深度學習的數(shù)學教學實踐初探
——以互動白板在教學中的實踐為例

劉 燕 郭海燕

(福建省福州華僑中學 350001)

深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并把它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯(lián)系并遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習.相對應的(也是傳統(tǒng)課堂教學流行方式)淺層學習的認知水平停留在識記和理解兩個層面上，學習者被動地接受學習內容，對書本知識和教師講授的內容進行簡單的記憶和復制，但是對其中內容卻不求甚解，這種學習使學生在課后不久就忘記了所學知識.所以為了強調學生成績的提高，勢必加強訓練，增加考試，家長還覺得不夠，再校外參加課外培訓……，所以才會呼喚減輕學生過重的作業(yè)負擔和校外培訓負擔，所以“深度學習”理念與教學方式顯得尤其必要.“深度學習”是教學中的學生學習，體現(xiàn)在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程.“深度學習”必須滿足以下五大要點：(1)積極投入，(2)基于理解的學習過程，(3)學習活動和認知能力處于較高認知水平層次，(4)在整體性學習的背景下，逐漸建立自己的知識體系，(5)具有創(chuàng)造性和批判性思維，能夠解決情境下問題.

常常碰到這樣的一個問題，學生課上聽的時候會了，課后做的時候又不會了，同仁也常抱怨，現(xiàn)在學生的能力太弱了，剛講過的變個條件又不會了，問題出在哪兒呢？筆者經過長時間的調研和反思，發(fā)現(xiàn)教師普遍注重教學生怎么做而輕視教學生怎么想，所以，學生的“會”就停留在對解題步驟的理解，至于怎么想到這樣做，卻不了了之，所以效果自然就是聽一題，會一題，甚至對原題也是一知半解的，更不能說遷移了.我們平日的教學當中，認真思考解決好這個問題，其實已經融入了深度學習的理念，下面筆者就一道綜合應用型的習題，就互動白板技術的支持融合中解決情境下問題，深度學習的教學案例，與大家分享探討.

例1 在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線y=ax2-2ax+a-2(a>0)，分別過點M(t,0)和點N(t+2,0)作x軸的垂線,交拋物線于點A和點B.記拋物線在A，B之間的部分圖像為G(包括A，B兩點).

(1)求拋物線的頂點坐標；

(2)記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為m.

①當a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求m的值；

②若存在實數(shù)t，使得m=2，直接寫出a的取值范圍.

1 明確解題目標

解題從學法角度入手、知識溯源來分析，應該分三步：①要明確解題目標是什么；②根據(jù)目標追溯與之相關的知識源，結合知識源的主要特征，選擇適合的知識源求解；③解決情境下問題與建立自己的知識體系.

以上面的三個步驟作為操作模式，逐步引導學生學會“怎樣想”，呈現(xiàn)思路的形成過程和必然性，引導學生掌握基本的分析方法，才能夠讓學生自悟并有效遷移.下面，筆者通過這個案例說明習題教學如何從教“怎樣做”轉向教“怎樣想”.

2 追溯選擇與問題相關的知識源求解

設計成下列驅動問題：

問題1：問題(1)求拋物線的頂點坐標，已學過的有關頂點坐標的知識源有哪些？

主要有二次函數(shù)解析式頂點式(知識源1)、頂點公式(知識源2).

問題2：此問應選哪個知識源求頂點坐標？

觀察式子結構是字母系數(shù)(含參)解析式，然而發(fā)現(xiàn)配方成頂點式恰好計算量少于用頂點公式，所以選擇知識源1.

問題3：二次函數(shù)圖像如何確定？主干題中拋物線確定了嗎？請用白板畫圖理解.

a值與頂點確定則二次函數(shù)圖像確定，其中a值確定帶來開口方向與開口寬窄確定.主干題中拋物線只確定頂點與開口向上，開口寬窄不確定，所以是如圖1的拋物線系列.

圖1

問題4：如何理解“圖形G”？

二次函數(shù)動態(tài)問題的處理策略：數(shù)形結合，從直觀圖像開始認識性態(tài)結構，把結構研究作為一種思維的模式，最后超越直觀.圖形G是水平寬為2的平行垂線截拋物線得的一段，隨著t變化，圖形位置與大小變化(如圖2).

圖2

【設計說明】這兩問目的在于由形感知，化難為易，培養(yǎng)學生掌握處理二次函數(shù)問題的策略.

問題5：主干題中“圖形G上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差m” 已學過的確定m值的有關知識源有哪些？

主要有平面直角坐標系中點坐標與線段長短轉化(知識源1)、“最高點與最低點落差”與“最大值與最小值的差”的轉化(知識源2)、結合二次函數(shù)圖像形狀與性質(數(shù)形結合求解)(知識源3)、構造待求量與某變量的函數(shù)關系，根據(jù)函數(shù)性質求最值(知識源4).

問題6：應選哪個知識源?

如圖3，結合二次函數(shù)圖像形狀與性質(數(shù)形結合求解)(知識源2)與(知識源3).

問題7：問題(2)①當a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求m的值.如何用軸對稱圖形解決？

a=2時，圖像形狀固定，問題僅僅與位置有關，結合圖像(如圖2)，拋物線對稱軸僅有一條，發(fā)現(xiàn)只有一個位置，滿足“部分圖像”成軸對稱，所以只能與拋物線共對稱軸，借助端點對稱性求解，點A與點B縱坐標相同為0，與最低點縱坐標-2的差均是2，所以m=2.

【設計說明】目的在于培養(yǎng)學生處理軸對稱問題的調控能力.

問題8：問題(2)②若存在實數(shù)t，使得m=2，怎樣求a的取值范圍？

求變量的取值范圍常有兩種處理策略，一是把要求的變量用另一個變量表示成函數(shù)，利用代數(shù)計算求取值范圍，二是配合圖像與性質，數(shù)形結合確定取值范圍.不論哪種策略都得分類討論.本題若用代數(shù)計算，計算量很大(學生嘗試過，計算超越現(xiàn)有的知識范疇)，所以選擇用后者.

問題9：既然用圖形的性質解決此問題，同時，雙變量t與a都影響著m值，那么能否模仿二次函數(shù)性質探究方法，分別找出a固定或者t固定時m隨另一變量的變化規(guī)律？

a固定時，回歸課本(人教九上P29頁)，從圖像看離對稱軸越遠越陡峭，從函數(shù)值看也是越變越快，m取最小值位置在圖形G與拋物線共對稱軸時(如圖2)；

t固定時，回歸課本(人教九上P31頁)，在a>0的前提下，從圖像看a越大開口越窄，橫向等寬時高低差越大，從函數(shù)值看橫坐標等距函數(shù)值差距也越大，也就是說a增大m的最小值增大，可能使其超過2(如圖3).也就是說由(2)①得a=2時，m≥2；若a>2，則m>2，即不存在m=2了，所以須得a≤2，才符合題意；綜上問題得解0

圖3

【設計說明】從知識溯源切入，教學生怎樣想，目的在于培養(yǎng)學生深入溯源二次函數(shù)圖像性質探究規(guī)律的思維品質，a定m隨t的變化規(guī)律與t定m隨a的變化規(guī)律雙重規(guī)律夾逼下得到問題解決，拓寬思路，從直觀圖像開始最后超越直觀，提升處理二次函數(shù)多參數(shù)問題的能力.

3 解決情境下問題建立自己的知識體系

教師應該引導學生怎樣想，尤其是思路受阻時，借助知識溯源、回顧處理相關問題的知識源，往往能打開解決問題的思維通道，確定解題方向的切入點，也比較容易調動學生已有的知識，經驗感受和興趣，從而更加自主參與知識的獲取、問題的解決過程，有利于學生從中獲取更多的新知、感悟，理解與建構知識結構、促進內化與創(chuàng)新思維.

互動白板技術創(chuàng)造性應用為數(shù)學實驗創(chuàng)設增加了可操作性，讓學生自己動手畫y=ax2-2ax+a-2(a>0)圖像，操作得圖2、圖3效果，特別是圖1、圖2、圖3給學生反復觀察和共同研究探討，從而為性質的歸納，結論的提煉，知識的構建，提供了直觀到抽象、靜態(tài)往動態(tài)的平臺，為創(chuàng)造性和批判性思維的發(fā)展提供保障.

正如數(shù)學家德海納特說，所有有活力的思想都有一個緩慢的發(fā)展過程，留足夠的探索時間，引導學生，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功、獲得發(fā)展.深度學習有著不可忽視的教育價值.