矩形截面空腹桁架拱平面外穩定性研究

荊 斕 石敏潔

(1.中鐵建設集團有限公司 北京 100040；2.貴州大學空間結構研究中心 貴州貴陽 550025)

1 引言

與傳統的桁架拱相比，空腹桁架拱外觀更為簡潔，透光性能更為良好，因此廣泛應用于大跨結構中，如體育館、展覽館和火車站等。與單一的平面內彎曲失穩不同，對于無支撐或支撐數量不足的鋼拱，在承載過程中，鋼拱可能會發生平面外彎曲－扭轉失穩，因此，鋼拱的平面外失穩問題較平面內更加復雜。自1961年，Timoshenko等[1]提出實腹式拱的平面外彈性屈曲荷載解之后，國內外一些學者針對拱的平面外穩定問題相繼進行了研究。

Pi等[2]建立了鋼拱的面外彎扭屈曲能量方程，得到純壓開口薄壁鋼拱的彈性屈曲荷載。楊永華、竇超[3－5]等人采用平衡法確立單軸對稱和雙軸對稱截面鋼拱的平面外彈性屈曲荷載理論。Dou等[6]采用平衡法得到純壓、純彎拱的面外彈性屈曲荷載解。Pi等[7－9]系統地研究了工形截面在各種荷載情況下的屈曲后性能及穩定承載性能。喬彩虹和郭彥林[10]建議對于鋼拱的平面外穩定性可以采用正則化長細比進行驗算。趙思遠等[11－13]討論了桁架拱和閉合截面鋼拱的平面外穩定性能，分別建立了不同鋼拱的平面外彈塑性穩定設計方法。王青蕊[14]研究了鋼筋混凝土系桿拱橋在整個施工階段位移和應力情況，發現系梁最大壓應力出現在截面突變處，拱肋最大應力出現在1/8截面處。

然而，關于空腹桁架拱的平面外彈塑性穩定承載力的研究，目前尚未發現相關文獻報道，其平面外失穩機理和設計方法尚不明晰。因此本文采用理論與數值模擬相結合的方法，對矩形截面空腹鋼管桁架拱在全跨均布徑向荷載、全跨均布豎向荷載和半跨均布豎向荷載作用下的平面外失穩機理和整體彈塑性穩定性能進行深入地研究，并提出相關的穩定承載力設計方程以供實際工程參考。

2 有限元模型

本文以矩形截面空腹鋼管桁架拱為研究對象，其結構形式如圖1所示，結構桿件均采用圓鋼管。運用有限元軟件進行模擬分析，選取梁單元beam189建立計算模型。圖中，f為拱的矢高，L為跨度，S為拱弧全長，R為半徑，Θ為圓心角，B和H分別為矩形桁架截面的寬和高，Lc為相鄰腹桿軸線間的距離，即節間長度；Dc和tc為弦桿橫截面的外徑和壁厚，Dt和tt為腹桿橫截面的外徑和壁厚。

圖1 矩形截面空腹鋼管桁架拱

在進行空腹桁架拱的內力分析時，根據文獻[15]，為了得到拱的內力值，在進行空腹桁架拱的內力分析時，可以將矩形空腹桁架拱等效為矩形截面實腹式拱，二者具有相同截面面積和慣性矩，建立等效模型進行內力分析。等效的有限元模型僅用于分析拱的彈性內力和相應的變形。拱腳采用銷軸支座，在有限元模型中，將空腹桁架拱兩端的弦桿稍伸出并相交于一點，在此點施加邊界約束:約束兩端拱腳的平面外轉動自由度、繞拱軸切向扭轉的自由度以及沿三個主軸方向的平移，而平面內可以自由轉動。

本文采用理想彈塑性材料模型，彈性模量E＝206 GPa，弦桿屈服強度fyc＝235 MPa，腹桿屈服強度fyt＝345 MPa。考慮到平面外初始幾何缺陷對拱的彎扭屈曲荷載影響較大，因此按照一致模態缺陷法在模型中引入面外初始幾何缺陷，缺陷幅值統一取為S/1 000。文中考慮的荷載工況主要有:全跨均布徑向荷載，全跨均布豎向荷載和半跨均布豎向荷載。

3 平面外整體彈性屈曲

3.1 剪切剛度

矩形截面空腹桁架拱的剪切機理與四肢綴板格構柱相似，截面的剪切變形對結構穩定性的影響不容忽視。從較短的拱軸線長度范圍內取出一個節間以分析剪力作用下拱的變形，并假設反彎點位于弦桿節間段的中點。

在任意剪力V作用下，上、下弦桿均勻承擔截面剪力，弦桿和腹桿共同承擔剪力產生的彎矩。空腹桁架拱的剪切變形分為兩部分:分別是弦桿彎曲和直腹桿彎曲產生的側向變形δ1和側向變形δ2，計算式如下:

得桁架拱的剪切角為:

因此，矩形空腹桁架拱的平面外剪切剛度為:

式中，Ic為弦桿截面慣性矩；It為腹桿截面慣性矩。

3.2 自由扭轉剛度

在計算截面抗扭剛度時，由于空腹桁架拱為格構式截面，因此可折算為矩形薄壁閉合構件，即截面由4塊具有一定厚度的薄板組成，按照薄壁閉合截面計算扭轉剛度[16]。

取一個節間長度Lc為計算單元，根據扭轉應變能相等原則，可得各邊薄板的厚度為:

式中，li為各邊的長度；G為材料的剪切模量，且G＝E/2.6。

得截面的扭轉剛度為:

式中，A0為薄壁矩形中心線圍成的面積。

3.3 平面外彈性屈曲荷載

在全跨均布徑向荷載作用下，拱處于均勻受壓狀態，確定其平面外彈性屈曲荷載計算公式是進行彈塑性穩定設計的基礎。在平面外屈曲分析中，銷軸支座拱與固支拱并無實質性區別，因此，為便于實際工程的應用，以兩端嵌固實腹式拱的面外屈曲理論為基礎，同時考慮剪切變形的影響，采用數值擬合的方法獲得拱在均勻壓力下的平面外彈性屈曲荷載:

式中，EIy為截面的面外抗彎剛度，EIy＝EAcB2。

為驗證公式(7)的正確性，建立有限元模型并進行平面外屈曲分析。模型參數為:Dc×tc＝0.121×0.01 m，Dt×tt＝0.1×0.01 m，B＝H＝Lc＝0.5 m，變化結構的跨度和矢跨比，有限元結果與公式(7)的對比如圖2所示。

圖2 式(7)與有限元結果的比較

由圖2可知，保持其他參數不變，僅增大結構的跨度或矢跨比，可以看到桁架拱的平面外屈曲荷載也隨之減小。數據顯示，公式計算結果與有限元結果的最大誤差不超過8%，表明兩者具有良好的一致性。

4 平面外整體彈塑性穩定設計

4.1 全跨均布徑向荷載作用

空腹桁架拱在全跨均布徑向荷載作用下處于均勻受壓狀態，由弦桿承擔所有軸力，為避免弦桿先于結構整體失去承載能力，應限制弦桿的長細比以避免弦桿先于結構整體失去承載能力，參考《鋼結構設計規范》，弦桿長細比限制條件為:

式中，λoy為拱截面繞y軸的換算長細比，定義如下:

式中，λc為弦桿長細比，由式(10)計算；λy為結構整體的面外幾何長細比；由式(11)計算。ib為同一截面處腹桿線剛度之和；ic為弦桿的線剛度；本節建立的有限元模型均需滿足長細比限值條件。

通過建立有限元模型進行彈塑性全過程分析，以了解矩形空腹桁架拱在均勻壓力作用下的平面外整體失穩過程及破壞機理。模型的尺寸為:f/L＝0.3，L＝20 m，B＝H＝0.5 m，Lc＝B，Dc×tc＝0.121×0.01 m，Dt×tt＝0.1×0.01 m，λc＝19。拱頂處的荷載－位移曲線如圖3所示。

圖3 拱頂的荷載位移曲線

由圖3可知，隨著荷載的增加，拱頂處的平面外位移隨之增大，當到達拱的極限承載力后，位移持續增大，而荷載逐漸減小。拱的變形在荷載作用下進一步擴展，由于存在平面外初始幾何缺陷，拱截面會產生附加彎矩，弦桿同時承受軸壓力和彎矩，因此最先到達屈服強度。隨著荷載的增加，屈服區域逐漸發展直至達到拱的極限承載力，1/4和3/4跨處的弦桿完全屈服，之后，位移繼續增大，直至桁架拱發生整體失穩破壞。在加載期間，腹桿始終保持彈性狀態[17]。

引入正則化長細比以研究均勻受壓桁架拱的穩定承載力。正則化長細比和穩定系數的定義如下:

式中，Ncr為空腹桁架拱的平面外彈性屈曲荷載，按照式(7)計算；Ny為拱截面的塑性軸力，按照式(14)計算；Nu為均勻受壓空腹桁架拱的極限荷載，通過有限元計算得到。

建立有限元模型進行非線性彈塑性分析，模型參數為:f/L＝0.1～0.4，L＝20～60 m，B＝H＝0.5 m，Lc＝B和Lc＝1.5B，Dc×tc＝0.121×0.01 m，Dt×tt＝0.1×0.01 m，弦桿長細比滿足式(8)的限制條件。根據公式(12)和(13)，并結合有限元分析結果，可得正則化長細比與穩定系數的關系曲線，如圖4所示。圖中也給出了《鋼結構設計規范》中的a～c類柱子穩定曲線。

圖4 純壓空腹桁架拱的穩定曲線

由圖4可知，有限元計算結果均位于a類柱子曲線上，表明矩形截面空腹桁架拱在全跨均布徑向荷載作用下處于均勻受壓狀態，因此可以根據《鋼結構設計規范》(GB 50017—2017)中的a類柱子穩定曲線進行純壓拱的穩定承載力設計，其設計公式為:

4.2 整體穩定承載力設計

當空腹桁架拱的節間長度較小時，拱更易發生整體破壞，原因在于剪力在節間弦桿兩端產生的彎矩較小。為研究矩形空腹桁架拱在壓彎狀態下的整體破壞模式，以全跨均布豎向荷載工況為例，進行有限元分析，模型參數為:f/L＝0.3，L＝40 m，B＝H＝0.5 m，Lc＝B或Lc＝1.5B，Dc×tc＝0.121×0.01 m，Dt×tt＝0.1×0.01 m，拱頂處的荷載－位移曲線如圖5所示。

圖5 拱頂的荷載位移曲線

由圖5可知，當其他參數保持不變時，增大節間長度，拱的極限荷載隨之降低，這是因為節間長度的增加會使拱的剪切剛度減小，最終會降低拱的極限荷載。拱的1/4跨處的下弦桿在軸力和彎矩的共同作用下，最先進入屈服。荷載繼續增加，塑性區域逐漸擴大，并向拱腳擴展，當到達極限承載力后，拱表現為塑性破壞。

由于格構式截面存在較大的剪切變形，其造成的影響不容忽視，因此引入彎矩放大系數α以考慮二階彎矩對矩形空腹桁架拱承載力的影響。在壓彎荷載作用下，矩形空腹鋼管桁架拱的整體穩定設計公式為:

式中，N為極限荷載作用下的軸力，由于拱內各段軸力分布不均勻，故N取最小軸力與最大軸力的平均值，M為極限荷載作用下的彎矩，M取最大值；φ為均勻壓力作用下矩形空腹桁架拱的平面外穩定系數，可按照GB 50017—2017的a類柱子曲線獲得；M為弦桿全截面塑性軸力，按照式(14)計算；My為塑性彎矩，且My＝NyB/2；α為彎矩放大系數，且α≤1.4，其表達式見式(17)。

式中，Ncr為純壓矩形空腹桁架拱的平面外彈性屈曲荷載，由式(7)得到。若α＞1.4，則需進行二階彈性分析以獲得最大彎矩αM。

采用有限元算例驗證公式(16)能否用于計算矩形截面空腹桁架拱的平面外整體承載力，模型參數為:f/L＝0.1～0.4，L＝20～60 m，B＝H＝0.5 m，Lc＝B和Lc＝1.5B，Dt×tc＝0.121×0.01 m，Dt×tt＝0.1×0.01 m，有限元結果與公式(16)的比較如圖6所示。

圖6 公式(16)與有限元結果對比

由圖6可知，拱在全跨荷載作用下發生整體破壞時，隨著矢跨比的增加，彎矩所占比重逐漸增大；在半跨荷載作用下，計算結果都集中在坐標系的右下方，表明拱發生平面外整體破壞時，彎矩為主要影響因素，而軸壓力為次要因素；兩種荷載下的所有數值結果均位于設計曲線上方，表明可以采用公式(16)來保守估計矩形截面空腹桁架拱在壓彎狀態下的平面外整體穩定承載力。

5 結論

本文研究了矩形截面空腹鋼管桁架拱的平面外穩定承載性能，所得結論如下:

(1)空腹桁架拱在均布徑向荷載作用下處于均勻受壓狀態，通過引入正則化長細比，建立純壓拱的彈塑性平面外整體破壞設計公式。有限元計算結果表明，可采用《鋼結構設計規范》(GB 50017—2017)中的a類柱子穩定曲線進行純壓拱的平面外整體穩定設計。

(2)在均勻壓力或壓彎作用下，弦桿作為主要的受力構件，既承受軸力同時也承受彎矩，因此純壓拱和壓彎拱的整體破壞模式類似，都表現為1/4或3/4跨處的弦桿先屈服，位移繼續增大，直至桁架拱發生整體彈塑性破壞。

(3)空腹桁架拱在全跨均布豎向荷載和半跨均布豎向荷載作用下均會發生平面外整體壓彎破壞，提出的壓彎穩定設計公式(16)對估計以上兩種荷載工況下拱的承載力均適用。