貝葉斯方法在大跨度斜拉橋模態參數識別中的應用研究

楊朝勇，茅建校，王 浩，張一鳴

（東南大學混凝土與預應力混凝土結構教育部重點實驗室，江蘇南京 211189）

引言

模態參數是開展橋梁振動控制、狀態評估和損傷診斷的重要依據，在橋梁結構健康監測中發揮著關鍵作用［1］。在運營結構的模態參數識別中，由于材料的離散性、模型誤差以及測試噪聲等原因，分析結果不可避免地具有不確定性［2］。大跨度橋梁屬于典型的低頻密集模態結構，相比于一般結構更加難以準確地獲取其模態參數［3］。尤其是沿海地區的大跨度橋梁，時常受到臺風等極端天氣襲擊，其動力性能面臨的不確定因素更加顯著［4］。因此，為了給大跨度橋梁健康監測提供穩定可靠的分析依據，有效評估模態識別結果的不確定性至關重要［5］。

貝葉斯方法是近些年興起的一種不確定性分析技術。該方法認為識別結果的不確定性與模態參數在給定的振動數據和假設模型下的條件概率密度函數（PDF）有關［1］，因此可以根據概率模型中的最大概率值（MPV）與協方差矩陣進行模態參數識別與不確定性量化。目前，在貝葉斯理論框架下已經發展出了多種模態參數識別方法［6-8］。其中，Au［9］提出的快速貝葉斯快速傅里葉變換（FBFFT）法受到了廣泛的關注。該方法簡化了模態參數似然函數的內部結構，避免了目標函數維度過高導致求解困難的問題。此外，FBFFT 法在分離模態［10］和密集模態［11］下均能取得良好的識別結果，能夠適用于各種土木工程結構的動力特性分析［12-13］。

根據目標函數優化求解MPV 是貝葉斯模態參數識別方法的關鍵，確保該過程的穩定性和計算效率至關重要。遺傳算法是一種不依賴目標函數梯度信息的啟發式智能優化算法，能夠很好地適應高維度、多參數的優化問題［14］。應用遺傳算法求解最優模態參數，可有效地提升模態參數識別的穩定性與可靠性［15］。但相比于牛頓迭代法、梯度下降法等傳統優化算法，遺傳算法對計算機算力要求較高［16］。因此，要將遺傳算法與貝葉斯方法結合，仍需針對兩者特點研究相應的加速策略，以滿足大跨度橋梁運營模態分析對計算效率的要求。

鑒于上述問題，本文結合FBFFT 法和遺傳算法發展了一種考慮不確定性的大跨度橋梁模態參數識別方法。該方法在FBFFT 法中引入遺傳算法搜尋最優參數，并基于高信噪比假設［17］建立漸進估計區間，以進一步提升橋梁模態參數識別與不確定性量化的效率與可靠性。本文首先利用一個6 自由度懸臂梁模型驗證上述方法的識別精度與效率；然后以蘇通大橋為例開展大跨度斜拉橋的模態參數識別與不確定性評估，并在此基礎上分析頻帶寬度系數對識別結果的影響以及模態參數PDF 的分布特征。

1 基于貝葉斯-遺傳算法的模態參數識別方法

1.1 FBFFT 法

具有n個通道的一組實測加速度信號可以表示為系統真實響應與預測誤差的和，即：

式中xj=｛x1j，x2j，…，xnj｝表示實測信號；yj=｛y1j，y2j，…，ynj｝表示受模態參數θ影響的實際振動信號，其中θ包含頻率f、阻尼比ζ、模態力功率譜密度Sl、預測誤差功率譜密度Se以及振型向量Φ；ej=｛e1j，e2j，…，enj｝表示預測誤差；j=1，…，N，N為樣本數量。xj的傅里葉變換可表示為：

式中Rk與Gk分別表示Xk的實部與虛部；Δt是采樣時間間隔；Xk實質是對xj的快速傅里葉變換（FFT）進行倍縮放，因此Xk又被稱為縮放FFT（Scaled FFT，SFFT）。

Rk與Gk構成的隨機向量k=2，…，Nq，Nq=int（N/2）+1｝服從零均值多元高斯分布，且各頻率點間相互獨立［6］。因此，θ的似然函數可表示為：

式中Ck為Yk的協方差矩陣，可表示為：

式中 I2n為2n×2n階的單位矩陣；βk=f/fk，fk表示Yk對應的頻率。

根據貝葉斯定理，θ關于Yk的后驗PDF，p（θ|｛Yk｝）與p（｛Yk｝|θ）之間滿足如下關系：

式中p（θ）是關于θ的先驗PDF，一般視為常數。

忽略常數項，上式可進一步用對數似然函數表示為：

模態參數的MPV 可通過求解式（8）的對數似然函數的最小值確定。

1.2 遺傳算法與漸進估計區間

遺傳算法以目標值的適應度作為個體優劣性的評價指標，并按一定概率隨機執行個體的選擇、交叉與變異，從而在不斷迭代更新的種群中搜尋最優參數。該方法具有突出的全局尋優能力與穩定性，能夠很好地處理高維空間參數優化問題。因此，本文將遺傳算法引入FBFFT 法中開展對數似然函數優化，以確保模態參數識別結果的準確性。

參數優化過程的收斂速度對模態參數識別至關重要。遺傳算法雖然具有較好的魯棒性，但相比于梯度下降法、牛頓迭代法等傳統優化算法該方法計算效率較低［18］。因此，為了克服遺傳算法收斂速度上的不足，本文引入高信噪比假設建立漸進估計區間。把遺傳算法參數搜索范圍約束到最優值附近，從而加快模態參數識別效率。

根據文獻［10］，當結構振動信號的信噪比很高時，振型向量Φ可由矩陣A0的最大特征值λ0對應的特征向量漸進估計：

預測誤差與模態力功率譜密度可按下式估計：

式中Nf表示提取出的SFFT 樣本數量。

當對數似然函數L（θ）關于｛Φ，Se，Sl｝最小化后可進一步被簡化為如下形式：

由于環境等因素，橋梁結構振動監測數據中往往混有大量噪聲，難以滿足高信噪比條件。本文雖然利用高信噪比假設約束了遺傳算法的參數搜索空間，但由于優化模型中并未考慮高信噪比假設，最終結果中并不包含任何漸進估計成分。因此，該方法能夠用于大跨度橋梁健康監測數據的分析。

1.3 后驗不確定性

在足夠大的數據量下，后驗PDF 可用一個等價于L（θ）二階導數的高斯PDF 漸進估計［17］。特別地，將L（θ）在處二階泰勒展開有：

由式（13）可知，L（θ）的Hessian 矩陣等于協方差矩陣C的逆矩陣。研究表明［9］，L（θ）在振型向量Φ的方向上導數為零，Hessian 矩陣必然存在對應特征向量是［0 0 0 0ΦT］的零特征值。因此，Hessian矩陣不可逆。

假設｛λ1，λ2，λ3，…，λn+4｝是Hessian 矩陣的特征向量｛v1，v2，v3，…，vn+4｝所對應的特征值。令λ1=0，忽略該零特征值項。根據Hessian 矩陣的實對稱矩陣特性，Hessian 矩陣的逆矩陣，即后驗協方差矩陣可由下式計算：

得到協方差矩陣后，模態參數的不確定性可由對應的變異系數（c.o.v=標準差/MPV）量化。此外，振型的不確定性可用下式表示：

ρ被稱為期望模態置信準則（MAC）［19］，ρ越接近于1，振型的不確定性越低；γ表示協方差矩陣中關于振型向量的n階方陣的特征值（忽略i=1 對應的零特征值項）。

1.4 計算流程

為便于表達，將所使用的方法統稱為貝葉斯-遺傳算法。首先對加速度信號進行SFFT 變換，然后以頻譜峰值為中心按f0（1±0.01κ）的寬度選擇樣本數據。f0表示頻譜峰值對應的頻率，可按功率譜密度（PSD）譜或奇異值（SV）譜峰值確定；κ為頻帶寬度系數。在獲得樣本數據后，便可利用貝葉斯-遺傳算法識別各模態參數并量化其不確定性。主要的計算流程如圖1所示，其中貝葉斯-遺傳算法優化模型的種群個體數為50，交叉與變異概率分別為0.7與0.01。

圖1 計算流程圖Fig.1 Flowchart of calculation

2 數值算例

本節采用6 自由度懸臂梁模型驗證貝葉斯-遺傳算法的識別精度與效率，如圖2所示。該模型所有質點的質量均為1000 t，質點間的豎向剪切剛度為750×103kN/m，且各階模態阻尼比均為0.05。懸臂梁模型前三階模態的自振頻率理論值分別為1.05，3.09 和4.95 Hz，本節對此三階模態進行參數識別。以高斯白噪聲為激勵計算懸臂梁模型的加速度響應，采樣頻率為50 Hz。在每個質點處采集到65536 個加速度數據，并在其中添加均方根為無噪聲模擬數據20%的高斯白噪聲模擬預測誤差。

圖2 6 自由度懸臂梁Fig.2 Cantilever beam with 6-DOF

懸臂梁模型的模態參數識別結果與對應的理論值如表1 與圖3所示。此處還采用頻域分解（FDD）法進行了振型識別，以對比兩種方法的識別精度。由表1 與圖3 可知，FBFFT 法識別的各模態參數與理論值十分接近，僅存在微小的誤差。由FBFFT法識別的振型與理論振型吻合良好，且各階振型的ρ都近似于1，振型不確定性較小。FDD 法識別出的振型同樣具有較高精度，但相比之下，FBFFT 法識別振型的MAC 值比FDD 法識別振型的MAC 值更接近于1，FBFFT 法精度更高。

表1 數值模型參數識別結果Tab.1 Model parameters identified results of numerical model

圖3 懸臂梁振型識別結果對比Fig.3 Comparison of mode shapes identified result

為驗證漸進估計區間對提升模態參數識別效率的有效性，利用不同方法對一階模態對數似然函數進行優化，計算迭代過程如圖4所示。其中大區間搜索遺傳算法不使用漸進估計區間，而是在包含了可能模態參數值的大區間內搜尋最優值。該區間根據經驗確定，本節頻率區間設為［0.8f0，1.2f0］，阻尼比區間設為［0.5%，7.5%］，模態力功率譜密度與預測誤差譜密度區間均設為［0，0.5 m2/（s4·Hz）］。Nelder-Mead 法是一種能夠很好地適應多參數優化問題的局部尋優算法，在適當的初值下具有精度高、計算快的特點。該方法在FBFFT 法中的迭代初值可參見文獻［10］。

由圖4 可知，在漸進估計區間尋優的遺傳算法能夠很快收斂，而Nelder-Mead 法的迭代次數略多于漸進估計區間搜索遺傳算法。相較于漸進估計區間搜索遺傳算法與Nelder-Mead 法，大區間搜索遺傳算法計算速度明顯變慢，需要更多迭代次數。在迭代次數達到100 時，漸進估計區間搜索遺傳算法與Nelder-Mead 法早已收斂，但大區間搜索遺傳算法仍未到達最優值。因此，高信噪比漸進估計區間能夠有效提升模態參數識別效率，并避免遺傳算法陷入局部最優解。需說明的是，此處僅考慮了單個模態下的參數優化，各方法計算耗時均較短。因此，本節沒有進行詳細的計算時長對比。

圖4 不同優化方法迭代過程Fig.4 Iterative process of different optimization methods

3 大跨度斜拉橋模態參數識別

蘇通大橋主跨長度1088 m，是世界首座千米級斜拉橋。該橋建立了全面的健康監測系統，其中主梁加速度傳感器的布置如圖5所示。每個傳感器布置截面均包含左右幅兩個豎向加速度傳感器，采樣頻率為20 Hz。本節采用安裝于主跨的5 對加速度傳感器（ACC-3#～ACC-7#）的監測數據開展蘇通大橋運營模態分析，每個通道的樣本數量為72000。

圖5 蘇通大橋主梁加速度傳感器布置（單位：m）Fig.5 Layout of accelerometer on main beam of Sutong Bridge（Unit：m）

樣本數據的PSD 譜與SV 譜如圖6所示，其中，圖6（a）中不同顏色曲線表示不同通道輸出的加速度數據PSD，圖6（b）中不同顏色曲線表示加速度數據PSD 矩陣的不同階特征值，為節省篇幅，本節僅對該圖中標記的4 階豎彎模態進行識別。取頻帶寬度系數κ=10，蘇通大橋的模態參數識別結果如表2與圖7所示。由對應的結果可知，阻尼比與模態力功率譜密度不確定性較高，而頻率與振型的不確定性相對較低。大跨度橋梁承受的車載、風載等激勵在足夠長的時間段內往往會表現出明顯的非平穩性，無法滿足高斯白噪聲假設［20］。此外，橋梁結構阻尼比在不同的外部環境、荷載條件下存在顯著的變異性，難以準確識別［21］。可能正是上述原因導致了模態力功率譜和阻尼比的不確定性偏大。

圖6 樣本數據功率譜密度與奇異值譜Fig.6 Power spectral density and singular value spectrum

表2 模態參數識別結果Tab.2 Identified modal parameters

圖7 振型識別結果Fig.7 Identified mode shapes

頻率與阻尼比是橋梁結構重要的動力特性，也是模態參數識別中首要考慮的對象。因此，為分析頻帶寬度系數κ對模態參數識別結果的影響，本節計算了不同κ值對應的頻率、阻尼比及其變異系數，如圖8 和9所示。圖中頻率、阻尼比的參考值來源于文獻［4］。由圖8 和9 可知，隨著κ的增大，識別結果與參考值的差異逐漸增大。第四階頻率與第三、四階阻尼比受κ的影響最為明顯，當κ大于12 后，識別值明顯偏離參考值。總體上，c.o.v 隨著κ的增大逐漸減小。但當κ增大到一定程度后，c.o.v 也可能表現出增大的趨勢。上述結果表明，在一定范圍內增大κ值有利于降低模態參數的不確定性，但當κ超過該范圍后識別誤差將逐漸增大，c.o.v 的變化也可能出現異常。

圖8 模態參數MPV 隨頻帶寬度系數的變化趨勢Fig.8 Effect of bandwidth factor on MPV of modal parameters

圖9 模態參數c.o.v 隨頻帶寬度系數的變化趨勢Fig.9 Effect of bandwidth factor on c.o.v of modal parameters

上述現象發生的原因主要包含兩方面［22］：一方面隨著κ的增大，樣本數據量增大，樣本能夠提供更多的模態信息，有利于降低識別結果的不確定性；另一方面隨著κ的增大樣本中可能包含的其他模態信息也越多，模態分布越密集、頻譜響應越微弱該現象就越突出（如第四階模態），進而導致識別結果出現較大的誤差。因此，在選擇κ時應充分考慮頻譜分布情況，并避免選擇過大的κ值。從圖8 和9看，κ在5 到10 之間時，既能確保模態參數的MPV具有較小的誤差，又能讓變異系數不至于過大且分布穩定［19］。

圖10 展示了一階模態各參數后驗PDF 的分布情況，其中實線表示以各參數的MPV 為期望、Hessian 矩陣的逆矩陣為協方差矩陣擬合的高斯PDF，而虛線是式（7）所示的似然函數在各參數方向上的抽樣。由圖中可知，高斯PDF 與模態參數的概率分布吻合良好，表明在不確定性量化時利用高斯PDF代替參數的后驗PDF 計算協方差矩陣是合理可行的［8］。

圖10 模態參數后驗概率密度函數Fig.10 Posterior PDF of modal parameters

4 結論

（1）將FBFFT 法與遺傳算法結合，并利用漸進估計區間約束參數搜索范圍，能夠高效準確地識別大跨度斜拉橋的各階模態參數。

（2）模態參數識別結果中，阻尼比與模態力功率譜密度表現出較大的不確定性，而頻率與振型的不確定性相對較小。

（3）選擇頻帶寬度系數時應適當考慮頻譜分布特征，并將其限制在5 與10 之間以確保識別誤差與不確定性的平衡。

（4）通過似然函數抽樣建立的模態參數后驗PDF 與高斯漸進結果高度吻合，符合模態參數的后驗PDF 可用高斯PDF 代替的假設。