移通解為：

進一步地，由式（1）化簡可得轉角為：

當樁體不發生剪切變形時（即Jp→∞），式（8）可退化為Bernoulli-Euler 理論解，即。

將式（7）代入式（8）可得轉角通解為：

基于Timoshenko 梁理論，樁身彎矩、剪力與樁身水平位移相互關系為：

在第j段與第j+1 段樁身截面處，樁的水平位移、轉角、彎矩及剪力連續，即：

綜合式（12）和（13）可得系數矩陣方程組如下：

由式（14）可得：

由遞推關系可將第m段樁身對應系數矩陣Tm表示為：

進一步考慮樁頂和樁底邊界條件：

并將系數表達式（12）代入式（17），化簡可得：

聯立式（16）～（18）則可求出T1，再根據遞推公式（16），最終可求出m段樁身對應系數矩陣Tm，進而可求得樁身各段水平位移；根據樁身水平位移表達式，利用樁身彎矩、剪力與樁身水平位移之間的關系，可求出樁身彎矩、剪力。

為便于后續分析，定義如下位移、彎矩、剪力無量綱包絡值參量如下：

式中umax(z)，mmax(z)，qmax(z)分別為每個動力循環中樁基水平振動位移、彎矩和剪力最大值。

便于更清晰地說明上述推導過程，圖2 給出了對應求解流程圖。

圖2 單樁求解流程示意圖Fig.2 Schematic diagram of single pile solution process

3 算例分析

關于大直徑單樁的界定及相關參數取值參照已有相關研究［22-24，31-32，35］。如無特殊說明，算例中計算參數選取如下：土層參數n=3、第j層土阻尼系數、泊 松 比、密 度103kg/m3、彈性模量、樁土彈模比、樁長l=8 m、樁徑d=1 m、樁體密度ρp=2.5×103kg/m3、樁體剪力形狀系數K′=3/4、無量綱頻率a0=0.5、外荷載幅值Q0=100 kN。

特別需要強調的是，為方便說明問題，后續分析中位移、彎矩、剪力振動響應均采用前述定義的無量綱包絡值參量描述。

3.1 解析解的合理性驗證

為了驗證本文所推導的大直徑單樁水平動力響應解析解的合理性，不考慮軸向荷載的影響（N0→0），首先將樁體由Timoshenko 梁退化為Euler-Bernoulli 梁（Jp→∞），本文退化解與文獻［18］解的對比情況如圖3所示。同時，將土層Pasternak 模型退化至模型，本文退化解與文獻［24］解的對比情況如圖4所示。由圖可見，本文所推導大直徑單樁水平振動響應解析解的退化解分別與已有解結果吻合。

圖3 本文退化解（N0 →0，Jp →∞）與Wang 等［18］已有解分布對比情況Fig.3 Comparison of present solution（N0 →0，Jp →∞）with Wang，et al in Ref.［18］

圖4 本文退化解

3.2 樁基參數化對比分析

為進一步分析樁基和層狀地基剪切變形對樁體水平振動響應的影響，分別將本文計算模型中樁體由 Timoshenko 梁 退 化 為 Euler-Bernoulli 梁（Jp→∞），樁周土Pasternak 地基退化為Winkler 地基，即將本文P-T（Pasternak-Timoshenko）模型退化至W-E（Winkler-Euler）模型。由文獻［10］

Fig.4 Comparison of present solutionwith Hu An-feng，et al in Ref.［24］可知，當樁長徑比（即樁長與樁直徑的比值）l/d＜8時，樁身剪切效應的影響不可忽視。具體地，算例中分別選取樁體長徑比l/d=3，6，樁土彈模比為Es=Ep/5000。

圖5所示為上述兩種模型計算所得樁身水平位移、彎矩及剪力無量綱包絡參量分布對比情況。由圖5（a）可見，P-T 模型和W-E 模型計算所得樁身水平位移無量綱包絡參量的最大值均出現于樁頂，且水平位移無量綱包絡參量隨土層深度增加呈減小趨勢。特別地，地基淺層范圍內（本文z＜1 m），采用兩種模型計算所得樁身水平位移無量綱包絡參量差異較為明顯，且此種差異隨土層加深而漸至可以忽略。圖5（b）中樁頂彎矩無量綱包絡參量均大于樁端，樁身無量綱包絡參量在半樁長處出現反轉拐點，且此后隨土層深度的增加，兩種模型計算所得樁身無量綱彎矩包絡參量差異變大。此外，由圖5（c）可以看出，樁身剪力無量綱包絡參量均隨土層深度的增加而減小，且采用兩種模型計算所得樁身剪力無量綱包絡參量差值隨土層深度的增加呈現出先增大后減小的趨勢。綜上不難看出，由于考慮了樁周土和樁身剪切變形的影響，本文所采用P-T 模型計算樁身內力結果均比W-E 模型對應結果偏小。

圖5 P-T 模型和W-E 模型計算所得樁身無量綱包絡參量分布對比情況Fig.5 Comparison of the distribution of dimensionless envelope parameters of the pile body calculated by P-T model and W-E model

圖6所示為不同樁身長徑比條件下的樁身水平位移、彎矩、剪力無量綱包絡參量分布對比情況。由圖6 可見，不同樁長徑比條件下的樁身水平位移無量綱包絡參量，均隨樁身長徑比的增加而增大；長徑比越小，后半樁長段無量綱彎矩包絡參量增幅越大，并隨長徑比的增大而減小；樁身無量綱剪力包絡參量隨樁長徑比的增加而減小。綜上所述，當樁身長徑比較小時，樁身長徑比變化對樁身無量綱水平位移、彎矩和剪力包絡參量均影響顯著，且此種變化影響隨樁徑比增大而逐漸變小，并趨于穩定。

圖6 不同樁長徑比條件下樁身水平位移、彎矩及剪力無量綱包絡參量分布對比情況Fig.6 The comparison of pile dimensionless envelope parameters of horizontal displacement，bending moment and shearing force under different pile slenderness

為進一步分析樁土彈模比對樁基水平位移、彎矩、剪力無量綱包絡參量的影響規律，分析工況具體如表1所示。其中，Case1～Case3 為表層土Ep/Es1的變化工況，Case4～Case6 為夾層土Ep/Es2的變化工況。

表1 樁-土彈模比工況Tab.1 Distribution of pile-soil modulus ratio

如圖7所示為樁土彈模比變化對樁基水平位移無量綱包絡參量的影響情況。從圖中可以看出，在同一深度條件下，隨表層土、夾層土對應樁土彈模比的增加，樁頂水平位移無量綱包絡參量幅值變大。圖8 和9所示分別為樁土彈模比變化對樁基彎矩、剪力無量綱包絡參量的影響情況。由圖可見，在同一深度條件下，隨著表層土、夾層土對應樁土彈模比的增加，樁身彎矩和剪力無量綱包絡參量均變大。相比較而言，表層土樁土彈模比的變化對樁頂水平位移、樁身彎矩和剪力無量綱包絡參量的影響更為顯著。

圖7 樁土彈模比變化對樁身水平位移無量綱包絡參量的影響Fig.7 Influence of pile-soil elastic modulus ratio on the dimensionless envelope parameters of pile horizontal displacement

圖8 樁土彈模比變化對樁身彎矩無量綱包絡參量的影響Fig.8 Influence of pile-soil elastic modulus ratio on the dimensionless envelope parameters of pile bending moment

為了方便說明問題，引入與樁體截面形狀有關的剪力形狀系數K′（見公式（1））。具體地，當截面形狀為圓形時，K′一般取為3/4；當橫截面為方形時，K′一般取為2/3；當橫截面為環形截面時，K′=，其中R為外圓半徑，r為內圓半徑［36］。

圖9 樁土彈模比變化對樁身剪力無量綱包絡參量的影響Fig.9 Influence of pile-soil elastic modulus ratio on the dimensionless envelope parameters of pile shearing force

圖10所示為樁截面變化對樁身水平位移、彎矩及剪力無量綱包絡參量分布的影響情況。其中，同時將本文解中樁體由Timoshenko 梁退化為Euler-Bernoulli 梁（Jp→∞），即由P-T 模型退化為P-E 模型進行對比分析。由圖可見，在相同截面條件下，P-T 模型對應的樁身水平位移無量綱包絡參量大于P-E 模型計算結果；P-T 模型對應的樁身內力無量綱包絡參量小于P-E模型計算結果。特別地，在環形截面條件下，P-T 模型對應的樁身水平位移和內力無量綱包絡參量與P-E 模型計算結果差異最為顯著。而對于圓形截面而言，此種差異很小甚至可以忽略。這也就是說，對于環形截面的大直徑管樁而言，在進行樁基水平振動特性分析時考慮樁體剪切變形影響十分必要。

圖10 樁截面對樁身水平位移、彎矩及剪力無量綱包絡參量分布的影響Fig.10 The comparison of pile dimensionless envelope parameters of horizontal displacement，bending moment and shearing force under different pile sections

考慮軸向力N0作用時，定義，并將δ（δ=0，1，2，4）作為考慮軸向二階效應的特征參數［37］。軸向作用特征參數變化對樁身水平位移、彎矩及剪力無量綱包絡參量分布的影響如圖11所示。因樁頂受軸力和水平力耦合作用可產生P-Δ效應。由圖可見，隨著軸向作用特征參數的增加，水平位移無量綱包絡參量顯著增大。不同地，僅下半段樁身彎矩和樁端一定區域以外的剪力無量綱參量隨軸向作用特征參數的增加而增大。因此，在實際工程中樁頂軸向荷載對樁基水平振動特性的影響不可忽視。

圖11 軸向荷載對樁身位移、彎矩及剪力無量綱包絡參量分布的影響Fig.11 Influence of axial loads on the dimensionless envelope parameters of pile shearing force

4 結論

本文土體采用Pasternak 地基模型，將樁基簡化為Timoshenko 梁，建立了大直徑樁-成層土相互作用體系水平振動分析簡化分析模型，采用微分變換方法對方程解耦，并結合樁土連續邊界條件求解相關解答。在此基礎上，探討了樁身長徑比、地基剪切層厚度、樁土模量比、樁身剪切變形系數及軸向荷載對樁基水平振動特性的影響規律。計算分析結果表明：

（1）由于考慮了樁周土和樁身剪切變形的影響，采用P-T 模型計算樁身內力無量綱包絡參量結果均比W-E 模型偏小。不同地，采用P-T 模型計算樁身水平位移無量綱包絡參量結果比W-E 模型偏大，且此種差異隨土層加深而漸至可以忽略。

（2）隨著內部區域土體軟（硬）化程度的加大，扭轉阻抗曲線振幅明顯增大（減小），但內部區域土體軟（硬）化程度對扭轉阻抗曲線共振頻率的影響可以忽略。

（3）在相同截面條件下，P-T 模型對應的樁身水平位移無量綱包絡參量大于P-E 模型計算結果；PT 模型對應的樁身內力無量綱包絡參量小于P-E 模型計算結果。特別地，在環形截面條件下，P-T 模型對應的樁身水平位移和內力無量綱包絡參量與P-E模型計算結果差異最為顯著。

（4）隨著軸向作用特征參數δ的增加，水平位移無量綱包絡參量顯著增大。不同地，僅下半段樁身彎矩和樁端一定區域以外的剪力無量綱參量隨軸向作用特征參數δ的增加而增大。

（5）本文所采用解析模型和推導所得對應解析解答，能綜合考慮軸向壓力二階效應、樁周土和樁身剪切變形的影響，并針對求解相關解答進行了退化對比驗證，可為大直徑樁基工程相關水平向振動分析和設計提供參考。