負剛度非線性黏滯阻尼器對斜拉索振動控制研究

程志鵬，汪志昊，郜 輝，岳方方

（1.華北水利水電大學土木與交通學院，河南鄭州 450045；2.橋梁結構安全技術國家工程實驗室，北京 100088）

引言

附加被動線性黏滯阻尼器（LVD）作為一種最常用的斜拉索減振措施，經過國內外學者的廣泛研究，已形成了較為完善的成套理論與技術體系。Pacheco 等［1］采用Galerkin 方法獲得了斜拉索張緊弦模型的LVD 減振通用設計曲線；Krenk［2］進一步給出了LVD 的通用設計曲線近似解析表達式；段元鋒等［3］考慮了斜拉索垂度、抗彎剛度及阻尼器支撐剛度、內剛度等影響，建立了LVD 拉索減振的工程實用設計方法。但LVD 僅能實現斜拉索單模態最優控制，且減振效果受到安裝高度的制約，為斜拉索提供的附加模態阻尼比有限，尤其是非目標優化模態。

隨著斜拉橋跨度的逐漸增大，作為其主要承重構件的斜拉索長細比進一步增大，極易在外界環境激勵下產生各種過量振動［4-6］，且超長斜拉索風致振動通常表現為多模態振動特征［7-8］。因此，有效的斜拉索多模態減振技術對保障大跨度斜拉橋安全運營至關重要［9］。研究表明［10-13］：與LVD 相比，非線性黏滯阻尼器（NVD）對斜拉索多模態減振優勢明顯。另一方面，基于MR 阻尼器的半主動控制技術以其優良的智能控制特性，逐漸發展成為提升斜拉索減振效果的重要手段［14-15］，且已成功應用于洞庭湖大橋［16］和濱州黃河大橋［17］等實際工程。研究表明：MR 阻尼器半主動控制效果提升主要歸功于其負剛度特性實現了阻尼器耗能增效。

受半主動控制負剛度特性實現斜拉索減振增效的啟發，基于負剛度控制原理的被動負剛度阻尼器對斜拉索振動控制研究得到發展。Zhou 等［18］基于預壓彈簧式被動負剛度黏滯阻尼器開展了斜拉索減振理論和試驗研究；Shi 等［19］基于磁致式被動負剛度阻尼器開展了斜拉索減振試驗研究。研究表明［20］：并聯負剛度單元的黏滯阻尼器可顯著提升斜拉索減振效果，且可在一定程度上改善傳統被動阻尼器因安裝位置過低而引起的嵌固效應，主要不足在于當負剛度過大時可能會誘發減振系統的穩定性問題。此外，基于慣質阻尼器的斜拉索減振研究表明［21-23］：并聯慣質單元的黏滯阻尼器呈現頻率相關性負剛度特征，也可有效提升斜拉索減振效果。

為進一步實現斜拉索減振增效，本文融合被動負剛度控制技術和非線性黏滯阻尼特征開展了負剛度非線性黏滯阻尼器（NSNVD）對斜拉索的振動控制研究，理論研究與仿真分析了NSNVD 對斜拉索的單模態和多模態減振效果，參數分析了NSNVD負剛度系數和黏滯阻尼速度指數對斜拉索單模態和多模態減振效果的影響規律，并對比分析了NSNVD 與LVD，NVD 以及負剛度線性黏滯阻尼器（NSLVD）對斜拉索的減振效果。

1 斜拉索-NSNVD 系統復模態分析

1.1 NSNVD 線性等效力學模型

由負剛度單元和非線性黏滯阻尼單元并聯而成的NSNVD 如圖1所示，其作用于斜拉索的橫向力可表示為：

圖1 NSNVD 力學模型Fig.1 Mechanical model of NSNVD

式中u(xd，t)和分別表示斜拉索xd位置處、t時刻的位移和速度；kd，cd和α分別表示NSNVD 的負剛度系數、黏滯阻尼系數和黏滯阻尼指數；sign（·）表示符號函數。

值得說明的是，當α=1.0 時，NSNVD 退化為負剛度線性黏滯阻尼器（NSLVD）；當k=0 時，NSNVD 退化為非線性黏滯阻尼器（NVD）；當α=1.0 且k=0 時，NSNVD 退化為線性黏滯阻尼器（LVD）。

采用能量等效線性化方法［11］，式（1）可進一步表示為：

式中ceq表示NSNVD 的等效線性阻尼系數，其計算式為［11］：

NSNVD 在振幅和頻率分別為Ud和ω的位移ud=Udeiωt激勵下的出力幅值可表示為：

式中 系數函數g（α）的表達式為［11］：

式中 Γ（·）表示伽馬函數。

由式（2）和（4）可知，NSNVD 的等效阻尼系數可由下式計算：

1.2 系統特征方程

斜拉索-NSNVD 系統分析模型如圖2所示。l，T與m分別表示斜拉索的長度、索力與單位長度質量，x和x′分別表示從斜拉索左端和右端開始并分別指向另一端的坐標軸，xd表示阻尼器安裝位置距斜拉索左側錨固端的距離，x′d=l-xd表示阻尼器安裝位置距斜拉索右側錨固端的距離。忽略斜拉索垂度、抗彎剛度的影響，斜拉索-NSNVD 系統的自由振動微分方程可表示為［11］：

圖2 斜拉索-NSNVD 系統分析模型Fig.2 Analysis model of the cable-NSNVD system

式中u（x，t）表示斜拉索x位置處、t時刻的橫向位移；Fd（t）表示NSNVD 作用于斜拉索的橫向力；δ（·）表示Dirac-Delta 函數。

方程（7）應滿足斜拉索邊界條件：

且斜拉索在阻尼器安裝位置處滿足力的平衡條件［11］：

設斜拉索自由振動時的橫向位移和NSNVD 作用于斜拉索的橫向力可分別表示為：

式中U（x）和分別表示斜拉索的振型坐標和阻尼器作用于斜拉索的橫向力幅值；ω為斜拉索-阻尼器系統的復特征頻率。

將式（10）代入方程（7）得：

方程（11）的解可表示為：

將式（4）和（12）代入式（9），斜拉索-NSNVD 系統的特征方程可表示為：

式（13）特征方程的復波數解記為βn（n為模態階次，即n=1，2，…），與之對應的復特征頻率記為ωn，斜拉索的附加模態阻尼比ζn與復特征頻率ωn之間的關系為［11］：

由式（14）可知，斜拉索附加模態阻尼比可由下式計算：

1.3 斜拉索附加模態阻尼比的近似解

假定NSNVD 的安裝位置遠小于斜拉索長度，且NSNVD 僅會引起斜拉索自振頻率的微小攝動［11］，即：

根據上述假定，可以得到下列近似式：

將式（17）代入式（13）可得：

聯立式（15）和式（18），斜拉索第n階附加模態阻尼比的近似解可表示為：

綜合式（6）和（20）可知，斜拉索附加模態阻尼比不僅與NSNVD 的負剛度系數與黏滯阻尼系數密切相關，還體現出明顯的位移相關性特征。

1.4 斜拉索附加模態阻尼比的迭代解

方程（13）可采用固定點迭代法進行求解，迭代方程可由下式表示：

其中，

式中j表示迭代次數，且j=1，2，…。

迭代初值取無阻尼波數β0n，將迭代方程求解得到的復波數βn值代入式（15），即可獲得斜拉索第n階附加模態阻尼比的迭代解。

2 NSNVD 對斜拉索減振數值仿真分析方法

2.1 系統狀態空間方程

根據圖2所示的斜拉索-NSNVD 系統分析模型，系統運動微分方程可表示為［9］：

式中 斜拉索的抗彎剛度、垂度參數和單位長度阻尼分別記為EI，λ2和c；f（x，t）表示施加于斜拉索的分布荷載。

斜拉索兩端的邊界條件：

采用有限差分法，選取N個內節點將斜拉索均勻劃分為N+1 個單元，斜拉索-NSNVD 系統的振動微分方程的矩陣形式可表示為：

式中M，C和K分別表示斜拉索-NSNVD 系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u和f分別表示斜拉索的位移向量和外荷載向量；γ表示阻尼器作用位置向量。根據文獻［24］，上述矩陣或向量可分別表示為：

式中a=l/（N+1）表示斜拉索單元長度；IN為N階單位矩陣；BN×N中每個元素都等于1；ε=EIT-1l-2表示斜拉索的抗彎剛度參數：

其中，

式中ui和fi分別表示斜拉索第i個節點的位移和外荷載；γi由NSNVD 的安裝位置決定，若NSNVD 安裝在斜拉索第φ個節點：

式（25）狀態空間方程形式可表示為：

其中，

其中，

2.2 數值仿真方法

以表1 某實橋斜拉索為例，開展NSNVD 對斜拉索減振效果的數值仿真分析。斜拉索被離散為200 個相同單元，NSNVD 安裝在距離斜拉索下錨固端的2% 斜拉索長度位置。仿真分析基于MATLAB/Simulink 工具箱，采用變步長的四階龍格-庫塔算法進行數值仿真計算。仿真計算時首先進行斜拉索目標模態的穩態激勵，然后去除外激勵，使斜拉索做自由衰減振動。斜拉索激勵荷載取為［12］：

表1 某斜拉索參數Tab.1 Parameters of a stay cable

式中n表示斜拉索-阻尼器系統的模態階次；ωn表示斜拉索-阻尼器系統的第n階模態振動圓頻率；ti表示激勵持續時間；H（ti-t）表示單位階躍函數。

鑒于非線性阻尼器斜拉索減振系統的附加模態阻尼比與斜拉索振幅相關，特定義如下：

式中 自由衰減初始周期位移振幅峰值An=0.08 m，終止周期位移振幅峰值An+τ=0.02 m。

3 斜拉索單模態減振效果

3.1 附加模態阻尼比近似解、迭代解和仿真解對比

為了便于對比分析NSNVD 提供的斜拉索各階最大附加模態阻尼比及對應的阻尼器最優參數，引入下列無量綱參數：

式中表示NSNVD 無量綱負剛度系數，表示斜拉索第n階模態NSNVD 無量綱阻尼系數。

由于斜拉索-NSNVD 系統復模態分析求得的斜拉索附加模態阻尼比的近似解和迭代解與阻尼器安裝位置處的斜拉索振幅密切相關，為便于對比分析斜拉索附加模態阻尼比的近似解、迭代解和仿真解，統一取仿真解識別對應的斜拉索自由衰減區段初始周期和終止周期的位移振幅峰值的平均值作為計算近似解和迭代解時的阻尼器安裝位置處的斜拉索振幅。圖3 和4 分別對比了斜拉索前2 階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.5）阻尼系數的變化關系，可見：

圖3 斜拉索第1 階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的變化關系Fig.3 Variations of the first supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

圖4 斜拉索第2 階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的變化關系Fig.4 Variations of the second supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of NSNVD（α=0.5）

（2）若考慮斜拉索垂度和抗彎剛度的影響，NSNVD 為斜拉索前2 階附加模態阻尼比顯著降低。

鑒于阻尼器對斜拉索減振效果受斜拉索垂度和抗彎剛度的影響［25］，且考慮斜拉索垂度和抗彎剛度更符合實際，本文后續開展NSNVD 對斜拉索單模態減振效果參數分析和多模態減振效果優化研究均依據考慮斜拉索垂度和抗彎剛度時的仿真解。

3.2 NSNVD 參數分析

圖5 和6 進一步對比分析了NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對斜拉索前2 階最大附加模態阻尼比和相應最優無量綱阻尼系數的影響規律。由圖可知：

圖5 NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對斜拉索第1 階最大附加模態阻尼比和對應最優無量綱阻尼系數的影響規律Fig.5 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the first maximum supplemental modal damping ratio of the cable and corresponding optimal dimensionless damping coefficient

（1）對應相同黏滯阻尼指數且NSNVD 無量綱負剛度系數小于1 時，斜拉索前2 階最大附加模態阻尼比隨NSNVD 無量綱負剛度系數的增大而提高，而斜拉索最大附加模態阻尼比對應的NSNVD 最優無量綱阻尼系數則隨NSNVD 無量綱負剛度系數的增大而降低。

圖6 NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對斜拉索第2 階最大附加模態阻尼比和對應最優無量綱阻尼系數的影響規律Fig.6 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the second maximum supplemental modal damping ratio of the cable and corresponding optimal dimensionless damping coefficient

（2）對應相同的無量綱負剛度系數，斜拉索前2階最大附加模態阻尼比受NSNVD 黏滯阻尼指數的變化影響較小，但斜拉索前2 階最大附加模態阻尼比對應的NSNVD 最優無量綱阻尼系數隨NSNVD黏滯阻尼指數的減小而顯著下降。

4 斜拉索多模態減振效果

4.1 多模態優化方法

圖7 給出了斜拉索前4 階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的變化關系。由圖可知：斜拉索各階模態對應的NSNVD 最優無量綱阻尼系數隨無量綱負剛度系數的增大而降低，且斜拉索第1 階模態由于垂度降低效應其最大附加模態阻尼比要明顯小于高階模態。此外，結合圖5 和6可知，與NSLVD 相比，NSNVD（α=0.5）大幅度降低了斜拉索各階模態的最優無量綱阻尼系數，且顯著縮小了各階模態最優無量綱阻尼系數之間的差異。

圖7 斜拉索前4 階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的變化關系Fig.7 Variations of the first four supplemental model damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

為精準評估NSNVD 對斜拉索的多模態減振效果，本文采用文獻［25］提出的基于斜拉索各階模態阻尼比均值和標準差的斜拉索多模態減振參數優化方法。即：當斜拉索各階附加模態阻尼比的均值和標準差的差值最大時，斜拉索多模態減振效果達到最優。斜拉索附加模態阻尼比的均值、標準差以及二者的差值最大值的計算式分別為：

式中n為考慮的斜拉索控制模態階次。

圖8 為考慮斜拉索前4 階模態控制相應優化指標隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的變化關系。由圖可知：斜拉索前4 階附加模態阻尼比的均值、標準差以及均值與標準差二者的差值均隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的增大，先逐漸增大到最大值后再減小，即斜拉索前4 階附加模態阻尼比的均值和標準差二者的差值存在最大值，此時斜拉索多模態減振效果達到最優。

圖8 考慮斜拉索前4 階模態控制相應優化指標隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數的變化關系Fig.8 Variations of the multi-mode damping ratio optimization index considering the first four supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

4.2 NSNVD 參數分析

圖9 對比分析了NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對斜拉索前4 階附加模態阻尼比的均值與標準差二者的差值最大值的影響規律。由圖可知：對應相同黏滯阻尼指數且NSNVD 無量綱負剛度系數小于1 時，斜拉索前4 階附加模態阻尼比的均值與標準差二者的差值最大值隨NSNVD 無量綱負剛度系數的增大而提高，即NSNVD 對斜拉索多模態減振效果隨NSNVD 無量綱負剛度系數的增大而提升；對應相同無量綱負剛度系數，斜拉索前4 階附加模態阻尼比的均值與標準差二者的差值最大值隨NSNVD 黏滯阻尼指數的減小而提高，即NSNVD對斜拉索多模態減振效果隨NSNVD 黏滯阻尼指數的減小而提升。

圖9 NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對斜拉索前4 階附加模態阻尼比的均值與標準差二者的差值最大值的影響規律Fig.9 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the maximum difference between the mean and standard deviation of the first four supplemental modal damping ratios of the cable

圖10 進一步對比分析了NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對斜拉索前4 階模態最優控制對應的NSNVD 無量綱最優阻尼系數的影響規律。由圖可知：對應相同黏滯阻尼指數且NSNVD無量綱負剛度系數小于1 時，NSNVD 最優阻尼系數隨NSNVD 無量綱負剛度系數的增大而降低，即NSNVD 實現斜拉索多模態減振效果（隨NSNVD無量綱負剛度系數的增大而提升）的阻尼成本隨NSNVD 無量綱負剛度系數的增大而降低；對應相同無量綱負剛度系數，NSNVD 最優無量綱阻尼系數隨NSNVD 黏滯阻尼指數的減小而降低，即NSNVD 實現斜拉索多模態減振效果（隨NSNVD 黏滯阻尼指數的減小而提升）的阻尼成本隨NSNVD 黏滯阻尼指數的減小而降低。

圖10 NSNVD 無量綱負剛度系數和黏滯阻尼指數對NSNVD 多模態最優無量綱阻尼系數的影響規律Fig.10 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the optimal dimensionless multi-modal damping coefficient of the NSNVD

圖11（a）和（b）分別對比研究了斜拉索多模態優化后前4 階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.8）無量綱負剛度系數與黏滯阻尼指數的變化關系。由圖可知：斜拉索各階附加模態阻尼比隨NSNVD（α=0.8）無量綱負剛度系數的增大而提高；斜拉索第1 階附加模態阻尼比隨NSNVD黏滯阻尼系數的減小而有所下降，而其余各階附加模態阻尼比均隨黏滯阻尼系數的減小而提高?？梢姡篘SNVD 的被動負剛度效應和非線性黏滯阻尼特征均有助于提升斜拉索多模態減振效果，且基于斜拉索各階模態阻尼比的均值和標準差的多模態減振參數優化方法同樣適用于斜拉索-NSNVD 系統。

圖11 斜拉索多模態優化后的前4 階附加模態阻尼比Fig.11 The first four supplemental modal damping ratio of the cable after multi-mode optimization

5 結論

（1）能量等效線性化方法對NSNVD 斜拉索減振系統基本適用，但當阻尼系數超過最優值時，相應結果存在一定偏差。

（2）被動負剛度效應有助于提升NSNVD 對斜拉索的單模態和多模態減振效果，且相應的NSNVD 最優阻尼系數隨其負剛度系數的增大而降低。

（3）黏滯阻尼非線性特征有助于實現NSNVD對斜拉索的多模態減振增效，其可有效提高斜拉索各階模態阻尼比的均值與標準差二者的差值最大值，且可顯著降低相應NSNVD 的最優阻尼系數。

（4）基于斜拉索各階模態阻尼比的均值和標準差的多模態減振參數優化方法同樣適用于斜拉索-NSNVD 系統。

（5）當NSNVD 的負剛度系數和黏滯阻尼指數匹配合理時，可以實現斜拉索減振雙重增效。