不同類型歐拉屈曲梁非線性吸振器動態(tài)特性的影響研究

劉海平，申大山，王 添

（北京科技大學機械工程學院，北京 100083）

引言

非線性動力吸振器（Nonlinear Dynamic Vibration Absorber，NDVA），又可稱為非線性吸振器，作為一類典型的非線性振動抑制裝置，以其減振頻帶寬、魯棒性好、未對主振系的動態(tài)響應引入新的諧振峰等優(yōu)點受到持續(xù)廣泛的關(guān)注，其非線性特征多以非線性剛度形式呈現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，非線性吸振器能夠在較寬頻率范圍內(nèi)有效吸收主振系的振動能量，且利用阻尼元件將其耗散［1-3］。

Roberson［4］采用具有線性和立方耦合剛度的非線性吸振器構(gòu)成的彈簧元件，并將其附加于單自由度結(jié)構(gòu)，通過與線性吸振器相比，在正弦激勵下，上述非線性吸振器具有更寬的減振頻帶。Vakakis［5］將含有本質(zhì)非線性剛度，可以將振動能量從主振系單向不可逆地傳遞至耗能元件的非線性吸振器命名為非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）。Zhang 等［6］在非線性能量阱中加入慣容器，通過對比主振系的頻響特性和能量傳遞性能，發(fā)現(xiàn)其振動控制效果得到顯著提升。Zang 等［7］在非線性吸振器中加入杠桿放大機構(gòu)，系統(tǒng)傳遞率得到明顯降低。Gendelman 等［8］將多個非線性吸振器串聯(lián)安裝，在保證非線性吸振器總質(zhì)量不變的條件下，相比單個非線性吸振器呈現(xiàn)更優(yōu)的抑振效果。上述研究重點是從理論角度討論非線性吸振器的振動控制效果，僅將非線性吸振器的彈簧元件簡化為理想非線性剛度，未考慮非線性吸振器的具體實現(xiàn)形式。

考慮工程實際，非線性吸振器的非線性彈簧元件有多種可行的實現(xiàn)形式，例如：柔性索［9］、彈性薄片梁［10-12］、斜置螺旋彈簧［13］等。其中，彈性薄片梁作為非線性彈簧元件，因其性能穩(wěn)定，不存在材料蠕變等問題而得到關(guān)注與研究。Nayfeh 等［14］對屈曲梁線性模態(tài)振動進行了理論分析和實驗研究。Winter等［15］設計了由兩個葉片組成的歐拉彈簧隔振器，通過調(diào)整其彎曲剛度比，可以使隔振系統(tǒng)實現(xiàn)極低的動剛度。充分利用歐拉屈曲梁顯著的非線性特征，劉興天等［10］提出一種具備“高靜低動”特征的準零剛度隔振器，理論分析和實驗驗證均表明其具備極佳的低頻減隔振性能。在此基礎上，劉興天等［11］利用上述準零剛度結(jié)構(gòu)，首先提出歐拉屈曲梁非線性吸振器的設想，并初步完成穩(wěn)態(tài)激勵條件下的頻響特性分析。劉海平等［16］分別考慮穩(wěn)態(tài)載荷和瞬態(tài)載荷激勵條件下歐拉屈曲梁非線性吸振器的響應特性，較為全面地研究了此類非線性吸振器的振動抑制效果。相比線性吸振器，歐拉屈曲梁非線性吸振器在有效抑制主頻振動響應的同時，在其他頻段不會引起新的諧振峰，并且有效抑振頻帶更寬。

實際使用中，針對具備本質(zhì)非線性特征的非線性吸振器，為了克服重力場影響產(chǎn)生的靜態(tài)變形，可以采用水平安裝或者引入彈性補償元件有效抵消重力場對非線性吸振器的影響。從上述觀點出發(fā)，樓京俊等［17］考慮非線性吸振器垂向安裝條件下，通過引入弱線性彈簧元件作為彈性支撐，提出改進非線性吸振器的模型。研究表明，相比本質(zhì)非線性吸振器，含弱線性剛度的非線性吸振器的有效工作頻帶更寬，抑振效果更好。其他關(guān)于安裝方式對非線性吸振器抑振性能的影響研究報道較少。綜上，經(jīng)過多年的發(fā)展，針對非線性吸振器的理論研究已經(jīng)獲得豐富的成果，為實際應用奠定了很好的基礎。但是，從工程實際出發(fā)，非線性吸振器的具體實現(xiàn)形式以及可能的影響因素研究尚顯不足。

本文在前期研究基礎上，以歐拉屈曲梁非線性吸振器為研究對象，考慮實際安裝約束分別建立非線性吸振器彈性支撐未接地、彈性支撐接地以及僅彈性支撐中彈簧元件接地三類動力學模型，采用復變量-平均法分別給出上述三類模型的頻能方程和頻響函數(shù)表達式。通過對比研究，確定較優(yōu)的安裝方式，并評估其振動抑制效果。

1 歐拉屈曲梁非線性吸振器建模

僅由歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性吸振器模型如圖1所示。初始狀態(tài)下，每根歐拉屈曲梁長度為L，設在水平位置時，模型處于平衡狀態(tài)。由于歐拉屈曲梁含有負剛度和非線性剛度，屬于一類典型的非線性吸振器。

圖1 歐拉屈曲梁非線性吸振器Fig.1 Schematic of the NVDA with Euler-buckled beams

考慮研究內(nèi)容的完整性，首先，建立單根歐拉屈曲梁模型如圖2所示。初始狀態(tài)下，單根歐拉屈曲梁中間初始撓度為q0，在軸向載荷P作用下，其軸向末端位移為y。

圖2 單根歐拉屈曲梁模型Fig.2 Schematic of single Euler-buckled beam model

軸向載荷P與軸向末端位移y之間的關(guān)系為：

式中Pe=EI(π/L)2為歐拉屈曲梁臨界載荷；L，E，I分別為歐拉屈曲梁未變形時的長度、材料彈性模量和梁截面慣性矩。

根據(jù)單根歐拉屈曲梁的軸向力-位移關(guān)系式（1），可以得到由歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性吸振器（參見圖1）的垂向力-位移關(guān)系式。為了簡化計算，采用泰勒級數(shù)展開可得到力-位移關(guān)系的近似表達式［10］：

2 含非線性吸振器耦合動力系統(tǒng)建模

歐拉屈曲梁屬于雙穩(wěn)定狀態(tài)結(jié)構(gòu)，在兩個穩(wěn)定狀態(tài)之間存在非穩(wěn)定狀態(tài)，因此，需要增加輔助彈性支撐保證非線性吸振器的工作穩(wěn)定性并補償重力引起的位移。為了系統(tǒng)研究彈性支撐及安裝方式對非線性吸振器有效性的影響。本部分分別提出并建立三類非線性吸振器模型：（1）彈性支撐未接地；（2）彈性支撐接地；（3）僅彈簧元件接地，如圖3所示。由圖可見，M為主振系慣性質(zhì)量，K為主振系彈性系數(shù)，c1為主振系阻尼系數(shù)；m為非線性吸振器的慣性質(zhì)量，k為彈性支撐的彈性系數(shù)，c2為彈性支撐的阻尼系數(shù)；f=f0cos(ωt)為外部激勵力。

根據(jù)牛頓第二定理，分別給出圖3 不同耦合動力系統(tǒng)的運動微分方程：

圖3 不同安裝方式的非線性吸振器耦合系統(tǒng)模型Fig.3 Schematic of the NDVA coupling system models with different installation methods

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地：

為了便于分析，引入無量綱化參數(shù)：

通過無量綱化處理，公式（3）～（5）對應不同模型的運動微分方程變換為：

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地：

3 穩(wěn)態(tài)解析解

3.1 頻率能量方程

非線性吸振器對線性主振系的振動控制主要通過耦合系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振的方式實現(xiàn)。上述內(nèi)共振形式共分為主共振、亞諧共振和拍振三種類型，且各類型共振形式隨著系統(tǒng)能量水平變化而被激發(fā)。其中，最常見且控制效果最明顯的為主共振。目前，頻能圖作為有效的分析工具被廣泛應用于研究非線性吸振器的振動控制效果。非線性振動系統(tǒng)的頻能圖在一定程度上可以看作是線性振動系統(tǒng)中的幅頻特性曲線在非線性振動系統(tǒng)中的一個拓展，它反映了非線性系統(tǒng)內(nèi)各階非線性模態(tài)之間的耦合作用，同時也反映了非線性系統(tǒng)的各種內(nèi)共振分布規(guī)律［18-19］。

本部分使用復變量-平均法［20-22］，重點研究非線性吸振器與主振系之間發(fā)生1∶1主共振時的動態(tài)特性。

首先，定義復變量：

頻能圖僅適用于保守系統(tǒng)，故需將方程中阻尼項和外部激勵項忽略掉；然后，引入復變量。通過化簡，可得主振系慣性質(zhì)量的振幅和主振系慣性質(zhì)量與非線性吸振器間的相對運動幅值，分別采用A和B表示。對應圖3 給出不同耦合動力系統(tǒng)模型的響應幅值，分別得到：

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地，該工況與模型2 對應頻能曲線的表達式相同，故不再贅述。保守系統(tǒng)的能量與頻率之間的關(guān)系如下式所示：

3.2 頻響方程

使用復變量-平均法求解頻響函數(shù)［23-28］，以彈性支撐未接地模型為例，將第3.1 節(jié)定義的復變量引入式（3），得到：

引入變量φ1=a1+ib1，φ2=a2+ib2，其中a1，b1，a2，b2均為時間t的函數(shù)。分離實部和虛部，求出a1，b1，a2，b2后代入式（12）可求出頻響方程［29-31］：

采用其他安裝方式時的非線性吸振器耦合系統(tǒng)動力學模型相應的頻響方程詳見文后附錄。為了驗證解析解的正確性，采用四階龍格-庫塔法計算得到的數(shù)值解進行對比驗證，如圖4所示。由圖可見，計算結(jié)果一致性較好，滿足精度要求。

圖4 解析解與數(shù)值解對比Fig.4 Comparison of analytical and numerical solutions

4 動力學特性及抑振效果

本文研究重點在于分析不同安裝方式對歐拉屈曲梁非線性吸振器有效性的影響，故具體設計參數(shù)參考文獻［16-17］，如表1所示。需要說明，文獻中所列參數(shù)均為優(yōu)化后結(jié)果，故本論文不涉及最優(yōu)化設計相關(guān)工作。結(jié)合第3 節(jié)已給出不同耦合系統(tǒng)頻率能量方程和頻響函數(shù)，對上述三種不同安裝方式的歐拉屈曲梁非線性吸振器的動態(tài)響應特性及抑振效果展開討論。

表1 設計參數(shù)值Tab.1 Design parameter values

4.1 頻能圖

圖5 給出不同安裝方式非線性吸振器耦合系統(tǒng)對應的頻能圖。由圖可見，在定義的頻率范圍內(nèi)對系統(tǒng)模型進行遍歷計算，可以得到兩條不同的脊線。考慮非線性吸振器穩(wěn)定性，引入彈性支撐導致非線性吸振器的剛度出現(xiàn)線性項，對應耦合系統(tǒng)頻能曲線呈現(xiàn)兩個互不相交的分支。其中，上分支對應一階非線性模態(tài)，代表主振系與非線性吸振器之間的反向運動；下分支對應二階非線性模態(tài)，代表主振系與非線性吸振器之間的同向運動。可以看出，一階非線性模態(tài)的振動頻率出現(xiàn)下飽和現(xiàn)象，隨著能量的減小，振動頻率收斂于固定值。對比發(fā)現(xiàn)，受安裝方式影響，彈性支撐未接地情況頻率變化范圍較寬，彈性支撐接地情況頻率變化范圍較窄。

圖5 不同模型對應的頻能圖Fig.5 Frequency-energy plots for different models

4.2 頻響曲線

本部分給出不同安裝方式非線性吸振器對應耦合系統(tǒng)主振系的頻響曲線，進而重點討論安裝方式變化對其抑振效果的影響。

圖6 給出歐拉屈曲梁非線性吸振器采用不同安裝方式對應的主振系頻響曲線。通過安裝彈性支撐，歐拉屈曲梁非線性吸振器工作狀態(tài)保持穩(wěn)定，故主振系頻響曲線未出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象等典型的非穩(wěn)態(tài)響應特征。其中，彈性支撐未接地時，歐拉屈曲梁非線性吸振器抑振效果最好。此外，引入彈性支撐的歐拉屈曲梁非線性吸振器不僅可以有效抑制主振系的頻響幅值；而且，未在其他頻點引入新的諧振峰。這也是此類非線性吸振器的突出優(yōu)勢。

圖6 不同模型對應的主振系頻響曲線Fig.6 Frequency response curves of the main vibrational system for different models

根據(jù)上述分析結(jié)果，后面內(nèi)容重點針對彈性支撐未接地對應的歐拉屈曲梁非線性吸振器動力耦合系統(tǒng)展開討論。

4.3 與線性吸振器對比

本部分重點討論安裝傳統(tǒng)線性吸振器和歐拉屈曲梁非線性吸振器對主振系振動響應的抑制效果。根據(jù)第4.2 節(jié)計算結(jié)果，彈性支撐未接地時，歐拉屈曲梁非線性吸振器抑振效果最好。本部分選擇該方案作為研究對象。

圖7 給出不同類型吸振器對應的主振系頻響曲線。可見，兩類吸振器均可在主振系諧振頻率實現(xiàn)有效抑制響應峰值的目標。但是，傳統(tǒng)線性吸振器在原系統(tǒng)諧振頻率兩側(cè)引入新的諧振峰；歐拉屈曲梁非線性吸振器除了可以有效抑制諧振頻率主振系的響應峰值，在其他頻段則未產(chǎn)生任何負面影響。

圖7 不同類型吸振器對應的頻響曲線Fig.7 Frequency response curves for different types of dynamic vibration absorbers

4.4 時域響應

根據(jù)第4.3 節(jié)研究內(nèi)容，歐拉屈曲梁非線性吸振器可以顯著抑制主振系諧振峰值，并且在諧振頻率附近未引入新共振峰，拓寬了工作頻帶；而且，在其他頻段未產(chǎn)生負面影響，即未在低頻段引入新的諧振峰，在高頻段振動響應未被放大。

實際中，環(huán)境激勵呈現(xiàn)多頻寬頻特征，為了全面了解歐拉屈曲梁非線性吸振器的抑振效果，以下重點在時間域討論其受多頻穩(wěn)態(tài)激勵的振動控制效果。

具體計算過程：針對安裝不同類型非線性吸振器耦合系統(tǒng)的運動微分方程，采用四階龍格-庫塔法進行數(shù)值計算，得到各部分的時域響應位移曲線。

假設系統(tǒng)所受外激勵F=∑cos（ωt），ω=21，32，42，52，63，71，84 rad/s 為多頻力激勵對應圓頻率。計算得到在時間域多頻力激勵條件下安裝不同類型非線性吸振器耦合系統(tǒng)各部分位移響應曲線如圖8所示。由圖可見，非線性吸振器振動抑制效果優(yōu)于線性吸振器。

圖8 時域位移曲線Fig.8 Displacement curves in time domain

5 影響因素分析

相比傳統(tǒng)線性吸振器，歐拉屈曲梁非線性吸振器設計參數(shù)眾多，其中，初始撓度q0、長度L以及斜置傾角θ為新增設計變量，故本部分重點針對上述三個新增參數(shù)對安裝歐拉屈曲梁非線性吸振器耦合系統(tǒng)動態(tài)響應的影響進行分析。

5.1 初始撓度q0的影響

其他參數(shù)保持不變（參見表1），初始撓度q0在［1×10-4m，3.5×10-3m］區(qū)間內(nèi)變化，得到主振系幅頻特性云圖如圖9所示。q0在7×10-4～2.1×10-3m 范圍內(nèi)變化時，主振系諧振峰對應頻率比位于0.90～0.95 之間，且q0約為1.3×10-3m 時，主振系頻響峰值最大。當q0小于7×10-4m 或大于2.1×10-3m 時，主振系諧振峰會出現(xiàn)在頻率比1～1.05 之間。此外，初始撓度q0在［5×10-4m，7×10-4m］和［2.1×10-3m，2.3×10-3m］區(qū)間取值，主振系諧振峰存在較小值，即初始撓度q0存在最優(yōu)值。

圖9 不同q0值對應主振系頻響曲線Fig.9 Frequency response curves of the main vibrational system for different q0

5.2 長度L 的影響

其他參數(shù)保持不變（參見表1），僅在區(qū)間［0.01 m，0.06 m］內(nèi)改變L值，得到主振系幅頻特性云圖如圖10所示。當L在0.019～0.06 m 范圍內(nèi)變化時，在頻率比1～1.05 內(nèi)出現(xiàn)共振峰，且隨L的減小共振峰呈現(xiàn)“先減小后增大”的變化趨勢；而且，當L約為0.019 m 時，主振系頻響幅值最小；如果L繼續(xù)減小，共振峰頻率比移向0.92～0.96 區(qū)間；隨著L繼續(xù)減小，主振系頻響幅值急劇上升。對比可見，長度L的最優(yōu)值位于區(qū)間［0.019 m，0.022 m］，相應系統(tǒng)諧振峰值最小。

圖10 不同L 值對應主振系頻響曲線Fig.10 Frequency response curves of the main vibrational system for different L

5.3 斜置傾角θ 的影響

其他參數(shù)保持不變（參見表1），當斜置傾角θ在區(qū)間［5°，25°］變化，主振系幅頻特性云圖如圖11所示。當斜置傾角大于10°時，主振系諧振峰頻率比位于1～1.05 區(qū)間；隨斜置傾角的減小而呈現(xiàn)“先減小后增大”的變化趨勢；當斜置傾角約為10°時，主振系頻響幅值最小；隨著斜置傾角繼續(xù)減小，主振系諧振峰值急劇增大且向低頻發(fā)生移動。對比可見，斜置傾角也存在最優(yōu)值位于區(qū)間［10°，14°］，對應主振系諧振峰值最小。

圖11 不同θ 值對應主振系頻響曲線Fig.11 Frequency response curve of the main vibrational system for different θ

6 總 結(jié)

為了研究基于歐拉屈曲梁非線性吸振器安裝方式對其振動抑制效果的影響，本文分別提出彈性支撐未接地、彈性支撐接地和僅彈簧元件接地三類耦合系統(tǒng)模型。采用復變量-平均法，獲得不同模型對應頻響函數(shù)，進而得到系統(tǒng)的頻能方程。通過與傳統(tǒng)線性吸振器對比，以及主要設計參數(shù)的影響分析，綜合分析并評價歐拉屈曲梁非線性吸振器振動抑制效果。根據(jù)計算結(jié)果，具體得出以下結(jié)論：

（1）在三類非線性吸振器模型中，采用彈性支撐未接地方式安裝的歐拉屈曲梁非線性吸振器的振動抑制效果最好；

（2）相比于傳統(tǒng)線性吸振器，歐拉屈曲梁非線性吸振器不僅可以有效抑制主振系的諧振峰值，且對其他頻段的振動響應未產(chǎn)生負面影響；

（3）對比主振系頻響幅值，歐拉屈曲梁非線性吸振器的主要設計參數(shù)初始撓度q0，長度L和斜置傾角θ均存在最優(yōu)值。

附 錄：

模型1：彈性支撐未接地：

模型2：彈性支撐接地：

模型3：僅彈簧元件接地：