三軸轉動慣量的直立振復擺與圓周扭擺協同測量方法

盧志輝， 孫浩智， 王和， 楊洪濤， 武藝泳

(鄭州機械研究所有限公司， 河南 鄭州 450052)

0 引言

3個軸向轉動慣量是導彈彈頭等空間飛行體重要的物理參數，扭擺法是最常用的測量方法，該方法需要導彈彈頭分別以3個正交姿態放置在具有直立軸線的擺動轉臺上，通過測量圓周扭擺周期并與標準樣件的擺動周期進行比對，計算各個轉動慣量分量。

多數型號導彈彈頭外形呈圓錐狀或者類圓錐狀，由于導彈彈頭自身質量分布特點，其橫向轉動慣量一般明顯大于軸向轉動慣量，同時2個橫向轉動慣量分量數值比較接近。前期被部隊定型批產的多個型號測量設備在測量橫向慣量分量時，需要在水平工裝的弧托或者支撐滾輪上轉動90°，不論是人工或自動驅動都會帶來操作或機構配置的繁瑣，轉動過程還有可能造成軸向竄動，影響測量精度，使用部隊明確提出希望進行改進的要求。對于帶有舵機板的導彈彈頭或者非圓形截面的導彈彈頭還需要重新吊裝翻轉，測量過程更為不便。即使配置了空間姿態轉動機構，也會使得機構本身更復雜、運動副增多，造成擺動系統剛度降低，工裝初始轉動慣量增大，對測量精度不利。

上述定型設備采用集成測量機構，在一個轉臺上實現質量、質心位置、轉動慣量、慣性積等多種參數的集成測量，機構利用懸浮刀口和小量程傳感器或者平衡板簧組成一個直立刀口振復擺系統，可用于導彈彈頭質心橫偏高精度測量和慣性積測量，利用扭擺系統測量三軸轉動慣量。利用設備直立軸系的自動轉動功能，可以對導彈彈頭2個方位實施直立刀口振復擺測量。

為了解決導彈彈頭橫向轉動慣量分量測量時彈頭水平姿態調整不便的問題，本文利用上述2個系統協同工作，提出導彈彈頭直立振復擺與圓周扭擺協同測量的方法，以避免彈頭水平狀態下的姿態調整工藝步驟。該方法的原理方法可以豐富細分行業測量理論，具體機構具有較好的工程實用價值?；谠摍C構的新型彈頭質量特性測量設備已配用于多個部隊和科研院所。機構組成見文獻[5]。

1 轉動慣量常用測量方法原理

1.1 扭擺法

扭擺法是測量轉動慣量常用的方法，國內外對其具體實現結構、測量原理、誤差分析等都有大量的研究，對標準件賦值及設備標定等方面都有一定的研究，其結構原理如圖1所示，被測物體放置在與扭桿固連的轉臺上，在外界激勵下做圓周扭擺運動。

圖1 扭擺法示意圖Fig.1 Schematic diagram of the circular pendulum method

系統圓周扭擺的運動微分方程為

(1)

式中：為扭轉角；為扭轉阻尼；為轉動慣量；為扭轉剛度。由(1)式求得

(2)

式中：為扭擺周期。實際測量過程中，擺動系統受到的阻尼可以忽略，從而推導出

(3)

即轉動慣量與扭擺周期的平方呈正比。實際測量過程中采用樣件比對測量，依次測出轉臺擺動系統的扭擺周期、標準樣件+擺動系統的扭擺周期(標準樣件自身轉動慣量為)、產品+擺動系統的扭擺周期，就可得出導彈彈頭的轉動慣量為

(4)

1.2 直立振復擺法

振復擺法同樣可以用來測量轉動慣量，只是沒有扭擺法應用普遍，由于最終慣量值需要移軸處理，該距離數值基數大，其誤差引起的測量誤差比扭擺法明顯要大。文獻[14]建立了采用振復擺法直接測量轉動慣量的振復擺模型，推導了振復擺的計算公式，其結構原理進一步簡化如圖2所示。圖2中，為被測物體質心到振復擺中心的距離，為板簧到振復擺中心的距離。

圖2 直立振復擺法示意圖Fig.2 Schematic diagram of the compound pendulum method

空氣阻尼忽略不計的情況下，振復擺運動方程為

(5)

式中：為擺動角；為被測物體+擺動系統的相對振復擺中心的總轉動慣量；為彈簧剛度系數；為被測物體+擺動系統的總質量；為重力加速度。

由(5)式求得

(6)

式中：為振復擺周期。(6)式是振復擺法測量物體轉動慣量的原理公式。同樣在實際測量過中可以采用樣件比對法，依次測量擺動系統的振復擺周期、標準樣件+擺動系統的振復擺周期、導彈彈頭+擺動系統的振復擺周期，疊加上移軸因素，求得導彈彈頭自身轉動慣量，具體計算公式如下：

(7)

式中：為標準樣件相對振復擺中心轉動慣量；、分別為標準樣件和導彈彈頭的質量；、分別為標準樣件和導彈彈頭質心到振復擺中心的距離。

2 協同測量方法的主體結構與實現方法

文獻[3]對扭擺法和復擺測量轉動慣量的優缺點進行了研究，對比了兩種方法的測量結果，并對兩種測量方法的不確定度進行了估計和計算。發現兩種方法的測量結果吻合較好，并且扭擺法的測量誤差比較小。復擺法測量的高不確定度是由測量裝置精度因素造成的，而不是由測量原理造成的。

在振復擺法實際計算時，由于設備結構具有一定的復雜性，自身的參數難以精確確定，直接導致、數據精度不高，同時由于導彈彈頭軸向質心測量精度相對橫向精度誤差更大，進一步加劇了的誤差，基數大，移軸中由的誤差δ引起的測量誤差為2··δ，該項將會帶來粗大誤差。利用圓周扭擺精度高的優勢，結合直立刀口振復擺確定2個分量之間的關系，完成2個橫向轉動慣量的協同測量。綜合文獻[5]給出的結構以及本文提出的測量原理和推導的計算公式，形成了直立刀口振復擺和圓周扭擺協同測量方法，為三軸轉動慣量測量提供了新的思路。

2.1 主體結構

直立刀口振復擺與扭擺法協同測量結構組成如圖3所示。圖3中示意的是直立工裝的使用狀態，主要包括主軸、主軸圓盤、刀口結構、中心扭桿、鎖緊器、固定銷、支臂和板簧。導彈彈頭通過直立工裝或者水平工裝固定在主軸的圓盤上，實現相關直立和水平狀態特性參數的測量。主軸懸浮在一組刀口上面，與之垂直方向連接一組支臂，支臂和彈性元件板簧相連，組成直立刀口振復擺系統。測量橫向質心時，鎖緊器松開、固定銷拔出，質心隨著主軸轉動，支臂則沿刀口擺動，支臂處下方安裝有測距傳感器，可以測出質心不平衡量引起的偏心位移量，可通過砝碼配平，直至偏心位移量為零，即總體質心位于旋轉軸線上。固定銷插入后，直立刀口復擺運動被固定，主軸下方連接中心扭桿被鎖緊器緊固，形成一個圓周復擺系統。利用該結構中的直立刀口復擺系統確定彈頭橫向轉動慣量和的關系，利用結構中的圓周復擺系統測量彈頭軸向轉動慣量、橫向轉動慣量或。

圖3 扭擺法和振復擺協同法機構示意圖Fig.3 Schematic diagram of the measuring device combing circular pendulum and compound pendulum

2.2 直立振復擺與扭擺法協同測量方法

結合圖3，在測量彈頭三軸轉動慣量(、、)時，一般方法是先把產品固定為直立狀態，用扭擺法測出，再水平放置，用扭擺法測出，然后產品水平翻轉90°測出。本文提出的直立刀口振復擺與圓周扭擺協同測量方法是彈頭在豎直狀態下，利用直立刀口振復擺法測出彈頭在0°和90°下的擺動周期(彈頭軸和軸分別平行于刀口母線，產品直立狀態下自動旋轉90°，設備擺動系統本身在兩個方向的振復擺周期經調整已相等，相當于空盤狀態已經平衡)，確定相應轉動慣量分量和的關系，最后再通過水平扭擺法測出或者，通過相互關系計算出另一個橫向轉動慣量分量或者。這樣如何確定和的關系就成了直立刀口振復擺與圓周扭擺協同測量方法實施的關鍵所在。

2.3 計算方法

和為導彈彈頭+擺動系統沿軸和軸相對于擺動中心的擺動周期。結合(7)式可推導出：

(8)

(9)

(10)

式中：為多個參數的函數。比對(4)式，稱為當量樣件慣量，會因采用導彈彈頭的不同而變化，但是對于設備在測量對象相對固定情況下其數值是穩定的，對其進行標定是可行的，非常適合交付部隊的這類專用設備。

3 試驗方法與試驗驗證

3.1 試驗方法

如圖4所示，2個質量一致的小砝碼，按對稱位置分別安裝在樣件上下圓盤上，放置砝碼前后樣件的質心位置無變化。圓盤上沿4個象限制有精密定位孔，小砝碼帶有定位銷與之配合保障位置精度并用膠水粘接，試驗后恢復原狀。試驗中規定樣件橫向轉動慣量為，樣件+砝碼的總橫向轉動慣量為(2個砝碼軸線位于擺動軌跡形成的平面)，樣件和砝碼均為外形規則的回轉體，和實際值可通過理論計算獲知。試驗時依次測量擺動系統振復擺周期、樣件+擺動系統振復擺周期、樣件+砝碼1+擺動系統振復擺周期，測量3次，利用3組數據的測量均值標定值。再將樣件+砝碼2作為導彈彈頭進行周期測量，計算得到，通過對比與理論值的一致性，判定該測量方法的測量精度。為驗證適用性，試驗在3臺試驗設備上進行，以下稱為設備1、設備2和設備3。

圖4 轉動慣量樣件試驗狀態示意圖Fig.4 Test status of the specimen

3.2 試驗結果與分析

321 樣件設計與理論值計算

樣件設計采用圓柱體組合，呈啞鈴形，疊加上2個小砝碼，模擬不同慣量值的導彈彈頭。采用軋制或鍛件加工樣件，其材料不均勻性引起的轉動慣量誤差不超過0033，采用理論計算值作為標準值是可行的。

理論上樣件設計采用4個小砝碼對稱布置更為合理，但是考慮到4個零件尺寸與質量加工成一致難度較大，采用2個小砝碼如圖4所示布置，并不影響質心位置，同時可以證明滿足振復擺運動微分方程(5)式，可以等效于4個小砝碼。

圓盤與圓柱體轉動慣量理論計算公式分別為=14、=112(3+)，為圓盤或圓柱體半徑，為圓柱體高度。同時需要對兩端圓盤和小砝碼加上移軸計算。計算得到的轉動慣量理論值如表1所示。

表1 3臺設備采用的樣件理論值與當量Jd標定結果

322 設備系數標定

采用樣件、樣件+砝碼1的理論值，分別測量擺動系統振復擺周期、樣件+擺動系統振復擺周期、樣件+砝碼1+擺動系統振復擺周期1，取3次均值，按照(10)式計算值，結果如表1所示。

由表1可知，不同設備值分散度較大，從值的構成要素也可以看出，值呈非線性分布，對同一個設備因被測產品不同也存在一定的分散度。該方法對于專用設備而言，由于其測量產品相對固定，其值是穩定的。

323 測量結果與分析

將樣件+砝碼2作為導彈彈頭測量轉動慣量值，每個設備測量3組數據，計算得到測量值，再與理論值比較，得到誤差值。測量數據如表2所示。表2中2為樣件+砝碼2的振復擺周期。

表2 3臺設備Jz測量結果與測量誤差

從表2中數據可以看出：最大絕對測量誤差值035 kg·m，滿足定型設備1 kg·m的誤差要求；最大誤差率為063，滿足通常慣量測量1的測量精度要求。

表3所示為采用3次測量均值得到的計算結果′0與理論值以及與表2中的計算值0分別對比的結果。由表3可見，取均值計算的′0和取單次測量值計算的0的9個數據差值均在±001之內，與理論值相比最大絕對測量誤差值為036 kg·m，表明可以把擺動系統周期存儲起來，無需每次測量。

表3 Te取均值計算的J′z0和單次測量值計算的Jz0對比以及與理論值Jz對比

表4所示為值數據變化±5、±10后值準確度對測量結果的影響。由表4可見：值變化+5時，最大絕對誤差043 kg·m，相對原值最大變化008 kg·m；值變化-5時，對應的2個數據分別為-034 kg·m、-007 kg·m；值變化+10時，對應的2個數據分別為052 kg·m、017 kg·m；值變化-10時，對應的2個數據分別為-040 kg·m、-016 kg·m。上述數據中最大絕對誤差052 kg·m，且絕大多數數據值變化5時不超出01 kg·m，值變化10時不超出02 kg·m。

表4 Jd值變化對測量結果的影響

從以上數據對比結果可以看出，雖然值是非線性的多變量函數，但其本身的標定誤差對另一分量測量結果的影響較小，采用標定值的方法進行協同測量能夠滿足測量精度要求，同時對于測量結果敏感度較低這一特點也預示著該方法具有良好的應用推廣前景。

4 實際應用

采用直立振復擺與圓周扭擺協同測量技術，研發了新型的質量特性參數測量設備，避免了產品水平狀態旋轉90°的操作，經過調試與精度檢定，達到了預期技術指標。測量用的水平工裝無需滾轉及定位機構，既簡化了原水平工裝結構，又提高了操作效率，節約了測量時間，去除了滾轉機構帶來的測量誤差，進一步提高了測量精度。

設備交付用戶后，已成功應用于某型號導彈彈頭實彈測試，得到了包括3個轉動慣量分量的所有質量特性參數數據(具體數據從略)。產品3個慣量分量與產品設計理論值吻合，與原全部采用扭擺法測量值高度一致，且多發產品的測量結果分散度較小，一致性較高，測量精度滿足彈頭飛控參數要求，成功保障了多次飛試任務，證明協同測量技術是可靠的，具有較高的測量精度。

同時協同測量技術應用在某型號帶翼彈體的轉動慣量測量，解決了產品水平狀態沿翼展直立方向無法支撐的難題，實現了異形體三軸轉動慣量的便捷測量。

5 結論

本文提出直立振復擺與圓周扭擺協同測量技術，給出了實現協同測量技術的具體機械結構，根據測量原理推導出了相應的計算方法，提出了當量慣量這一概念，同時提出了對進行標定這一思路，設計并進行了相關驗證試驗以及對試驗結果進行了誤差分析。得出以下主要結論：

1) 試驗數據和彈頭實測效果表明協同測量技術測量結果可靠，測量和計算方法可行，具有很好的工程應用價值。

2) 采用協同測量技術，彈頭三軸轉動慣量測量操作更加便捷，更加適應實戰化需求。

3) 當量慣量是多參數函數，本文通過標定獲取，標定誤差對測量精度影響較小，對于測量系統容易固化，可進一步建立參數庫，滿足多型號彈頭的測量需求。

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