水下爆炸氣泡運動穩定性分析研究*

張永坤

（91439部隊 大連 116041）

1 引言

裝藥在水中引爆后，變成高溫、高壓氣體，該氣體被周圍的水包圍形成氣泡。氣泡內部高壓驅使周圍的流體以小于聲速的速度向外擴散，在此階段，一般把水看成不可壓縮介質。由于慣性作用，氣泡將過度膨脹，內壓力減小，直至僅占外部流體靜水壓很小一部分，氣泡表面的負壓差使氣泡的膨脹運動停止，并使氣泡產生收縮運動，收縮過程由流場中周圍流體靜壓力驅動，該過程將會繼續直至不斷增加的內部氣泡壓力將該過程瞬間逆轉過來。氣體和水的彈性特性、水的慣性為氣泡振蕩提供條件，該過程被稱為氣泡脈動，脈動過程直至氣泡破裂為止。假定氣泡周圍水的密度不變，并且氣泡保持球形，這兩個假定在氣泡膨脹階段是可行的，隨著氣泡半徑達到最小值（此時形成很大的壓力與加速度）而越來越不正確。研究過程關注于第一次氣泡脈動周期內氣泡的產生、膨脹、最大、收縮、最小，此過程氣泡上浮量很小，基本不用考慮氣泡上浮的情況。氣泡也只關注單個爆炸產生的大氣泡的情況，流體中群空泡、碎空泡等情況不加以考慮。

水下爆炸氣泡運動過程及分析，國內外學者開展了大量的研究，主要包括理論分析、科研試驗、數值計算等方面［1～14］，為氣泡運動穩定性分析奠定基礎。文獻［5］以勢流理論為基礎，忽略粘性影響，考慮氣泡遷移效應、自由表面效應，建立了水下爆炸氣泡脈動模型。文獻［6］沖量時間基線的選取以及沖量的計算方法值得借鑒。文獻［7］指出當氣泡直徑與水池直徑比小于0.07，氣泡直徑與水深紙幣小于0.15 時滿足無限水域條件。炸藥量一定的情況下，氣泡脈動周期僅與靜水壓的5∕6 次方成比例。前期工作為本文研究奠定基礎。

2 Rayleigh方程及其推廣

早期氣泡運動理論模型假定流體不可壓縮、無粘和無旋的，忽略了壓縮效應和粘性效應，認為在第一個脈動階段，壓縮效應和粘性效應都是不重要的。在球對稱氣泡的發展和坍塌階段，可以通過對連續方程進行積分得到徑向速度場，產生預期的類似源——匯的流場。

1）理想的Rayleigh方程

Rayleigh 最早對空化現象進行理論研究，建立了不可壓縮流中理想球形氣泡的運動方程：

采用Rayleigh 方程進行空泡潰滅的研究，在氣泡半徑較大時，其得到的結果具有一定的準確性，為研究氣泡運動以及空泡發聲奠定基礎。雖然當空泡半徑很小時，由于沒有考慮空泡的氣含量、表面張力、粘滯性、可壓縮性等因素的影響，會導致一些不盡完善的結果，可以考慮通過相關參數、增減系數，使結果更趨于合理。

R 為氣泡半徑；R?為對時間的一階導數，徑向速度；R?為對時間的二階導數，徑向加速度；PR為氣泡表面壓力；P∞為無窮遠處壓力；ρ0為水密度。

2）考慮流體表面張力和粘性情況下得到的氣泡運動控制方程：

S為表面張力，μ為粘性系數。

3）考慮氣泡含氣量情況下的Nolting-Neppiras方程：

4）考慮流體可壓縮性時，根據Kirkwood-Bethe假設導出的Gilmore方程式：

c0為水中聲速。

Rayleigh 的理論令空泡外側的壓力與真空空泡內部的壓力相等。事實上，一個靜空泡的表面壓力將使空泡內的靜壓力比外部高，而且空泡也不會是真空的，它含有蒸汽和氣體。如果空泡是在成長或破滅的運動過程中，由于粘性的作用，運動邊界也要出現壓力降，因此要考慮一些影響因素的作用。粘性的作用是在空泡成長和破滅過程中產生阻抗可機械能的損失；表面張力使氣泡內的壓力低于空泡壁外側的壓力，其對空泡起始有影響，但對空泡聲發生的作用可以忽略；壓縮性對空泡潰滅的最后階段起到降低速度的作用。在此主要討論永久氣體的影響。溶解于水中的氣體對水的張力強度起主要作用，因為它們控制著空泡的起始。此外，由于它們的存在對空泡潰滅起重要的緩沖作用，它們把空泡潰滅時的動能變為勢能儲存起來，因而空泡不會潰滅到半徑等于零，而代之以一個最小的潰滅停止半徑，它大約等于最大半徑的1%到2%。然后，空泡又反彈，再次形成新的空泡和潰滅，通常重復此過程四到五次。

5）氣泡內外壓力平衡方程

氣泡表面上的點的壓力等于初始氣體的壓力和表面張力分量的和。由于流體表面張力對水下爆炸氣泡的運動狀態影響很少，也可忽略表面張力的影響。

半徑為R=RE、內部氣體分壓為pGE的空泡穩定平衡方程。

pR為氣泡表面壓力；p∞為無窮遠處壓力（也可確定為靜壓P0）；S為表面張力。

初始時刻的平衡（半徑為最小R0）：

氣泡半徑的變化應該關注以下兩種情況。

1）氣體分壓pGE保持不變

此種情況攝動發生的時間很長，要保證空泡在液體中進行充分的質量擴散，這樣才能使氣體分壓保持不變，且壓力值與液體中溶融氣體濃度相平衡。

2）空泡中氣體質量和溫度Tn不變

此種情況對于氣體擴散而言發生得非常迅速。水下爆炸氣泡屬于第二種情況。

水下爆炸氣泡在形成和發展過程中主要經歷兩個階段。第一階段是爆炸后氣泡形成的初始階段，該階段時間極短、力學過程極其復雜。第二個階段是氣泡形成后在水中運動、變形的發展階段。由于第一階段經歷的時間極短，可認為氣泡體積很小、壓力很高、保持球形、表面的擴張速度為零。在第二階段氣體膨脹和變形的過程中，一般近似作為絕熱過程處理。在氣泡的膨脹和壓縮及其變形過程中，考慮到氣體和水在密度上的巨大差異，忽略氣體運動對氣體壓力的影響，認為氣體的壓力僅和氣泡的初始狀態及其體積有關。即氣泡內的壓力Pb與氣泡體積V 的關系：

或簡化為

γ為氣體的比熱，對于TNT 炸藥爆炸產生的水下爆炸氣泡，γ取1.25；對于理想氣體，γ取1.4；pG0初始內壓，計算公式如下式，W 為裝藥質量，V0為最小體積（或者是初始體積）。

3 Rayleigh方程穩定性分析

采用Lyapunov方法進行氣泡運動穩定性分析，首先給出Lyapunov 方法，說明方法的適用條件，然后將一個氣泡脈動周期的運動過程進行詳細分解，之后對氣泡的穩定性進行分析得到其穩定和非穩定狀態。

3.1 Lyapunov 穩定性（平衡點的穩定性）分析方法

自治系統：

其中，f：D→Rn是定義域D ?Rn到Rn上的局部Lipschitz 映 射。假 定∈D 是 方 程 的 平 衡 點，即f(=0。

定義和定理都是對平衡點在Rn 上的原點，即xˉ=0 的情況而言的。通過變量代換可以把平衡點變換為原點。

設x=0 是方程（自治系統）的一個平衡點，D ?Rn是包含原點的定義域。設V：D→R是連續可微函數，如果V（0）=0，V（x）＞0 在D-｛0｝內，?(x)≤0 在D內，那么，原點x=0是穩定的。

Lyapunov 定理也可另外表述為如果存在一個連續可微的正定函數V（x），使?(x)為半負定的，那么原點是穩定的；如果為?(x)負定的，那么原點是漸進穩定的。

采用Lyapunov 定理，可通過半徑的變化參數R、R?，分析說明氣泡的穩定性，當R?≤0，可認為半徑R的變化是穩定的。

3.2 Rayleigh 方程所表示的氣泡運動的穩定性及不穩定性說明

氣泡運動過程只要是壓力場的變化導致的半徑、徑向速度、徑向加速度的變化，半徑的參數主要為R、R?、R?。不考慮慣性的影響，不考慮上浮的影響，氣泡各階段半徑參數的變化如表1所示。

根據能量守恒定律，以及氣泡運動特點，在第一個脈動周期內，將空泡半徑的變化分為8 個節點，包括爆炸初始時刻、膨脹到一定時刻、膨脹至最大、最大氣泡半徑、開始收縮、收縮一段時間、收縮至最小、最小氣泡半徑等，如表1 所示。氣泡膨脹至最大后，一般會穩定一段時間，也可將節點3、4綜合為一點來考慮。

半徑R 反映了氣泡的平衡狀態；半徑的變化R?反映氣泡的穩定狀態以及半徑的極值情況；徑向速度的變化R?也反映徑向速度的極值情況。

表1 各個階段氣泡半徑的變化

根據Lyapunov 穩定性分析方法，在氣泡膨脹階段（R?＞0），膨脹速度的變化R?均小于0，氣泡均處于穩定膨脹狀態。在4 節點處R?=0，R 達到最大值。也可以說在4 節點（R?=0，R?=0），氣泡到達最大半徑時，氣泡處于穩定膨脹、平衡狀態，也可認為是穩定的平衡態。

膨脹階段R?＜0，R?＞0，說明氣泡半徑的變化是穩定的膨脹；同樣，在氣泡收縮階段：R?＞0 ，R?＜0，說明氣泡半徑的變化是不穩定的收縮。

半徑R 反映了氣泡的平衡狀態：在節點3、4 之間氣泡處于平衡狀態，其他節點之間均處于相對的不平衡狀態，也即相對運動的狀態。

收縮階段：半徑R 一直在減小，直至潰滅節點，氣泡均處于不平衡狀態；半徑的變化R?（收縮速度）均大于0，氣泡處于不穩定狀態。徑向速度的變化R?在節點8 處可能為0，氣泡潰滅，R?出現極值。

最穩定的情況發生在R?＞0 和R?＜0 時，這些情況發生在生長的空泡接近其最大尺寸時；

最不穩定的情況發生在R?＜0 和R?≥0 時，這些情況僅發生在破裂的空穴反彈之前。

總地來講，膨脹階段氣泡逐漸趨于穩定，到最大氣泡半徑氣泡穩定平衡；收縮階段均處于不穩定狀態，至最小半徑時最不穩定。

4 氣泡半徑的計算

4.1 初始氣泡半徑

1）直接計算藥包半徑，作為參考參數。

其中m為藥包質量，ρ為藥包密度。

2）根據能量守恒得到最大最小半徑的比值，然后通過最大半徑求解空化核尺寸。

當空化氣泡從一個空化核生長到其初始尺寸的若干倍時，空泡將會在最大半徑Rm處開始破裂，此時空泡內有一個很小的氣體分壓PGM，在典型空化流動中，Rm約為最初空化核尺寸R0的100倍。

輻射到液體中的壓力脈沖有一個最大壓力幅值PP，由下式近似給出：

3）由式（5），（8），（9）聯合可得初始半徑。

爆炸氣泡γ一般取1.25。

4.2 最大氣泡半徑

最大氣泡半徑Rm與藥包的裝藥量W 及爆心初始深度H之間的關系：

4.3 潰滅氣泡半徑

由表2 可知，在藥包質量、入水深度確定的條件下，最大半徑、脈動周期以及藥包半徑為比較準確的結果。最小半徑與藥包半徑之比為10 左右，潰滅半徑影響因素較多，結果不規律。

4.4 氣泡脈動周期

幾種水下爆炸試驗過程氣泡運動現象。

1）0.25kg 特屈兒藥包，爆炸深度為91.5m。當氣泡最初迅速膨脹以后，脈動緩慢下來，這種緩慢使運動在爆轟結束0.014s后停止下來。然后，氣泡經0.028s以不斷增加的速度壓縮至最小。

表2 氣泡半徑計算結果

2）0.062kgTNT藥包，爆炸深度為2m（海水深度為9m）。當氣泡最初迅速膨脹以后，脈動緩慢下來，這種緩慢使運動在爆轟結束0.030s 后停止下來，穩定約0.010s，然后，氣泡經0.030s 以不斷增加的速度壓縮至最小。如圖1所示。

圖1 62gTNT炸藥氣泡脈動時間半徑曲線攝影圖片

3）0.2kgTNT藥包，爆炸深度為2m（海水深度為9m）。當氣泡最初迅速膨脹以后，脈動緩慢下來，這種緩慢使運動在爆轟結束0.052s后停止下來，穩定約0.013s，然后，氣泡經0.067s 以不斷增加的速度壓縮至最小。如圖2所示。

圖2 200gTNT裝藥爆炸氣泡半徑隨時間變化曲線

62gTNT 當量裝藥水下2m 爆炸氣泡最大半徑為0.68m（理論計算爆炸氣泡最大半徑為0.61m，氣泡脈動周期為91ms（理論值105ms）；200gTNT 裝藥水下2m爆炸氣泡最大半徑為0.83m（理論計算爆炸氣泡最大半徑為0.89m），氣泡脈動周期為140ms（理論計算爆炸氣泡脈動周期為152ms）。

比對分析可知，靜壓對于氣泡運動周期的影響比較大，深水中大氣壓在靜壓中占比較小，靜壓主要由水深產生，氣泡由最大壓縮至最小的時間比較緩慢。

爆炸深度相同的情況下，藥量的變換導致前半周期與后半周期存在一定的差異，兩種情況下基本以最大半徑為中心對稱分布，最大氣泡半徑存在一定的穩定時段，藥量大的工況氣泡由最大衰減至最小的時間比較緩慢。試驗樣本量有限，更進一步的規律還需數據的進一步比對分析。

5 結語

通過本文研究得到以下結論。

1）根據Lyapunov方法以及氣泡運動理論分析，在氣泡第一個運動周期內，氣泡運動的最穩定狀態位于氣泡達到最大值的時段，其他狀態都不穩定，最不穩定的狀態發生在氣泡由最小至潰滅的時段。

2）在藥包質量以及布深確定的條件下，藥包半徑、最大氣泡半徑、氣泡脈動周期值為精確值，最小半徑約為藥包半徑的10倍。

3）潰滅半徑影響因素比較多，變化不規則，從理論公式上可知，潰滅半徑與氣含量含氣量成正比，即隨著氣含量增加，收縮半徑的最小值變大，收縮越緩慢，含氣量的影響只能體現影響規律，用于計算存在很大的誤差。

4）結合試驗現象可知，在爆炸深度相同的情況下，藥量的變換導致前半周期與后半周期存在一定的差異，兩種情況下基本以最大半徑為中心對稱分布，最大氣泡半徑存在一定的穩定時段，藥量大的工況下，氣泡由最大衰減至最小的時間相對比較緩慢。