旋轉水桶與等勢面*

盧榮德 朱棟培

(中國科學技術大學物理學院 安徽 合肥 230026)

劉 斌

(中國科學技術大學地球和空間科學學院 安徽 合肥 230026)

1 牛頓水桶實驗

經典物理的開山之作《自然哲學之數學原理》發表于1687年.該書中牛頓第一個講到的物理實驗是水桶實驗[1].如圖1所示,牛頓采用一根長的軟吊繩提一桶水，把吊繩擰成麻花狀.若你握住吊繩，不讓麻花狀的繩子松開，水桶及其中水是相對靜止的，水面是平的.突然放開手，麻花開始放松，吊繩旋轉，水桶也隨著吊繩旋轉.最初，桶中的水并不轉動，只有桶在旋轉，桶與桶中的水有相對轉動.慢慢地水被桶帶動，也開始轉動.最后，水與桶一樣轉動.這時，水和桶之間又是相對靜止的，不轉動的.但水面卻呈旋轉曲面凹狀即中心低、桶邊高.牛頓爵士特別說他親自做過該實驗.

圖1 牛頓水桶變加速旋轉的非慣性參照系

牛頓水桶實驗的關鍵是：有兩種“桶及桶中的水是相對靜止”的狀態.最初(第一狀態)，繩被放松之前，“桶及桶中的水是相對靜止的，水面是平的”；最后(第二狀態)，繩被放松一段時間之后，“水和桶之間又是相對靜止的”， 而水面卻是旋轉曲面凹狀.兩種狀態中，水和桶之間都是相對靜止的，但旋轉水面卻不同：前者平、后者凹.下面對該實驗用旋轉拋物面、旋轉等勢面進行物理的定量分析與說明.

2 牛頓水桶的物理建模

(1)牛頓水桶實驗可視為切線力等于零的平衡運動，所以,牛頓水桶可以當作剛體.現任取旋轉水面的一個截面，試用旋轉拋物面來表征旋轉水面[2].

在與桶共轉參考系內任一個水滴受兩個力：重力與慣性離心力，方向如圖2所示.

圖2 旋轉水桶的示意圖

設水面方程為

z=z(r)

由圖2可得

則微元

然后積分

即

(1)

式中z0為中心點水面高度.由于式(1)為拋物線方程，即該水面可表征為旋轉拋物面.

(2)下面試說明該拋物面為旋轉等勢面.

如圖2所示在任一個高度為z處的水滴，重力勢能為mgz，其離心勢能為

則總的勢能為

(2)

將式(1)代入式(2)得U=mgz0，即無論何位置，總勢能都相等即該水面為旋轉等勢面.

(3)假設一個封閉的圓筒中一定體積V水以一定角速度沿著軸向旋轉，眾所周知，當角速度較低時水面是一個拋物面，但當旋轉角速度很高時，水面的方程式是什么？

取如圖3所示該圓筒中旋轉水面任意截面，圓筒內徑為R,高為H，旋轉水面與底部的交點為R1，與頂部交點為R2，旋轉液體的體積為V.該問題相關計算可按公式(1)來模擬.

圖3 高速旋轉圓筒截面的示意圖

可得方程

所以

(3)

z(R1)=0

即

(4)

則

(5)

3 牛頓水桶的應用——旋轉曲面下的物理測試

3.1 旋轉圓桶物理測試實驗

旋轉圓桶其表面形狀為一個旋轉拋物面，可利用該模型測量重力加速度；同時旋轉圓桶產生旋轉拋物面也是一個很好的光學元件，如美國的物理學家烏德創造了液體鏡面——在一個大容器里旋轉水銀可得到一個理想的拋物面能成為很好的反射光線的反射鏡[3].

(1)旋轉圓桶測試重力加速度

如圖4所示的實驗系統中一個盛有液體、內徑為R的圓柱體容器繞該圓柱體的對稱軸以角速度ω勻速穩定轉動，液體的表面形成旋轉拋物面[4].

圖4 用旋轉圓桶測試重力加速度實驗示意圖

設液體未旋轉時液面高度為h，則其液體的體積為

V=πR2h

(6)

因液體旋轉前后體積保持不變，旋轉時液體體積可表示為

(7)

聯立式(6)、(7)得

(8)

聯立式(1)、(8)可分析：

測量旋轉水桶液面最高與最低處的高度差，可計算重力加速度g.

(9)

其中D為圓柱體直徑，n為液體的旋轉速度,單位為r·min-1.

也可用斜率法測試重力加速度.

(10)

給出θ計算方法即可求出重力加速度：設入射點經液面反射后在水平透明屏幕上的反射光點為Q，則∠QPS=2θ.通過透明屏幕至圓筒底部的距離H、液面靜止時高度h及兩光點QS間距離d可得

(11)

(2)旋轉圓桶液面的拋物面焦距與轉速的關系

旋轉圓桶液面形成的彈性拋物面可看作一個凹面鏡，符合光學成像系統的規律[5].若光線平行于曲面對稱軸入射，反射光將全部會聚于拋物面的焦點上，其焦距為

(12)

根據式(12)也可檢測重力加速度.

3.2 旋轉曲面下的“金鴨浮舟”

如圖6所示陜西省文物保護單位寧陜縣城隍廟是在乾隆年間修建于河心沙洲上的古建筑，200多年來，歷經47次洪水襲擊安然無恙，而附近比它地勢高的城墻、房屋、橋梁等卻多次被沖毀.該特異現象被民間傳說為有“金鴨子”在地底下托住城隍廟.經過實地觀察、精確測繪、制作城隍廟建筑群及河道沙舟模型如圖7所示，分析可知：洪水沖不毀城隍廟，是激流經過彎道時受地球引力產生水桶效應形成旋轉等勢面導致的.如圖6所示寧陜縣山高溝深，暴發的山洪奔瀉在深溝中就產生了上述牛頓水桶效應，形成的水面猶如一個個動態的旋轉曲面，無論何位置，總勢能相等，故水面或浪頭是一系列旋轉等勢面.通過現場勘測、調查走訪與測繪、查閱水文資料，繪制出河道地形圖，可探究洪水沖不毀城隍廟的物理機理.通過平面彎道環流泄水特性創造出定量分水方法：在分水的頂端，必須承受巨大的平動洪水沖擊且產生旋轉洪水，壘成前端呈魚嘴狀的流線形，旋轉洪水受地球引力導致水桶效應形成旋轉等勢面如上述式(2)，此自然工程有效控制洪流.

圖6 “金鴨浮舟”的地理圖

如圖7所示在山洪沖擊下的寧陜城隍廟憑借犀牛背為“龍頭”的生根石群——距城隍廟船頭(北端)64.8 m處有高出水面1.46 m、長7 m、前端最寬處為4.5 m的巨石，從西側看酷似一頭四肢沒入水中的犀牛身軀，與巨石相鄰的南側數十米范圍內，有10多個巨石組成的巨石群[7]；其共同特點是露出沙洲的部分不很大而埋入沙中的部分非常巨大，這些巨石經歷多次大水，位置從未挪動過，像生了根一樣，稱之為生根石群.生根石群相當于我國古代水利杰作都江堰的“魚嘴分水堤”可分洪導流[8]，將旋轉水面切割為拋物形的兩個旋轉曲面，從而為保護城隍廟廟基起到了關鍵作用.

(a)

(b)圖7 旋轉等勢面下的模型圖

“金鴨浮舟”現象是激流經過彎道時旋轉水面仍為立體拋物的旋轉等勢面.寧陜縣城隍廟的選址是物理學、地貌學、水利學、建筑學知識融會貫通而成的趨利避害的典范，對現代近水及河心建筑的選址具有重要參考價值，“金鴨浮舟”是近水建筑的杰作.

推而廣之，地球上江湖河海中旋轉水流由于受到地球引力場的作用，可采用旋轉等勢面的物理模型進行分析.

4 結束語

基于牛頓水桶效應推導了旋轉桶中自旋向上旋轉的等勢面.牛頓水桶實驗證實了我們的預測，并且在實際應用中我們觀察到了奇異之處.一組比較實驗證實了牛頓水桶效應的存在，并提出了在自旋向上旋轉等勢面下一系列物理測試實驗.實驗還顯示出有效的旋轉拋物線和旋轉上升等勢面的特性.利用該特性開發了一種測試旋轉圓筒中重力加速度、旋轉鼓的液面的拋物線焦距、旋轉圓筒測試液體粘度系數的實現方法，這種實現方式很容易解釋自旋向上旋轉等勢面下的“金鴨浮舟”.

我們的工作有以下局限性：我們僅定性和半定量地討論了“金鴨浮舟”，而沒有計算域間的確切相互作用，而且我們也無法確定有效控制洪流的自然工程.在將來的工作中，我們將可能會充分利用自然彎流來排放水和沉積物.擬議的旋轉等勢面提供了更多可能性，以可控的方式克服了與現代建筑靠近水和河流中心位置相關的大規模挑戰.然而對于流量和沉積物傳輸、不同通道的幾何形狀以及各種流動條件的基準測試等自旋向上旋轉等勢面仍然需要進行嚴格而全面地驗證.這些將認為是未來的研究領域.