一種CMG框架伺服系統的改進自抗擾控制策略

趙文鵬 劉 昆

中山大學航空航天學院，廣州 510006

0 引 言

控制力矩陀螺(CMG-Control Moment Gyro)是航天器姿態控制的一類執行機構，對航天器姿態控制和保持航天器長期穩定運行起到關鍵作用。CMG以其機械結構簡單、輸出力矩大等優點被廣泛應用到航天器上，“天宮一號”和“天宮二號”即選用了CMG作為執行機構[1-2]。

CMG由高速轉子系統和框架伺服系統組成，框架伺服系統的控制精度影響整個CMG系統的輸出力矩精度。CMG框架伺服電機的轉速一般很低，系統中存在的轉矩擾動嚴重影響了其控制精度[3-4]。當框架電機驅動框架低速運轉時, 沿框架軸方向主要會受到3種干擾力矩：摩擦力矩、阻尼力矩、以及高速轉子動不平衡引起的高頻干擾力矩。相關學者對CMG伺服系統的控制算法做出了很多研究。文獻[5]通過建立干擾力矩觀測器抑制了摩擦力矩等干擾力矩的影響，但抑制效果比較有限。文獻[6]和文獻[7]設計了自適應滑模控制器來抑制干擾力矩，在一般轉速下系統工作性能得到了一定的提升，但在低轉速范圍內控制效果并不明顯。文獻[8]通過自抗擾控制(ADRC-Auto Disturbance Rejection Control)有效抑制了系統中干擾力矩的影響，在1rad/s的轉速設定下具有較好的仿真效果，同時提高了系統的穩態精度。傳統的ADRC是非線性的，并且存在較多待整定的參數，在控制器設計上存在較大困難，不便于工程應用[9]。為了減少ADRC的整定參數，簡化控制器設計，高志強提出了線性自抗擾控制器(LADRC-Linear Auto Disturbance Rejection Control)，引入了頻域中帶寬的概念，將控制器的設計參數與控制器帶寬聯系起來，給出了LADRC的參數整定公式，對于實際的工程應用具有重要的意義[10]。

在CMG框架伺服系統的干擾力矩中，由動不平衡引起的高頻干擾力矩的幅值與高速轉子轉速的平方成正比，頻率與高速轉子轉速同頻，是一種大幅值高頻干擾力矩，對CMG框架控制精度帶來了較大影響。相關文獻[11]指出，傳統的擴張狀態觀測器對于常值外界擾動能夠實現漸近跟蹤，對于CMG框架伺服系統中存在的周期性擾動無法完全估計，從而產生轉速波動。

針對以上問題，本文建立了CMG框架伺服系統的數學模型，針對轉速環設計了LADRC控制器，并利用CMG框架伺服系統中存在的由高速轉子動不平衡引起的周期性擾動的先驗信息，改進擴張狀態觀測器結構，適當增加擴張狀態觀測器階數來提高系統跟蹤性能。仿真結果表明，改進的LADRC對于周期性擾動抑制效果顯著，提高了CMG框架伺服系統的低速控制精度。

1 CMG框架伺服系統建模及擾動分析

1.1 CMG框架伺服系統建模

CMG框架電機通常采用永磁同步電機(PMSM)，而永磁同步電機具有非線性、多變量、強耦合的特點，在建立數學模型前，通常做如下假設[12]：

1)轉子永磁磁場在空間的分布與定子電樞繞組中感應電動勢嚴格按正弦規律變化；

2)永磁體材料電導率為0，永磁體內部磁導率與空氣相同；

3)忽略定、轉子鐵芯磁阻，不計磁滯損耗和渦流損耗的影響；

4)定子繞組三相嚴格對稱分布；

5)轉子上無阻尼繞組。

根據以上假設，采用id=0的矢量控制，可以建立兩相旋轉坐標系(dq坐標系)下的PMSM數學模型，如下所示：

電磁轉矩方程：

Te=1.5npψfiq

(1)

運動方程：

(2)

d/q軸電流方程：

(3)

式(1)～(3)中，相關變量含義如表1所示。

表1 PMSM數學模型參數

矢量控制原理如圖1所示，采用了電流內環和轉速外環的雙閉環控制[13]。

圖1 矢量控制原理框圖

1.2 CMG框架伺服系統擾動分析

CMG框架伺服系統的擾動包括了摩擦力矩，阻尼力矩，齒槽效應和磁通畸變引起的脈動力矩以及轉子動不平衡引起的高頻擾動力矩。其中齒槽效應和磁通畸變引起的脈動力矩可通過電機優化設計和磁通補償的方式改善。摩擦力矩造成框架伺服系統產生低速爬行以及極限環振蕩等，可通過分析摩擦產生的機理，建立摩擦力模型進行前饋補償解決[14]。

由于制造工藝等原因，陀螺房內的高速轉子質量分布并不完全均勻，其在高速旋轉時會產生一個偶不平衡力矩，使得高速轉子的旋轉主軸相交于質心，但與其幾何中心不重合，會在如圖2所示沿框架軸xg方向上產生一個力矩分量，從而對框架施加擾動力矩，嚴重影響了CMG框架伺服系統的控制精度[15]。相關學者發現CMG中偶不平衡力矩沿框架軸方向的力矩分量為[16]

T0=-JrΩ2ArsinΩt

(4)

式中,Jr為高速轉子的轉動慣量；Ar為一個常系數；Ω為高速轉子的角速度。

圖2 CMG坐標系

CMG框架電機運行轉速很低，而轉子動不平衡引起的擾動為大幅值高頻擾動，頻率遠超CMG框架伺服系統的帶寬，常規的控制器控制效果不佳。在框架伺服系統運行時，高速轉子穩態運行，轉速基本不變，根據式(4)，動不平衡引起的干擾頻率也基本不變。因此，本文根據轉子動不平衡引起固定頻率擾動的模態信息，對LESO重新進行設計。

2 LADRC原理

傳統的ADRC由跟蹤微分器、擴張狀態觀測器和非線性誤差反饋控制律三部分組成。跟蹤微分器通過安排過渡過程，解決了傳統PID控制器響應速度和超調之間的矛盾。擴張狀態觀測器將系統未建模部分和未知擾動歸結為“總擾動”，替代誤差積分反饋作用，不僅能夠抑制常值干擾，對于一些隨機干擾也能有很好的抑制效果[17]。ADRC并不依賴于被控對象的數學模型，只需要知道被控對象的階數和系統輸入矩陣的大概數值即可。但是因為控制器設計復雜，參數整定無實際物理意義上的指導，所以傳統的ADRC難以應用于工程實際中。由于轉速作為系統最終輸出，大部分擾動都發生在轉速環中，為便于工程應用，只將轉速控制算法改為LADRC，電流環保留原PI控制。

線性跟蹤微分器(LTD)：

(5)

式中,v*為給定值；v1為v*的跟蹤信號；v2為v1的微分信號；r為跟蹤微分器的跟蹤快慢因子，r越大，跟蹤速度越快，但是r過大也會導致系統出現超調。

線性擴張狀態觀測器(LESO)：

(6)

式中，y為輸出值；z1為y的觀測值；e為觀測誤差；z2為擴張擾動的估計值；β1和β2為狀態反饋的增益系數，增益越大，觀測器對輸出和擾動跟蹤能力越強。

線性誤差反饋控制律(LSEF)：

u=k1(v1-z1)-z2/b

(7)

式中，k1為反饋控制系數， LADRC速度控制原理框圖如圖3所示。

圖3 LADRC原理框圖

3 改進LADRC的PMSM速度控制器設計

在PMSM系統中，速度環控制器選用一階的LADRC，根據式(1)～(2)選擇狀態量為[x1,x2]T=[ωr,-(TL+Tf+Dωr)/J]，輸入量u=iq。得到狀態方程為

(8)

根據(6)式得到LESO的矩陣形式

(9)

則根據式(8)～(9)可以得到誤差狀態方程

(10)

(11)

根據式(11)可對系統狀態進行重構，則

(12)

根據重構后的系統設計LESO如下

(13)

根據式(13)可知LESO的特征方程為

(14)

通過帶寬法來整定LESO的增益系數，由式(14)可得整定公式為

(15)

式中，ωo為LESO的帶寬。

4 改進LADRC的穩定性證明

根據式(12)((13)可得到狀態重構后的LESO誤差方程

(16)

為了使觀測誤差趨近于0，矩陣Ae′必須具有Hurwitz性，即保證特征方程|sI-Ae′|的特征根具有負實部，利用觀測器帶寬的概念可選取特征方程為：

(17)

(18)

則特征方程為

(19)

根據式(16)、(18)和(19)可以得到

(20)

(21)

(22)

(23)

現令

(24)

(25)

則式(22)和(23)合寫為

(26)

在式(26)中假設右邊只有第1項，則根據式(25)一定能保證A2的Hurwitz性[18]，即保證觀測器觀測誤差漸近趨近于0。而第二項的h1為擴張狀態不含周期性干擾項x22的微分量，是誤差的有界函數，系統達到穩態時，可認為h1=0，則證得

(27)

5 仿真校驗

本次設計通過Simulink建立了基于LADRC的速度控制的CMG低速框架伺服系統模型，采用國防科技大學研制的磁懸浮控制力矩陀螺作為研究對象，其框架電機的參數如表2所示[19]。

表2 框架電機參數

設計線性跟蹤微分器的快慢因子r=1000，控制力矩陀螺框架電機轉速一般不超過3r/s，則控制器帶寬要大于3Hz，為保留一定的裕度，綜合選取控制器帶寬ωc=150rad/s，得到控制器增益k1=150。根據工程經驗，控制器帶寬ωc與觀測器帶寬ωo的關系一般為ωo=3～5ωc，則選擇LESO帶寬ωo=500rad/s。假定陀螺房內高速轉子保持穩態運行速度為Ω=10000r/min，則根據式(10)，假設動不平衡引起的擾動力矩為T0=sinΩt，則根據整定公式(15)可設計LESO增益系數。

本文通過比較傳統的LADRC速度控制器與所設計的改進的LADRC速度控制器，研究高速轉子動不平衡引起的擾動力矩對于CMG框架低速性能的影響以及系統性能的變化。分別設定轉速給定值為0.1rad/s和1rad/s，圖4～5顯示了傳統的LADRC在穩態時存在周期性變化的穩態誤差和理論分析一致。傳統的LADRC只能對常值擾動漸近收斂到0，無法抑制周期性變化的擾動。而改進的LADRC基本完全抑制了由轉子動不平衡引起的周期性擾動。由圖6可以看出傳統的LADRC估計誤差在上界為0.05rad/s，下界為-0.05rad/s的領域內周期性變化，而改進的LADRC估計誤差在穩態時能夠收斂到0。

圖4 1rad/s給定下轉速階躍響應曲線

圖5 0.1rad/s給定下轉速階躍響應曲線

圖6 轉速階躍響應下穩態誤差曲線

航天器姿態控制系統給定的CMG框架伺服電機的參考速度指令帶寬不高于3Hz，則設定轉速給定值頻率為3Hz，幅值為1rad/s的正弦給定指令。圖7可以看出傳統的LADRC速度周期性波動明顯，由轉子動不平衡引起的擾動力矩使得框架角速度以0.05rad/s幅度波動。相較而言，改進的LADRC下框架角速度幾乎無波動，轉速跟蹤誤差幅值約為0.02rad/s，相位滯后小于0.02rad。干擾抑制效果明顯，轉速控制性能得到改善。

圖7 正弦給定指令下的轉速響應曲線

除了CMG高速轉子動不平衡引起的周期性擾動外，轉換到dq坐標系后，系統一般還受到6次、12次以上的諧波干擾，為驗證所設計控制系統對多源外界干擾的抑制效果，現同時加入CMG高速轉子動不平衡引起的周期性干擾和6次、12次的諧波干擾，并在0.1s時突加1N·m的負載。圖8可以看出在周期性干擾和諧波干擾的1rad/s給定下，改進的LADRC不僅對周期性干擾抑制效果明顯，對于諧波干擾也有一定的抑制效果。在突加1N·m的負載后，改進的LADRC轉速下降約0.025rad/s，即下降2.5%，由于所設計的改進LADRC與傳統LADRC控制器帶寬一致，調節時間約為0.03s，和傳統LADRC相比基本不變。

圖8 多源干擾下1rad/s的轉速階躍響應曲線

仿真結果表明，通過改進的LADRC速度控制解決了傳統LADRC控制器受CMG高速轉子動不平衡產生的周期性擾動力矩而引起的轉速波動，穩態跟蹤誤差顯著降低，系統跟蹤性能得到進一步提升，對于多源外界干擾也有較好的抑制效果。

6 結論

針對傳統LADRC難以抑制CMG轉子動不平衡引起的周期性擾動的問題，將周期性擾動模態信息引入LESO進行狀態重構，從而對這種周期性擾動實現估計與補償。仿真結果表明，經過改進的LADRC基本消除了由CMG轉子動不平衡引起的周期性擾動，同時對多源外界干擾也有較好的抑制性能，從而提高了速度跟蹤精度，使系統低速控制精度進一步提高。