構建解題模型落實化學核心素養
——以水溶液中離子平衡的數學函數模型為例

河北 馬俊斌

(作者單位：唐山市第二中學)

“證據推理與模型認知”是化學學科核心素養的重要組成部分，中學化學學科的認知模型從內容和形式上可分為結構模型、數學模型、概念模型、過程模型、復雜模型等。在真實情境中建構模型、運用模型是落實“證據推理與模型認知”素養的最基本途徑。模型與建模是科學發展的關鍵要素，也是科學學習中必不可少的認知能力。

解析法又稱為分析法，它是應用解析式去求解數學模型的方法。數學中用解析式表示函數或任意數學對象的方法叫解析法。

化學中的很多認知模型都離不開解析思想，尤其是平衡關系式中的一些數量關系，科學的推理分析，結合用解析的思想、構建數學模型可以巧妙地化解其中抽象的認知難點，進一步抽絲剝繭，在解題中突破各種疑難問題，筆者從幾個經典問題進行模型構建，并結合熱點高考問題展開論述，不當之處，還望指正。

一、弱電解質溶液中的相關計算

【模型構建】

1.對數圖像模型

以弱電解質CH3COOH的電離平衡為例，已知Ka(CH3COOH)=1.75×10-5≈1.0×10-4.75，結合其電離平衡常數表達式：

對其進行對數運算可得

將其抽象為一次函數，可得斜率為1、縱截距為4.75的直線，如圖1所示：

圖1

將其略作數學變化可得：

將其抽象為一次函數可得斜率為-1，截距為4.75的直線，如圖2所示：

圖2

若簡化為任意一元弱酸HX，均可得其一次函數解析關系及圖像如圖3及圖4所示，且其截距均為其pK的數值{pK=-lg[Ka(HX)]}。

圖3

圖4

同理，對任意二元弱酸H2X進行解析可得：

圖5

圖6

對于三元弱酸，讀者可依據以上過程，推導其過程及圖像。

通過對一元、二元弱酸圖像的解析，可構建如下解析模型：弱電解質電離平衡常數的pK值即對數圖像中pH軸上的截距，且二元弱酸滿足pKa1

2.物質的量分數模型

同樣以弱電解質CH3COOH的電離平衡為例，已知Ka(CH3COOH)=1.75×10-5≈1.0×10-4.75，現構建如下滴定模型：向10 mL 0.1 mol·L-1的CH3COOH溶液中逐滴滴加等濃度的NaOH溶液，溶液中CH3COOH及CH3COO-的物質的量分數(δ)與pH的相關關系如圖7所示：

圖7

若簡化為任意一元弱酸HX，均可得如圖8所示的相似圖像，且當δ(HX)=δ(X-)時，pH=pKa。

圖8

同理，對任意二元弱酸H2X進行解析，可知隨著NaOH的加入，均有如下變化關系：

所以隨著pH的增大，δ(H2X)逐漸減小，δ(HX-)先增大后減小，然后δ(X2-)開始逐漸增大，當δ(HX-)達到最大值時，即峰頂值，溶液成分恰好為NaHX，當δ(H2X)=δ(HX-)時，pH=pKa1，當δ(HX-)=δ(X2-)時，pH=pKa2，如圖9所示：曲線①為H2X隨pH的變化關系、②為HX-隨pH的變化關系、③為X2-隨pH的變化關系，且a點處δ(H2X)=δ(HX-)、pH=pKa1，b點處δ(HX-)=δ(X2-)、pH=pKa2。

圖9

即可得如下結論：

①pHc(HX-)>c(X2-)

④pH≥pKa2時，c(X2-)≥c(HX-)

同理可得三元弱酸模型，不再進行推導。

【模型運用】

【例1】(2021·遼寧省學業水平選擇性考試·15) 用0.100 0 mol·L-1鹽酸滴定20.00 mL Na2A溶液，溶液中H2A、HA-、A2-的分布分數(δ)隨pH變化曲線及滴定曲線如圖10。

圖10

下列說法正確的是

( )

A.H2A的Ka1為10-10.25

B.c點：c(HA-)>c(A2-)>c(H2A)

C.第一次突變，可選酚酞作指示劑

D.c(Na2A)=0.200 0 mol·L-1

【參考答案】C

【解析】用鹽酸滴定Na2A溶液，隨著HCl溶液的滴加，有如下變化：

且所給圖像將分布分數(δ)隨pH變化曲線與滴定曲線融合，在此，可以將曲線拆分出如圖11所示的熟悉的物質的量分數圖像：

圖11

結合圖像解析模型，可判斷Ka1=c(H+)=10-6.38，A項錯誤；c點處c(HA-)>c(H2A)>c(A2-)，B項錯誤；由圖像可知，第一次突變在b點，pH為8.32，溶液呈堿性，可選酚酞作指示劑，C項正確；當鹽酸加入40.00 mL，全部生成H2A，所以c(Na2A)=0.100 0 mol·L-1，D項錯誤。

【點評】熟練掌握物質的量分數圖像中的基本解析模型，將所給圖像合理解析變形，可有效解決此題的A、B兩項；再結合滴定的基本知識，可高效解題。

【例2】(2017·全國卷Ⅰ·13)常溫下將NaOH溶液滴加到己二酸(H2X)溶液中，混合溶液的pH與離子濃度變化的關系如圖12所示。下列敘述錯誤的是

圖12

( )

A.Ka2(H2X)的數量級為10-6

C.NaHX溶液中c(H+)>c(OH-)

D.當混合溶液呈中性時，c(Na+)>c(HX-)>c(X2-)>c(OH-)=c(H+)

【參考答案】D

【解析】己二酸H2X為二元弱酸，對圖像進行解析(如圖13)。

圖13

圖14

【點評】熟練掌握二元對數圖像中的基本解析模型，可迅速區分曲線并判斷K值，提升解題速度，另外物質的量分數圖像的解析模型輔助更加強有力地解決了此題中的難點。

二、沉淀溶解平衡中的相關計算

【模型構建】

對其進行對數運算可得lg[Ksp(AgCl)]=lgc(Ag+)+lgc(Cl-)=-9.75

化簡得-lgc(Ag+)+[-lgc(Cl-)]=9.75

將其抽象為一次函數可得斜率為-1、截距為9.75的直線，如圖15及圖16所示：

圖15

圖16

若簡化為任意一元沉淀MA，有

Ksp(MA)=c(M+)·c(A-)，

對其進行對數運算可得：

-lgc(M+)+[-lgc(A-)]=pKsp

將其解析為一次函數可得斜率為-1、截距與pKsp數值相等的直線，如圖17及圖18所示：

圖17

圖18

且由于濃度隨坐標軸的變化，在直線下方，一定有沉淀析出，在直線上方，則為澄清溶液。除此之外，物質的Ksp越小，對應圖像的截距越大。

同理，多元沉淀可自行推導。

【模型運用】

圖19

( )

A.曲線①代表BaCO3的沉淀溶解曲線

B.該溫度下BaSO4的Ksp(BaSO4)值為1.0×10-10

C.加適量BaCl2固體可使溶液由a點變到b點

【參考答案】B

圖20

【點評】熟練掌握沉淀溶解平衡對數圖像的解析模型，可迅速區分曲線并判斷K值，提升解題速度，為解決后續選項奠定基礎。

【例4】(2021·全國乙卷·13)HA是一元弱酸，難溶鹽MA的飽和溶液中c(M+)隨c(H+)而變化，M+不發生水解。實驗發現，298 K時c2(M+)—c(H+)為線性關系，如圖21中實線所示。

圖21

下列敘述錯誤的是

( )

A.溶液pH=4時，c(M+)<3.0×10-4mol·L-1

B.MA的溶度積Ksp(MA)=5.0×10-8

C.溶液pH=7時，c(M+)+c(H+)=c(A-)+c(OH-)

D.HA的電離常數Ka(HA)≈2.0×10-4

【參考答案】C

圖22

【點評】此題難度很大，科學的過程分析是解決本題的關鍵，而這也更加印證了證據推理與模型認知之間的統一關系，科學的推理分析才能為進一步的模型解析構建基礎和平臺。在科學的過程分析之后，解析模型的構建同時也需要有扎實的必備知識及學科能力為支撐，得出解析模型之后，幾個選項便迎刃而解。

科學的模型構建可以使抽象的事物具體化，復雜的事物簡單化。構建模型的過程本身就是完善證據推理，通過模型構建、模型運用、解決問題，形成有序的思維模型，也正是落實核心素養的過程。數學中的一些基本思維、基本模型，都是解決問題的有效方法，尤其是化學反應原理中的運算模型，合理的利用解析法進行學科融合，構建有效的認知模型，不僅在解題中事半功倍，更加可以加深對學科知識的認識理解。落實核心素養，不僅要求師生對化學學科知識有科學合理的認知，更要求對數學模型不斷學習，以促進化學認知模型的認知與構建，更好的落實化學核心素養。