面向橋梁結構健康監測的壓縮感知動力響應信號重構

張笑華，肖興勇，方圣恩

（福州大學土木工程學院，福建福州 350108）

引言

橋梁結構是運輸業的重要交通通道，隨著其服役期的增長，在各種荷載及自然災害作用下，不可避免地出現結構損傷與性能退化，嚴重時甚至產生結構破壞導致災難性事故發生。因此，在這些結構上建立橋梁健康監測系統，進行服役期間的安全監測，為橋梁管理者實時掌握橋梁的健康狀況，具有重要的意義。

橋梁結構健康監測是結構工作期間，在環境激勵下，通過傳感器系統對結構的響應進行實時采集，再利用數據傳輸系統輸送動力響應信號至中央處理器進行存儲和數據處理分析，提取對結構損傷比較敏感的特征信息，進而運用各種損傷診斷技術，評估橋梁結構目前的健康狀況，分析其剩余壽命［1］。由此可見，結構動力響應是結構健康監測的基礎和依據。傳統的結構動力響應信號采集需要遵循Nyquist 采樣定理，即采樣頻率需大于原始信號最大頻次的兩倍以上，以避免信號恢復過程中的損耗。由于監測系統的長時性，按Nyquist 采樣定理采集的數據往往是海量的，從而增加了數據傳輸和存儲的成本，而且海量的數據給結構參數的識別帶來很大的困難。近些年，Donoho 和Candés 提出了壓縮感知（Compressed Sensing）理論［2-3］，數據的采樣可不遵循Nyquist 采樣定理，為信號采集和分析帶來了全新的思路。其核心思想是只要信號具備可壓縮性和稀疏性或者在某個變換域有稀疏性，則可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將該信號投影到一個低維空間上，然后通過求解非凸優化問題用這些少量的投影數據重構出原始信號［4］。壓縮感知理論與傳統的Nyquist 采樣定理相比，優勢在于它可以實現用少量的采樣數據恢復較為準確的原始信號。國內外針對壓縮感知理論開展了大量的研究，應用領域涉及圖像重構［5］、圖像優化［6］、光學成像［7］、數據通信［8］、無線傳感網絡［9］、結構損傷識別［10］等。

土木工程結構的動力響應時程在頻域、小波域和在其他變換域上具有近似稀疏的特性，符合壓縮感知理論對信號的特性要求。壓縮感知理論為解決結構健康監測海量數據問題提供了新的途徑。Mascarenas 等［11］通過傳感器獲得的測量值對數據進行重構，發現實際工程的動力響應在稀疏變換基內的稀疏性較差，當測量值較大時才能實現高精度重構。Ji 等［12］則是通過對LF-21 航空防銹鋁板進行結構損傷識別試驗，表明在無線傳感器網絡中，出現數據丟失也能用壓縮感知的方法來重構響應信號，且能實現損傷的準確識別。Bao 等［13］提出了基于機器學習的壓縮感知數據重構方法，將求解過程化為一個標準的有監督學習任務，并通過數值算例和一座懸索橋的實測無線數據驗證該方法的有效性。O’Connor等［9］將壓縮感知用在無線傳感器中進行長期監測，表明使用壓縮感知能實現功耗和數據傳輸的減少；Jiang 等［14］將超聲層析成像技術與壓縮感知理論相融合，通過對鋼管板的結構損傷監測表明該技術比傳統的超聲層析成像技術更為高效。康杰等［15］提出了基于Polar 插值改進的結構振動信號壓縮采樣正交匹配追蹤恢復算法，解決了離散傅里葉原子的頻率與信號實際頻率不匹配的問題，提高了信號重構的精度。吳賢國等［16］提出了基于傳感器網絡的壓縮感知重構算法，解決了運營隧道健康監測系統中多節點傳感器網絡下高頻采樣帶來的大數據存儲和傳輸問題，當壓縮比為60%以上時，重構信號誤差在20%以下。這些研究成果表明壓縮感知理論可以運用在動力響應信號重構和結構損傷識別上，但這些研究主要集中在重構算法上。而壓縮感知信號重構的精度不僅與重構算法有關，還依賴于稀疏基和觀測矩陣的選擇。

本文引入壓縮感知理論，降低橋梁結構健康監測數據的采集量，針對橋梁環境振動測量信號具有稀疏性差和噪聲干擾大的特點，優化觀測矩陣，增加觀測矩陣和稀疏基的不相關性，改善動力響應信號壓縮感知重構的精度，解決橋梁結構健康實時監測海量數據造成存儲和傳輸成本高的問題。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論的核心思想是只要信號具備可壓縮性和稀疏性或者在某個變換域有稀疏性，則可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將該信號投影到一個低維空間上，然后通過求解非凸優化問題用這些少量的投影數據重構出原始信號。具體的基本理論闡述如下。

一維離散時域信號x∈Rn，根據信號稀疏分解理論，在n×n的標準正交基Ψ=[ψ1，ψ2，…，ψn]下可以表達為：

式中α為信號x在Ψ基下的K稀疏表示，x中非零元素的個數最多為K，且K≤n。稀疏基是應用壓縮感知理論的前提。常用的稀疏基有傅里葉變換基、余弦變換基和小波變換基等。傅里葉變化基構造簡單，稀疏化信號過程復雜度低，因此后續的實例分析中選擇傅里葉變化基。

使用觀測矩陣Φ∈Rm×n（m?n）對原始信號x進行觀測，即將x投影到Φ上，得到觀測信號y∈Rm為：

將式（1）代入式（2）：

式中D∈Rm×n為感知矩陣。式（2）中若知道y和D就可以求解α，再通過式（1）的稀疏反算即可重構原始信號x。由于m?n，式（2）是欠定方程組，沒有確定解，重構原始信號x是一個病態的逆向問題。在壓縮感知理論里，信號x是可壓縮的和稀疏的或者在某個變換域具有稀疏性或近似稀疏性，且觀測矩陣Φ滿足約束等距性條件（Restricted Isometry Property，RIP），則式（2）的求解可以轉化為L1 范數的優化問題［17］：

式中為估計的K稀疏表示。

求解式（4）的算法有基于L1 的正則化算法［18］和貪婪迭代算法［19］。基于L1 的正則化算法的信號重構精度較好，但需要大量的觀測數據，計算耗時長。基于貪婪迭代思想的算法重構復雜度低，對于中小維度的重構問題運算速度快。基于貪婪迭代思想的常用算法有匹配追蹤算法［20］、正交匹配追蹤算法［21］、分段正交匹配追蹤算法［19］等。正交匹配追蹤算法具有收斂速度快、算法簡單的特點，因此，文中的重構優化算法選用正交匹配追蹤算法。

2 觀測矩陣的優化

實現壓縮感知的關鍵要素之一是觀測矩陣Φ需滿足RIP 條件。已有文獻證明RIP 的等價條件是觀測矩陣與稀疏基不相關［22］，定義相關系數：

目前，已有學者通過優化觀測矩陣，盡量提高Φ和Ψ的不相關性，以改善壓縮感知信號重構的精度［23-24］。Cao 等［25］利用代數和組合方法提出了三種確定性結構的觀測矩陣，具有低相關性的優點，性能優于高斯隨機矩陣。彭玉樓等［26］對隨機觀測矩陣進行奇異值分解，通過均值算法修改矩陣的特征值，達到提高重構精度的目的。Xu 等［27］以互相干性最小為目標，基于等角緊框架設計，采用交替極小化方法，優化投影矩陣。王海艷等［28］提出了K-L 變換觀測矩陣優化算法，減小觀測矩陣與稀疏基之間的相關性，提高信號重構的精度。汪博峰等［29］利用循環位移構造一個類似托普利茲結構矩陣，以優化觀測矩陣在低頻段的采樣，達到降低Φ和Ψ的相關性的目的。這種優化觀測矩陣的方法具有簡單易用的優點。但橋梁結構環境激勵下的動力響應信號不可避免地受到噪聲干擾，在變換域里無法完全稀疏，且結構信號在非低頻段仍具有一定能量，若直接用該類似托普利茲結構矩陣優化觀測矩陣，重構誤差較大。因此文中利用移動窗技術，改進了文獻［29］提出的優化觀測矩陣方法。改進的觀測矩陣優化方法適用于土木工程結構非完全稀疏性的動力響應信號壓縮感知重構。

首先構造一個與觀測矩陣Φ維數相同的矩陣U∈Rm×n，U矩陣所有元素均為1。再構造一個i×j的構造矩陣K，其結構如下：

矩陣中a和b是一對互質的參數，能夠保證構造矩陣K中的任意兩列不相關；另外要求j≤i≤m以降低列向量之間的相關性。可令i=j=m，然后用矩陣K替換矩陣U中的前m列元素得到矩陣U1，再將U1與觀測矩陣Φ點乘得到新的觀測矩陣Φ1。跟原始觀測矩陣Φ相比，Φ1矩陣第1 至m列的系數增大，優化了該部分的采樣，同時增加列向量之間的不相關性。這種觀測矩陣優化方法適用于要采樣的特征值主要集中在前半部分的信號，即能量集中在低頻部分，例如一些圖像信號。而橋梁結構動力響應信號在非低頻段仍具有一定能量，直接用該方法優化觀測矩陣再用于原始信號重構，會導致誤差很大。

因此，文中利用移動窗技術改進該觀測矩陣優化方法。將窗長設置為m，將K矩陣按照窗長移動依次替換U矩陣中對應的列，再優化觀測矩陣并用于后續的原始信號重構，每次迭代結束后留下窗對應的重構信號。當然，計算過程中由于使用了移動窗技術，導致計算時間有所增加。

3 基于壓縮感知的動力響應信號重構算法步驟

基于壓縮感知的動力響應信號重構算法步驟總結如下：

步驟1：確定稀疏基Ψ、初始觀測矩陣Φ，以及觀測信號y，令xrec=[]；

步驟2：構造一個矩陣Um×n，所有元素皆為1；

步驟3：確定一對互質的參數a和b，然后構造矩陣K；

步驟4：矩陣K按照窗長移動第i次（i=0，1，2…，round(n/m）+1），替換U矩陣中第1+i×m到m×（i+1）列得到新矩陣U1，將U1與觀測矩陣Φ點乘得到新的觀測矩陣Φ1；

步驟5：將優化后的觀測矩陣代入公式（4），用正交匹配追蹤算法計算公式（4），得到α^；

步驟6：按下式重構原始信號，留用第1+i×m到m×（i+1）時刻信號替換xrec中的第1+i×m到m×（i+1）列

步驟7：重復步驟4，直到迭代次數為round(n/m）+1 次，得到原始信號xrec。

4 實例分析

4.1 吉安大橋簡介及試驗概況

采用吉安大橋的現場環境振動試驗數據驗證基于壓縮感知的橋梁動力響應重構的可行性和有效性。該環境振動測試采集了加速度響應，但文中提出的壓縮感知動力響應重構方法適用于其他類型的動力響應壓縮感知重構，只要該動力響應時程信號具有或者在其他變換域上具有稀疏或者近似稀疏的特性。

吉安大橋位于江西省吉安市，是鋼管混凝土中承式拱橋，如圖1所示。橋全長536 m，跨徑為36 m+138 m+188 m+138 m+36 m，橋面總寬28 m。橋面的豎向振動測試試驗測點一共有176 個，傳感器的布置如圖2所示，橋面兩側各88 個傳感器，分別位于橋吊桿和立柱處的上下游橋面上。傳感器采用中國地震局工程力學研究所生產的941-B 型伺服加速度傳感器。傳感器測得的環境振動加速度信號通過放大器放大并濾波，再由32 通道東方科卡數據采集儀采集，同時將采集到的數據記錄在電腦硬盤上，采樣頻率為200 Hz。該橋的一階豎向頻率為0.623 Hz，一階扭轉頻率為1.039 Hz，二階豎向頻率為1.057 Hz［30］。

圖1 吉安大橋Fig.1 Ji′an Bridge

圖2 豎向加速度傳感器測點布置平面圖（單位：m）Fig.2 Vertical accelerometers placement（Unit：m）

4.2 信號重構及數據分析

以中跨上側測點U81 采集的信號為例，用文中提出的方法進行響應壓縮重構。信號壓縮比定義為：

式中M為壓縮信號的長度，用數據個數來表示，N代表原始信號的長度。

重構算法采用正交匹配追蹤法，稀疏基為傅里葉正交變換基。初始觀測矩陣選取隨機高斯矩陣。定義重構信號與原始信號的相對誤差ξ來衡量重構信號精度：

ξ越小，表明重構的精度越高。

首先a/b分別選取3/2，19/17，51/47 和101/97四組數值，研究互質參數a/b取值不同時對壓縮感知響應重構精度的影響。同時也分別用10%，20%，30%，40%，50%和60%六種壓縮比進行信號壓縮得到觀測信號。對于每組a/b數值，分別用這6種壓縮比的觀測信號進行原始信號重構。信號重構相對誤差如圖3所示。相同壓縮比時，重構相對誤差隨著a/b取值的增大而減小，尤其是在低壓縮比的情況下，這種情況更加明顯，但當a/b值大到一定程度時，繼續增加a/b值，重構誤差減少有限，反而增加計算負擔。隨著壓縮比的不斷增加，四個情況的a/b取值對重構誤差的影響趨于一致，表明在壓縮比較大時，a/b取值對重構誤差的影響不大。原因是低壓縮比下，信號特征值丟失較多，較大的a/b能夠增加觀測矩陣與稀疏基的不相關性，較為明顯地改善原始信號重構的精度，而高壓縮比下，這種改善不明顯。此外，從圖中還可以看出，壓縮比從10%增大至20%，重構誤差會出現顯著降低，這是因為壓縮比為10%時，壓縮后的數據量過少。文獻［26］指出壓縮信號的長度M，稀疏度k，和原始信號長度N三者之間的關系需滿足M≥k×lg（N/k），才能較高精度地重構原始信號。稀疏度取值56，當壓縮比為10%時，觀測信號的數據長度小于k×lg（N/k），而壓縮比為20%時，壓縮后的數據量已經能滿足該條件。

圖3 互質參數a 和b 取值不同時信號重構誤差對比Fig.3 Comparison of reconstruction error in different a/b

以a/b取值51/47 為例，圖4 展示了不同壓縮比下原始信號、未優化觀測矩陣重構信號和優化觀測矩陣重構信號的時程對比。表1 則對比了觀測矩陣優化前后的信號重構相對誤差。從圖4 和表1 可見，當壓縮比在20%以上時，重構信號與原始信號均吻合良好；且在不同信號壓縮比下，優化觀測矩陣重構的信號精度高于初始觀測矩陣重構的信號，這種優勢在低壓縮比情況下更加明顯。

圖4 響應信號時程對比（隨機高斯矩陣）Fig.4 Comparison of responses time history （random Gaussian matrix）

表1 觀測矩陣優化前后的重構誤差Tab.1 Reconstruction errors before and after measurement matrix optimization

為了測試算法穩定性，信號重構計算了100 次，得到隨機高斯矩陣優化前后的信號重構誤差標準差，如表2所示。利用優化觀測矩陣進行壓縮感知信號重構的計算結果更加穩定。

表2 重構誤差標準差對比Tab.2 Comparison of standard deviation of reconstruction errors

以a/b取值51/47，以及壓縮比20%和40%為例，圖5 展示了觀測矩陣優化前后的重構信號以及原始信號的傅里葉譜。從圖中可見，觀測矩陣經過優化后，壓縮比不論是20%還是40%，均能很好地識別到結構的一階豎向頻率0.623 Hz、一階扭轉頻率1.039 Hz 和二階豎向頻率1.057 Hz，跟原始信號的頻譜吻合良好，頻譜出現的其他幾個峰值均能準確對應。相比之下，觀測矩陣未經優化，重構信號的頻譜出現較多峰值的誤判；當壓縮比為20%時，未能識別到一階豎向頻率、一階扭轉頻率和二階豎向頻率；當壓縮比為40%時，識別精度雖有改善，能捕捉到一階扭轉頻率和二階豎向頻率，但一階豎向頻率的識別存在誤差。

圖5 傅里葉譜（隨機高斯矩陣）Fig.5 Fourier spectrum（random Gaussian matrix）

a/b取值51/47，觀測矩陣分別改用伯努利矩陣和稀疏隨機矩陣，驗證優化觀測矩陣方法的適用性。圖6 為使用這兩種觀測矩陣，優化后和未優化進行壓縮感知信號重構的相對誤差對比。從圖中可見，不論觀測矩陣是伯努利矩陣還是稀疏隨機矩陣，觀測矩陣經過優化后，信號重構的精度均高于未優化的重構結果，且壓縮比大于20%后，重構相對誤差在0.1 以下，結論與前面觀測矩陣采用隨機高斯矩陣一致。

圖6 不同觀測矩陣優化前后的重構誤差Fig.6 Reconstruction errors of different measurement matrix

5 結論

本文引入壓縮感知理論，降低橋梁結構健康監測數據的采集量，針對橋梁環境振動測量信號具有稀疏性差和噪聲干擾大的特點，優化觀測矩陣，增加觀測矩陣和稀疏基的不相關性，改善動力響應信號壓縮感知重構的精度，解決橋梁結構健康監測采集海量數據帶來數據傳輸和存儲成本大的問題，用少量的采樣數據恢復較為準確的原始信號。論文的主要工作和結論總結如下：

（1）構造了一個列向量不相關的優化矩陣，采用移動窗技術優化觀測矩陣，并用于后續的壓縮感知信號重構；

（2）采用吉安大橋的現場環境振動試驗數據驗證基于壓縮感知的橋梁動力響應信號重構的可行性和有效性。研究結果表明壓縮感知重構信號不論在時域還是頻域均能與原始信號吻合良好；

（3）利用優化觀測矩陣重構的信號精度高于初始觀測矩陣重構的信號，尤其是在低壓縮比情況下；

（4）觀測矩陣優化方法可以適用于隨機高斯矩陣，伯努利矩陣和稀疏隨機矩陣，具有較大的適用范圍。