面向時變阻尼比-位移雙目標的防屈曲支撐減震體系設計方法

吳 山，何浩祥，陳易飛

（北京工業大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124）

引言

結構消能減震技術是通過在主體結構的合適部位加入阻尼器，提供附加剛度和阻尼，從而起到提高結構抗震性能和安全性的作用。附加有效阻尼比是評價阻尼器減震效果的重要參數，合理確定附加有效阻尼比是消能減震設計的關鍵環節。

中國《建筑抗震設計規范》（GB 50011—2010）［1］規定采用阻尼器在結構預期位移下滯回一周耗能與減震體系在預期位移下的總應變能作比的方法計算附加有效阻尼比，可稱為應變能法。該方法需要根據指定的阻尼器恢復力模型推算預期位移下的滯回耗能。文獻［2］規定，防屈曲支撐（BRB）和軟鋼阻尼器應采用雙線性模型或Bouc-Wen 模型模擬。吳克川等［3］推導并得到了預期位移下雙線性模型滯回環面積解析解，在此基礎上得到BRB 附加有效阻尼比計算公式。王維凝等［4］提出了理想彈塑性模型阻尼器的耗能表達式。盡管雙線性模型被普遍用于BRB 的理論分析和有限元模擬，但由于其不能準確反映阻尼器的平滑屈服段特性，因此擬合精度較差，難以在各級位移下精確表征阻尼器耗能。Bouc-Wen 模型可以通過形狀控制參數調控屈服段尖銳程度，從而準確表征多種類型阻尼器在平滑屈服段和各級位移下的滯回耗能［5-9］，因此研究該模型的能量解析表達具有重要的理論和工程意義。然而傳統的Bouc-Wen 模型是隱式形式［10］，難以直接對其滯回環面積進行求解，因此目前尚無基于Bouc-Wen模型的附加有效阻尼比解析解，亟需對該模型滯回環面積進行解析推導，得到以BRB 為代表的位移型阻尼器阻尼比精確計算公式。

粗略的整體附加有效阻尼比可通過結構響應幅值求得，但幅值法計算結果往往大于真實值［11］。阻尼比與結構響應密切相關，且在時域是連續變化的。時變阻尼比不僅可以更加精確地表征減震性能，還能夠反映阻尼比的變化規律和趨勢。近年來，國內學者對時變阻尼比進行了大量研究工作。文獻［12-15］將基于雙線性模型的應變能法演變為時變方法，即分別計算每個時刻的時變附加有效阻尼比，并建議采用時變阻尼比均值評價減震效果。但按每個時刻計算能量并沒有充分滿足結構滯回耗能要求，計算精度較低。翁大根等［11］提出將阻尼器耗能與固有阻尼耗能作比計算附加有效阻尼比，即模態阻尼耗能法，該方法物理意義明確、計算精度高、操作簡便且適用于各種類型的阻尼器，擺脫了應變能法在計算機理和阻尼器模型方面的局限，是一種優勢明顯的新計算方法。但目前該方法是對兩種能量在整個時程內的累積結果作比，阻尼比的時變特性體現不充分，因此有必要對其進行改進［16］。

此外，目前的減震結構設計通常采用基于位移的設計方法，更關注結構安全性，但對結構減震性能的評估不夠精細，缺乏對關鍵部位、樓層及整體的附加阻尼比精確和動態評估的方法，導致對阻尼器的選型、性能分析和量化評價并不全面，亟需提出更豐富的設計目標和方法。

鑒于此，本文對時變附加有效阻尼比計算方法進行研究及對Bouc-Wen 模型進行顯式化解析，推導了滯回曲線面積解析解，進而提出基于該模型的應變能法計算公式；對模態阻尼耗能法進行改進，提出分時間段對阻尼器耗能和固有阻尼耗能進行求和后作比，更能體現阻尼比的變化趨勢。之后對兩種計算方法進行了對比，對時間段取值范圍進行討論。提出了以層間位移角和附加有效阻尼比為雙目標進行減震設計的方法和流程。最后，結合采用BRB 的鋼筋混凝土框架減震結構對定量阻尼比雙目標設計方法的可行性和先進性進行了驗證。

1 時變附加有效阻尼比計算公式

為了根據附加有效阻尼比進行結構減震設計，本文首先對阻尼比計算方法尤其是基于Bouc-Wen模型顯式解的滯回能量解析計算進行研究。后文雙目標設計需要根據每層層間位移角和附加有效阻尼比對該層阻尼器性能參數進行調控，因此在阻尼比算法中給出了每層附加阻尼比的計算公式。

1.1 基于Bouc-Wen 模型的應變能法

文獻［1］規定的阻尼器附加給主體結構的有效阻尼比計算公式如下：

式中ζa為附加有效阻尼比；為第i個阻尼器在結構預期層間位移下往復循環一周所消耗的能量；Ws為減震體系在預期位移下的總應變能。

上述附加有效阻尼比計算方法采用結構響應幅值進行計算，屬于包絡法，結果偏于保守，精度較低［2］。此外，附加有效阻尼比與結構層間位移響應密切相關，因此在地震激勵下是時變的，以每一時刻結構響應為依據，計算得到的時變附加有效阻尼比更符合實際情況，具有更高的精度。

假設高層結構每個樓層均為等效單自由度體系，根據式（1）可推得阻尼器提供的樓層時變附加有效阻尼比公式如下：

式中n為結構總樓層數。Ws(k)可通過下式計算：

式中Fj(k)和uj(k)為第k時刻第j層結構體系層間剪力和層間位移。需要指出的是，式（1）中應為阻尼器滯回一周耗能，采用第k時刻阻尼器位移反推阻尼器滯回一周耗能是一種近似估算方法，因此建議對和Ws(k)的時程結果進行分段求和，求解時段內的附加有效阻尼比。

應變能法根據結構層間位移反推阻尼器預期位移下滯回一周耗能，因此須建立阻尼器位移和該位移下滯回耗能的計算公式，下面對第k時刻阻尼器在結構預期層間位移下滯回一周總耗能進行推導。阻尼器采用Bouc-Wen 模型模擬，假設一個樓層內采用的阻尼器力學特性均相同，則單個阻尼器時變的阻尼力-位移關系可用下式表示：

式中Aj，γj和βj為控制滯回曲線外形的參數，λj控制屈服尖銳程度。

假設BRB 與框架梁夾角為θ，則結構第k時刻第j層層間位移uj(k)與該層阻尼器軸向位移Dj(k)之間存在如下變換關系：

由式（5）和（6）表示的阻尼器阻尼力-位移關系為隱式表達式，難以直接對其在預期位移下滯回一周的能量求解，需先進行顯式化解析。

令式（6）中的λj=1，去掉絕對值符號，用分段函數形式表示為：

對上式進行變換得到內變量zj（k）和阻尼器軸向位移Dj(k)之間的微分表達式如下：

下面根據γj和βj的關系分別進行討論。

（1）當γj≠±βj時，式（9）對Dj(k)積分可得：

式（12）對Dj(k)求積分，得到第j層第i個阻尼器的滯回環面積為：

（2）當γj=-βj時，式（9）通過對Dj(k)積分可得下式：

其中，

此時，第j層第i個阻尼器滯回環面積可通過積分得：

（3）當γj=βj時，式（9）通過對Dj(k)積分可得下式：

其中

此時第j層第i個阻尼器滯回環面積為：

第j層阻尼器總耗能為：

式中q為第j層阻尼器總數。

上文根據γj和βj的關系分情況推導了阻尼器在預期位移下滯回一周耗能解析解，計算附加有效阻尼比時應先對阻尼器荷載-位移曲線進行擬合，得到恢復力模型后根據γj和βj的關系選擇滯回耗能表達式進行求解，在本文的BRB 模型中，γj=βj=0.5，即γj=βj的工況。選取合適的阻尼器滯回耗能公式后，根據結構層間位移計算，再根據層間剪力和層間位移計算減震體系總應變能Ws(k)，將兩者代入式（1）計算附加有效阻尼比。

需要指出的是，該方法主要適用于計算BRB、金屬阻尼器以及磁流變阻尼器等適合用Bouc-Wen模型表征的阻尼器附加有效阻尼比。

1.2 基于模態阻尼耗能法的附加阻尼比計算

為了克服傳統應變能法求阻尼比需要指定的阻尼器恢復力模型且不完全適用于位移相關型阻尼器的局限，文獻［11］提出一種基于模態阻尼耗能的時變附加有效阻尼比計算方法，但該方法在計算能量過程中積分區間存在一定缺陷。本文將對該方法進行改進和拓展。

消能減震體系的單自由度計算模型如圖1所示。ks，cs和ms分別為主體結構的剛度、阻尼系數和質量，kd和cd分別為消能部件的剛度與阻尼系數。結構在地震作用下的動力方程為：

圖1 消能體系單自由度計算簡圖Fig.1 Simplified diagram of the SDOF damping system

時變附加有效阻尼比可以表征任意時間段內阻尼器提供的阻尼比，進而準確評價阻尼器的動態減震效果。為了計算時變附加有效阻尼比，需要用時間段Td對地震動持時分段，對每一段分別求積分得到減震體系能量。將地震動持時按時段［k，k+Td］劃分，其中k為時刻，并對式（21）各項在該時段內積分，獲得單自由度體系的相對能量反應方程為：

由于結構在真實地震下很少呈現完整的滯回曲線，并考慮到高階振型周期的影響，Td可以取為結構第一階自振周期T1的1.0～1.8 倍。將上式寫為能量的形式，可進一步得到下式：

式中Ew（k）為結構動能；Ec（k）為結構固有阻尼耗能；Ee（k）為結構彈性應變能；Eh（k）為結構滯回耗能；Ed（k）為消能部件耗能；Ein（k）為地震輸入能量。

由此可以得到n層減震結構體系在地震作用下的能量方程：

對于單自由度消能體系，基于能量等效原則，采用等效黏滯阻尼力做功表示阻尼器做功：

記ζ0為結構的固有阻尼比，阻尼器附加有效阻尼比為ζa(k)，由于阻尼比計算公式中結構勢能對于ζ0和ζa(k)是一致的，故存在如下比例關系：

同理可得n層消能減震體系總附加有效阻尼比：

由上式可得消能減震體系第j層的阻尼器的附加有效阻尼比為：

與應變能法相比，該方法不需要阻尼器恢復力模型，通過在有限元模型中提取能量即可求得附加有效阻尼比，因此該方法適用于所有類型的阻尼器，且計算精度高，計算簡便。

2 雙目標設計方法的設計流程

前文推導了兩種阻尼比計算方法，下節對兩者進行了比較，由于模態阻尼耗能法物理意義清晰，機理明確，計算精度高，因此在雙目標設計中選用該方法計算阻尼比，工程設計中可根據需求對兩種方法進行選擇。需要指出的是，由于模態阻尼耗能法的機理具有普適性，因此該設計方法適用于采用各種阻尼器的減震結構，本節以BRB 減震體系為例進行展示。為了改進傳統基于位移的設計方法難以充分考慮減震效果的不足，提出面向阻尼比-位移雙目標設計方法流程如圖2所示，采用兩個基本設計目標：（1）各層層間位移角幅值θj小于層間位移角限值θ0；（2）減震結構總附加有效阻尼比ζa高于目標附加有效阻尼比ζa0。具體設計流程為：

圖2 雙目標減震設計流程圖Fig.2 Flow chart of double objective seismic design

（1）確定主體結構的層高、空間布局、梁柱配筋方案和材料性能等基本信息，BRB 的初始性能參數和布置方案，設定性能評價標準目標附加有效阻尼比ζa0和層間位移角限值θ0；

（2）基于有限元平臺建立減震體系模型，選取合適的地震波對結構進行彈塑性時程分析；

（3）提取結構各層的層間位移和層間剪力時程，各層層間位移角幅值θj；

（4）根據時程結果，利用式（29）或式（1）～（20）（應變能法或模態阻尼耗能法）計算各層的時變附加有效阻尼比，進而得到總時變附加有效阻尼比ζa(k)，根據文獻［11］建議，對總時變附加有效阻尼比ζa(k)取平均值，得到結構總附加有效阻尼比ζa；

（5）判斷結構性能是否滿足預期設計目標要求，若θj＜θ0，且ζa＞ζa0，則結構滿足要求，設計結束，否則對層間位移角θj較大樓層的BRB 性能參數進行調整，通過增大Kj或的方法提高BRB 屈服力，達到增大該層BRB 附加有效阻尼比并減小層間位移角的目的，之后返回步驟（2）進行迭代計算。

3 算例分析

3.1 有限元模型

為了對比兩種阻尼比計算方法，并驗證面向阻尼比-位移雙目標設計方法的有效性，選取一典型的含BRB 的鋼混框架減震結構進行計算分析。該結構共8 層，每層高度為4 m。8 度抗震設防，場地類別為Ⅱ類，抗震等級為一級。設計地震分組為第二組，設計基本地震加速度值為0.15g。框架梁截面尺寸為700 mm×1000 mm，采用C30 混凝土，彈性模量為3.0×104MPa，抗壓強度標準值為20.1 MPa，鋼筋彈性模量為2.0×105MPa，屈服強度為413 MPa，極限強度為620 MPa，配筋率為0.96%；框架柱截面尺寸為900 mm×900 mm，采用C35 混凝土，彈性模量為31500 MPa，抗壓強度標準值為23.4 MPa，配筋率1.62%?；赟AP2000 建立如圖3所示有限元模型，梁柱采用桿系單元模擬，彈塑性變形用塑性鉸單元模擬。無控結構第一周期為0.638 s。在初步設計方案中，每層沿兩水平方向各布置4 個BRB 選用Plastic-Wen（Bouc-Wen）模型，SAP2000中該模型的γ，β，A和λ為固定值，分別為：0.5，0.5，1及1，可調整的參數如表1所示。

圖3 框架結構有限元模型Fig.3 Finite element model of frame structure

表1 BRB 初始性能參數Tab.1 BRB initial performance parameters

3.2 兩種計算方法對比分析

對減震體系模型第一階振型方向（Y方向）輸入El Centro 波，并基于結構的響應采用式（1）和（28）分別計算BRB 提供的附加有效阻尼比，對結果進行對比分析。模態阻尼耗能法中的結構固有阻尼累積耗能和消能部件累積耗能均可在SAP2000 中直接提取，減震體系第一周期T1=0.566 s，Td取0.8T1，1.0T1，1.5T1和2.0T1，采用應變能法和模態阻尼耗能法分別計算結構時變附加有效阻尼比，其中應變能法中的阻尼器耗能和減震體系總應變能按照同樣的時間段求和計算，兩者對比結果如圖4所示。

圖4 應變能法和模態阻尼耗能法的計算結果Fig.4 Results of strain energy method and modal damping energy dissipation method

將兩種方法得到的時變附加有效阻尼比變化趨勢進行對比，可見兩種附加有效阻尼比均在2.5 s 左右達到峰值，并具有類似的演變趨勢，但基于模態阻尼耗能法的結果更加細致且幅值略小。當Td取不同值時兩種方法得到的時變附加有效阻尼比平均值和最大值如表2所示。為了排除個別地震動為計算結果帶來的偶然性，對結構輸入3 條天然波和2 條人工波，按Td=1.0T1算得兩種方法的結果如表3所示。可以看出，時間段Td對兩種方法的平均值和應變能法的最大值影響較小，對模態阻尼耗能法的最大值影響相對明顯。應變能法的平均值和最大值均大于模態阻尼耗能法的平均值和最大值。此外，文獻［11］對時變附加有效阻尼比的取值問題進行了討論，建議采用平均值來評價阻尼器的減震效果，本文結果表明平均值是穩定的，驗證了該建議的合理性。

表2 不同方法的附加有效阻尼比對比Tab.2 Comparison of additional damping ratio obtained by different methods

表3 不同地震波下的附加有效阻尼比對比Tab.3 Comparison of additional damping ratio under different seismic waves

綜上，應變能法可被視為一種近似估算方法，而模態阻尼耗能法物理意義明確，各能量表征準確，且對滯回耗能特性更敏感，故將該方法視為附加有效阻尼比的精確算法。此外，應變能法的結果偏大，阻尼器性能將被高估，是偏于不安全的。

3.3 模態阻尼耗能法的Td取值討論

模態阻尼耗能法的本質在于對減震結構消能部件耗能和固有阻尼耗能分別在每個時間段Td內求和并作比，因此時間段Td的合理范圍對求解精度起著至關重要的作用。從滯回耗能的機理來看，Td不能小于結構第一自振周期，但其上限值需要通過減震分析和經驗來確定。以El Centro 波工況為例，取Td范圍為0.5T1～2.0T1計算時變附加有效阻尼比，平均值和最大值如圖5所示。應變能法的最大值偏大且對滯回時段不敏感，而模態阻尼耗能法的最大值與結構響應時變特性密切相關，準確地反映了考慮不同滯回時段長度下阻尼比的變化。隨著時間段Td逐漸增大，兩種方法平均值一直呈穩定狀態，進一步驗證了采用時變附加有效阻尼比平均值評價減震結構性能的合理性。經綜合分析，認為Td的合理取值范圍為1.0T1～1.8T1。

圖5 時間段Td的影響Fig.5 Effect of time step Td

3.4 設計分析

對算例中的有限元模型按照圖2 中的設計流程進行附加有效阻尼比定量設計。實際工程設計中，目標附加有效阻尼比ζa0應根據工程需求而定，本文取5%，層間位移角限值θ0取1/250。由于模態阻尼耗能法的物理意義明確且精度高，采用該方法計算結果的平均值作為耗能部件附加有效阻尼比取值。

根據選擇實際反應譜與目標反應譜接近的3 條天然地震波作為地震激勵。目標反應譜、3 條天然波的反應譜和平均譜如圖6所示，RSN1489，RSN1511 和RSN1528 三條天然波均為1999年中國臺灣集集地震，震級7.62，分別由TCU049，TCU076 和TCU101 站點測得。將3 條天然波峰值加速度（PGA）調幅至400 cm/s2，BRB 的附加有效阻尼比ζa取3 條波計算結果的平均值，各層層間位移角θj取響應時程最大值。

圖6 目標反應譜和選取地震波的反應譜Fig.6 Target response spectrum and response spectrum of selected waves

將設計流程按迭代輪次進行展示和分析。

（1）減震體系的阻尼器初始性能參數見表1，通過式（28）和（29）計算得到的附加有效阻尼比如表4所示，各輪設計層間位移角幅值如圖7（a）所示。

表4 第一輪設計的附加有效阻尼比Tab.4 Additional damping ratio of the first round design

圖7 設計效果Fig.7 Design effect

由第一輪設計結果可知，BRB 提供的附加有效阻尼比為1.4%，與目標附加有效阻尼比5%存在較大差距，且2～4層層間位移角超限。采用保持其他參數不變，加大支撐彈性剛度的方式提高BRB 屈服力，進而提高附加有效阻尼比。結合層間位移角幅值選取調整阻尼器參數的樓層，1～6 層的層間位移角較大，下一輪應對這些樓層的BRB 彈性剛度進行加強，使結構變形更加均勻?？紤]到8 層層間位移角較小，且該層BRB 提供的阻尼比較小，出于經濟性考慮，將8層的阻尼器撤除。各輪設計的BRB 彈性剛度如表5所示，BRB 提供的附加有效阻尼比如表6所示。

表5 各輪設計中BRB 的彈性剛度Tab.5 BRB elastic stiffness of the all rounds design

表6 第二輪設計的附加有效阻尼比Tab.6 Additional damping ratio of the second round design

（2）通過第二輪設計，附加有效阻尼比得到大幅提高，同時各層層間位移角幅值已符合要求，但阻尼比沒達到預期目標，需要進行第三輪設計。

在第二輪設計中，層間位移角已滿足要求，若采用傳統基于位移的設計方法已可完成設計，但此時附加有效阻尼比仍然偏低，阻尼器的減震性能沒有得到充分發揮。而面向阻尼比-位移雙目標的設計方法對結構設計提出了更高的要求，可以進一步調控動力響應和減震性能，使結構體系具有更大安全儲備。雙目標之間是相互協調和促進的關系。

由于7 層阻尼器附加有效阻尼比較小，且層間位移角偏于安全，因此撤除該層阻尼器。考慮到2層層間位移角較大，出現變形不均勻現象，應著重加強該層阻尼器出力。

（3）第三輪BRB 提供的附加有效阻尼比如表7所示?？梢姼郊佑行ё枘岜纫呀涍_到預期附加有效阻尼比，且層間位移角幅值小于層間位移角限值，設計流程結束。

表7 第三輪設計的附加有效阻尼比Tab.7 Additional damping ratio of the third round design

經過優化調整，附加有效阻尼比大幅提高，各層平均附加有效阻尼比如圖7（b）所示，層間位移角顯著減小且沿結構高度方向分布更均勻，提取三輪設計中RSN1486 波下10～20 s 間第2 層層間位移和附加有效阻尼比時程如圖8 和圖9所示，可見設計后的結構層間位移明顯衰減，附加有效阻尼比顯著提高，設計效果明顯。通過算例分析，可見本文提出的雙目標設計方法是合理可行的。

圖8 第2 層層間位移時程Fig.8 Story drift time history of the second story

需要指出的是，本文設計變量為BRB 彈性剛度，也可以通過調整BRB 的屈服位移或數量來調整各樓層BRB 出力，即設計變量不是唯一的，此處不做過多展示。另外，結構層間位移角等性能指標與主體結構的梁柱尺寸、配筋方案和空間布局等因素相關，本節中算例僅為簡化展示方案，工程設計應根據結構實際情況制定阻尼器布置方案，本文附加有效阻尼比取阻尼比時程平均值屬于偏于保守的設計方法，最終的動態附加有效阻尼比最大值已達到1.26%，如有需求也可采用最大值或其他統計值表征附加有效阻尼比，目標附加有效阻尼比和層間位移角限值同樣應根據實際工程需求制定。

4 結論

針對目前減震結構傳統附加阻尼比計算方法的局限性，本文推導了基于Bouc-Wen 模型顯式解的滯回能量解析公式，進而建立了時變阻尼比計算方法，最終提出了面向阻尼比-位移雙目標的減震體系設計方法和流程，結合算例對設計方法的可行性和先進性進行了驗證。主要結論如下：

（1）應變能法是一種阻尼比的估算方法，計算精度較差，計算結果偏大，不利于結構安全，而模態阻尼耗能法物理意義明確，是一種精確計算方法，兩者計算結果在時域上變化趨勢是相同的。

（2）隨著時間段Td增大，兩種方法的平均值均緩慢增大，應變能法最大值下降，模態阻尼耗能法最大值下降過程中伴隨局部上升。當時間段Td取值大于結構第一周期T1時，統計結構耗能更完整且充分，但Td過大則無法充分體現阻尼比時變特性，因此建議Td在1.0T1～1.8T1之間取值。

（3）模態阻尼耗能法的平均值與最大值相比受時間段Td影響更小，穩定性高，建議采用該方法的平均值表征阻尼器的減震效果。

（4）通過增大某樓層阻尼器屈服力或數量的方法可以提高該層阻尼器的附加有效阻尼比，降低層間位移角幅，且可實現量化評估，驗證了本文提出的雙目標設計方法的合理性與可行性。