基于泰伯效應測量光柵常量

李冬至,劉忠菊,伍豪佳,梁祿業,李博琛,趙 騫

(1.廣東工業大學 先進制造學院，廣東 揭陽 522000；2.沈陽工業大學 理學院，遼寧 沈陽 110870)

泰伯效應(Talbot effect)由Henry Fox Talbot于1836年首次觀察到[1]. 當平面波入射到周期性衍射光柵時，在遠離光柵平面周期規則的距離處,光柵圖像重復出現，也稱為自成像或無透鏡成像[2-3]. 在光學領域，自成像一直是圖像處理[3-4]、空間濾波器[5]和光學測量[6]的熱點，在多個研究領域中都有應用，例如聲學[7]、電子顯微鏡[8]、等離子體[9]、X射線[10]和玻色-愛因斯坦凝聚[11].

泰伯效應是一種衍射效應，周期規則的距離稱為泰伯長度，重復出現的圖像稱為泰伯正像. 此外，在泰伯長度的1/2處，也會出現泰伯負像，即相移了1/2個周期[12](光柵周期寬度橫向移動了1/2). 隨著探測器位置變化，當所成的像為正像或負像時，圖像最清晰且對比度出現極大值，每2個正像間距或負像間距即為泰伯距離[13]，而圖像最不清晰且對比度處于極小值時，則處于正像與負像兩者中間. 另外，相鄰正像和負像之間也會有自成像現象，在泰伯距離1/4處，自成像大小減半，并間隔1/2個光柵周期出現，對比度也相應降低，在泰伯距離1/8處，圖像的周期和大小再次減半，對比度更低，最終形成地毯狀圖案(Talbot carpet)[14]. 因此，當對所成的像進行對比度分析時，由于存在周期性的特點，測量正像或負像對比度極大值所對應的探測器位置之間的間隔，即可以得到1/2個泰伯距離的長度. 根據衍射理論可知，泰伯距離與光柵常量和光的波長有關. 若已知入射光的波長，通過實驗圖像對比度曲線可測得平均泰伯距離，進而求出光柵常量.

1 實驗原理

根據菲涅耳衍射理論可知，對于具有周期性結構的物體，可給出透過率函數. 以圖1所示一維周期性光柵為例，設其透過率函數為

(1)

其中，n取整數，Cn表示各平面波分量的相對振幅與相位分布，d為光柵常量，x為平行光柵的觀察平面到原點的坐標距離.

(2)

觀察屏上的光場可以表示為

(3)

式(3)是卷積運算形式，通過傅里葉變換并應用卷積定理，得

(4)

其中，

式(4)用到了編碼脈沖信號的傅里葉變換式以及相似性定理，代入式(2)得

(5)

(6)

(7)

因此，泰伯相鄰正像與負像間距(泰伯距離的1/2)為Δs=d2/λ.如果已知波長λ，則可求得光柵常量為

(8)

2 實驗設計與實現

由式(7)可知，泰伯距離與光柵常量之間存在聯系，使用平行光源照射光柵，沿光軸方向移動相機，記錄所成的光柵圖像.分析獲得的圖像，得出泰伯距離與光柵常量之間的具體數值關系，更換不同線數光柵進行測量，計算出平均值，驗證實驗的可靠性.

本實驗光源要求為單色平行光源，即單色平面波，若以單色球面波照射周期性結構的物體時，泰伯距離Δz滿足

(9)

其中，R為球面波在泰伯像處的半徑，只有R?Δz(單色平面波)時，泰伯距離才為等間距，計算得到的平均泰伯距離才有意義.此外，非相干光源照明不會影響實驗，因為信號來源于衍射光線干涉的結果，故本實驗可在普通照明環境下進行.

如圖2所示，氦氖激光器(λ=632.8 nm)發出的激光經擴束鏡后變為平行光，再經過濾光片去除雜散光的影響，將其照射到光柵，在沿光柵向后的方向不斷移動探測相機，探測相機就會接收到周期性變化的圖像，再利用LabVIEW軟件在計算機屏幕上進行即時顯示，并對接收到的圖像中心400×400像素點區域實時計算光強二階中心矩，將其作為對比度(當采集像素點數足夠多，像素光強的二階中心矩等價于方差[16])來表示所統計圖像區域內的同質性[17](像素視覺的顯著性或平滑性)：

(10)

其中，M2為二階矩，N為輸入圖像像素個數，xi為第i個像素點的光強值，μ為總體像素光強的均值.以此統計數值來表征圖像對比度，從而形成對比度-探測相機位置曲線.

實驗中采用LabVIEW軟件的逐點尋峰函數實時記錄每個對比度峰對應該處探測相機移動的位置，每2個峰之間的距離就是泰伯正負像間距. 當探測相機移動距離逐漸增大時，接收到的信號強度受周圍雜散光的影響增大，從而會導致圖像信噪比降低. 因此，根據絲杠導軌的長度只選取從測量開始的幾個峰值的間距，再取平均值作為泰伯正負像間距，以此確定對比度隨探測器移動變化曲線的峰值，分析每個峰之間的距離并求出正負像的平均間隔Δs，代入式(8)，得到光柵常量.

圖2 實驗原理光路示意圖

圖像獲取、控制探測相機移動、計算二階矩、自動尋峰和結果計算均由LaVIEW軟件編寫程序完成，全程自動化采集處理，從而去除了人為因素的干擾.

為實現相機沿光軸方向移動，利用步進電機來控制探測相機移動. 采用的步進電機上的絲杠螺距為4 mm，在非細分的情況下，1個脈沖對應轉動1.8°，驅動器采用4細分，由于每個脈沖對應行進距離為0.005 mm，故20個脈沖對應的行進距離為0.1 mm，為實時分析圖像位置提供了探測相機移動距離的數據參考.

標識為10線的待測光柵，理論上的光柵常量d=0.1 mm，但實驗得到的光柵常量測量值與標識值存在較大偏差，這可能是低線數光柵的生產精度不高和使用過程中的損耗造成的. 利用實驗室現有的機器視覺綜合測量系統測量此光柵，具體步驟為：

1)將標準板置于機器視覺綜合測量系統中，標準板上2個相鄰點間的距離為0.1 mm (標準距離).

2)對標準板圖像進行拍攝，計算0.1 mm所對應的像素點個數，從而得到單個像素點所對應的長度約為0.015 82 mm.

3)將待測光柵置于儀器中，拍攝圖像，并選取多個光柵線對進行計算(選取拍攝清晰的連續48個光柵線對)，得出對應的像素點個數為299.

因此，該10線光柵的d≈0.098 5 mm，與標識值確有偏差.

3 數據測量與分析

3.1 實驗測量10線光柵的光柵常量

圖3所示為LabVIEW軟件操作界面，左側為實驗實時圖像及橫向光強分布圖，右側為400×400像素中心矩所得到的對比度-探測相機位置曲線，可以觀察到曲線除了5個主峰外，在1個泰伯距離內還存在一些很有規律的次峰，這些次峰是由衍射和干涉形成的周期子圖像造成的. 通過確定對比度主峰的位置，可以確定泰伯距離，由于測量精度等原因，這些子圖像成像時的對比度峰顯現效果較差，但對實驗的最終結果沒有影響.

通過以上方法得到的測量結果如表1所示. 根據表1中的數據求得平均相鄰峰值為15.326 mm，代入式(8)，計算可得光柵常量d1=(0.098 4±0.000 2) mm. 利用機器視覺系統測量得到該光柵的光柵常量為0.098 5 mm. 經比較，2種不同方法得到的結果非常接近,證明了該實驗方法的有效性.

表1 10線光柵的測量結果

3.2 實驗測量25線光柵的光柵常量

為進一步驗證實驗方法的可靠性，對標識為25線光柵的光柵常量進行測量，測量結果如表2所示. 根據表2中的數據求得平均相鄰峰值為2.531 mm，代入式(8)，計算可得光柵常量d2=(0.040 0±0.000 2) mm，得到的結果與利用機器視覺系統測量得到的光柵常量(0.039 9 mm)接近，進一步證明了該實驗方法的有效性.

表2 25線光柵的測量結果

4 結 論

基于泰伯效應測量光柵常量的方法和裝置，可實現實時監控和自動化采集測量，裝置結構簡單、測量結果誤差小、準確度高，且與機器視覺系統的測量結果接近，證明本文實驗方法的有效性. 該實驗裝置既可用于物理光學實驗教學，又可用于對光柵或其他周期性物體的質量檢測. 另外，本實驗還能夠幫助學生掌握自動化測量的實驗思路和方法，并加強學生對泰伯效應實驗過程的理解.