基于觀測器的線性重復控制系統干擾抑制★

李亨博， 何發勝

（1.廣東科技學院 計算機學院， 廣東 東莞 523000；2.中國鐵路廣州局集團廣州動車段， 廣東 廣州 510000）

引言

在工程實際中，存在一類需要對周期參考輸入高精度跟蹤的控制系統，例如伺服電機[1]，機器人，有源濾波器等。重復控制由Inoue 于1981 年首先提出，以內模原理為基礎，在系統的控制器內構造一個周期信號的動態模型，從而實現對任意周期參考輸入信號的漸進跟蹤。由于重復控制方法不僅適用于高精度跟蹤參考輸入信號，還能有效抑制周期性干擾，穩態精度高，成為了控制工程領域的研究熱點[2]。重復控制器中含有時滯現象，且時滯是實際工業控制系統設計中不可避免的現象，往往會導致控制系統性能惡化甚至破壞系統的穩定性。為了克服時滯對系統的影響，重復控制系統的魯棒性問題成為控制領域深入研究的熱點。

此外，干擾存在于所有工業控制過程中，如何對干擾進行觀測和有效補償，成為設計高性能魯棒控制器的關鍵環節，引起了國內外學者的廣泛關注。干擾觀測器（DOB）不需要對干擾信號建立精確的數學模型，實現簡單，魯棒性強，可以通過對外部干擾進行估計，補償外部干擾對系統的影響，實現干擾抑制的目的[3]。

受以上文獻啟發，為了補償外部干擾對系統的影響，實現系統高精度跟蹤控制，本文提出一種基于干擾觀測器的重復控制系統設計方法，將重復控制器和干擾觀測器引入到時滯系統中。通過干擾觀測器估計外部干擾的值并反饋至系統中，再與重復控制律結合，從而實現對周期信號的高精度跟蹤與抑制干擾的目的。

1 基于DOB 的重復控制系統描述

本文考慮如下時滯系統：

其中，x（t）∈Rn、u（t）∈Rp、y（t）∈Rq分別表示系統的狀態向量、控制輸入、控制輸出。d（t）∈Rm為系統外部干擾。A、B、C 是合適維數的常數矩陣。

對系統（1）作如下假設：

假設1：系統（1）是可控且可觀的系統；

假設2：系統（1）在虛軸上無零點。

系統（1）中干擾d（t）來源于如下線性外源系統：

其中，ξ（t）∈Rn、d（t）∈Rm。W 和V 是已知適當維數的矩陣。

系統結構框圖如圖1 所示。重復控制器用于跟蹤外部參考輸入信號，其包含純時滯正反饋環節和低通濾波器q（s）。在重復控制器中，低通濾波器q（s）改善了系統的魯棒穩定性，常數T 為參考輸入r（t）的周期；v（t）是控制控制器的輸出。

定義跟蹤誤差為：

為了使重復控制器易于設計與實現，濾波器q（s）選為一階濾波器，即

其中：ωc是濾波器的角速度，且q（s）滿足以下幅值特性：

為估計和重構未知干擾d（t），構造如下干擾觀測器：

其中，L∈Rn×n，是待定的干擾觀測器增益矩陣。

由（7）可以得到：

定義干擾估計誤差為

則：

2 控制參數設計

本文的研究目的是構造一類基于DOB 的重復控制器，由重復控制器估計外部參考輸入信號對系統輸出的影響，并設計干擾觀測器補償外部干擾，從而達到精確跟蹤給定信號和抑制外部干擾的目的。

假設系統的狀態可直接測得，現設計如下控制器：

由于外部信號不影響控制系統的穩定性，所以，令：

將式（9）（11）帶入式（1）得到：

將式（9）（11）帶入式（6）得到：

令：

由式（10）（13）（14）得到閉環系統狀態空間形式，可以表示為：

其中，

從而，控制器設計問題轉變為時滯系統（16）的穩定性問題。

下面給出了時滯系統（1）在控制器（11）的作用下漸近穩定的條件。

若存在對稱正定矩陣P、Q，合適矩陣X∈Rn×n＞0，Y∈Rn×n，H∈Rn×n，K∈Rn×n，Ke∈Rn×n，滿足以下LMI：

其中，

則時滯系統在控制律（11）作用下漸近穩定。此外，狀態反饋控制器的增益和觀測器的增益分別為F1=KeY-1，F2=KX-1，L=H。

取LyApunov 函數為：

則：

因此，若

則系統（16）漸近穩定。

上式等價于

因此，若

則時滯系統（16）是漸近穩定的。

根據SChur 補引理，閉環控制系統（16）漸進穩定的充分條件為：

假設P=diAg{P1，P2，P3}，Q=diAg{Q1，Q2，Q3}，并結合（17）得到

其中，Λ11=P1A+AΤP1+P1BF2+BΤP1；Λ12=P1BV；Λ13=P1BF1-CΤP3-AΤCΤP3-BΤCΤP3；Λ22=P2W+WΤP2+P2LBV+VΤBΤLΤP2；Λ23=-VΤBΤCΤP3；Λ33=-P3ωC-ω-P3CBF1-BΤCΤP3。

應用MATLAB LMI 工具箱，可方便求解反饋增益矩陣K，Ke和觀測器增益矩陣L 的值。

3 數值仿真

本節給出一個數值例子，驗證本文所提方法的有效性。

設分數階線性時滯系統（1）具有如下參數：

令參考輸入為：

線性外源系統（2）具有如下參數：

利用MATLAB LMI 工具箱求解LMI（18）得到：

選取初始狀態的值為x0=[0.25 -0.25 -0.25]Τ，初始干擾值為d0=[-0.12 -0.13 -0.1]Τ，干擾觀測器的初始值為=[-0.1 -0.1 -0.3]Τ。

圖2 顯示了開環系統狀態響應曲線，在無控制作用情況下，具有外部干擾的分數階時滯系統不穩定。圖3 為開環系統參考輸入與系統輸出的仿真曲線，系統輸出響應不能跟蹤參考輸入。圖4 為開環系統外部干擾值與干擾觀測器輸出值的仿真曲線，干擾觀測器的輸出值不能估計出外部干擾，則不能抑制外部干擾對系統的影響。

圖5 為系統在（11）控制作用下閉環系統響應曲線，設計的控制器能使閉環系統快速穩定。圖6 顯示在重復控制器的作用下，閉環系統輸出響應與參考輸入的仿真曲線，系統輸出快速跟蹤參考輸入信號，進入穩定狀態，魯棒穩定性得到保證。圖7 顯示了在重復控制作用下，系統輸出與給定參考輸入的跟蹤誤差仿真曲線，誤差以很快的速度趨于零，具有很好的跟蹤特性。圖8 為系統干擾及其觀測值的仿真曲線，系統從第2 個周期開始，干擾觀測器的輸出能精確的跟蹤外部干擾，干擾得到抑制。

4 結語

本文提出了一種基于干擾觀測器的重復控制系統的干擾抑制方法。通過分析時滯系統模型，引入重復控制和干擾觀測器構造基于觀測器的重復控制系統結構，并基于該結構進行穩定性分析與控制器參數求解的設計。仿真結果顯示，該系統能有效補償外部干擾對系統的影響，實現干擾抑制，且具有優越的周期信號跟蹤性能。