具有細胞內時滯的耦合傳染病模型

王 穎, 王靈芝

(陜西師范大學 數學與統計學院, 西安 710119)

0 引 言

研究表明, 在宿主細胞中病毒感染主要有兩種途徑[1-4]： 病毒感染細胞(間接傳播)和細胞間感染(直接傳播). 事實上, 細胞間感染比病毒感染細胞更有效[5]. 細胞被病毒感染后, 存在一個較短的細胞內潛伏期, 目前數學上有兩種方法模擬該潛伏期階段： 通過一類顯式的潛伏感染細胞[6-7]或通過一個時間延遲[2,4].

基于文獻[2,4,8]的工作, 本文考慮含易感細胞的Logistic增長項、 感染期間的時滯和時滯階段未成熟的已感染細胞死亡率幾個因素的病毒感染模型, 模型可描述為如下形式的時滯微分方程：

(1)

本文首先證明系統解的非負性和一致有界性, 確定可行域； 其次, 通過分析特征方程利用Lyapunov-LaSalle不變性原理[10]證明無感染平衡點P0的全局漸近穩定性, 并通過分析病毒感染平衡點P*的穩定性給出Hopf分岔的存在條件； 最后利用MATLAB軟件進行數值模擬以驗證所得結論.

1 適定性與可行平衡點

為分析當τ≥0時平衡點的穩定性和系統(1)的動力學行為, 需要考慮一個合適的相空間和可行域.當τ>0時, 記C∶=([-τ,0],), 對于任意的φ∈C, 定義范數為從區間[-τ,0]映射到的連續函數全體構成的Banach空間.記C+∶=([-τ,0],+)為C的非負錐.當t=0時, 系統(1)的初始條件為

φ∈X∶=+×C+×C+.

(2)

定理1在初始條件(2)下, 系統(1)的解具有非負性和一致有界性.

證明： 首先利用反證法證明解的非負性.

假設t1>0,t1是第一次使x(t)=0的時刻, 即x(t1)=0.由系統(1)的第一個方程可知x′(t1)=λ>0, 故存在ε>0, 使得當t∈(t1-ε,t1)時, 有x(t)<0.這與當t∈[0,t1)時,x(t)>0矛盾, 故x(t)≥0.假設t2>0,t2是第一次使y(t)=0的時刻, 即y(t2)=0, 則?t∈[0,t2), 有y(t)>0.由系統(1)的第二個方程得y′(t2)≥β2e-μτx(t2-τ)z(t2-τ), 由系統(1)的第三個方程得z′(t)=py(t)-δz(t).而在[0,t2)上,y(t)>0, 故?t∈[0,t2),z′(t)≥-δz(t), 即?t∈[0,t2),z(t)≥z(0)e-δt2>0; 從而在[0,t2) 上,z(t)>0, 故

y′(t2)≥β2e-μτx(t2-τ)z(t2-τ)>0,

即y′(t2)>0.于是存在ε>0, 使得當t∈(t2-ε,t2)時, 有y(t)<0.這與當t∈[0,t2)時,y(t)>0矛盾, 故y(t)≥0.而由系統(1)的第三個方程有

因此,x(t),y(t),z(t)在+×C+×C+上非負.

其次證明解的一致有界性.

本文在如下有界可行域內分析系統(1)的動力學行為：

其中區域Γ相對于系統(1)是正不變的且系統(1)是適定的.

2 無感染平衡點的全局穩定性

系統(1)在P0處的特征方程[12]為

(4)

(5)

故0不是特征方程(4)的根.下面考慮當τ>0時式(5)根的分布.假設ξ=iω(ω>0)是式(5)的根, 將iω代入式(5)并分離實虛部, 有

(6)

由式(6)可得

因為R0<1, 所以式(6)的根無正解, 即式(5)沒有純虛根.故方程(5)對?τ>0無純虛根, 即方程的根不能穿過虛軸, 并在τ≥0的情形下保持在虛軸左側.因此若R0<1, 則特征方程(4)的所有根均有負實部, 從而無感染平衡點P0局部漸近穩定.下面利用Lyapunov泛函證明當R0≤1時,P0全局漸近穩定.

定理2若R0≤1, 則無感染平衡點P0全局漸近穩定.

證明： 考慮如下Lyapunov泛函：

(7)

其中xt(θ)=x(t+θ),yt(θ)=y(t+θ),zt(θ)=z(t+θ),θ∈[-τ,0].計算L沿系統(1)的時間導數：

(8)

3 病毒感染平衡點的穩定性和Hopf分岔

系統(1)在P*處的特征方程[12]為

ξ3+A2ξ2+A1ξ+A0+(B2ξ2+B1ξ+B0)e-ξτ=0,

(9)

其中,

當τ=0時, 特征方程(9)為

ξ3+(A2+B2)ξ2+(A1+B1)ξ+A0+B0=0,

(10)

其中,

此時平衡點需滿足以下條件：

故有

(11)

及

由Routh-Hurwitz準則可知, 當τ=0時, 方程(10)的所有根均具有負實部當且僅當滿足下列條件：

(H0)C2C1-C0>0.

從而下列結論成立.

引理1若R0>1且(H0)成立, 則病毒感染平衡點P*當τ=0時漸近穩定.

此外, 對任意的τ≥0, 均有

故0不是特征方程(9)的根.下面考慮當τ>0時, 特征方程(9)純虛根的存在性.假設u=iω(ω>0)是特征方程(9)的一個根, 將iω代入方程(9)并分離實部和虛部, 得

將方程(12),(13)先平方再相加, 可得

F(ω,τ)=ω6+C2(τ)ω4+C1(τ)ω2+C0(τ)=0,

(14)

其中

從而iω(ω>0)是方程(9)純虛根的必要條件是ω為F(ω,τ)=0的正根.多項式方程F可以寫成如下形式：F(ω,τ)=h(ω2,τ), 其中h是一個三次多項式：

h(v,τ)∶=v3+C2(τ)v2+C1(τ)v+C0(τ).

(15)

由于P*=(x*,y*,z*)滿足系統(1), 因此可重寫上述表達式為

又因為

(16)

并且h(v,τ)在v-處取得極大值, 在v+處取得極小值,

故Hopf分岔存在的充分條件是引理2中條件1)～4)成立.為方便, 記使得引理2中條件1)～4)成立的[0,τmax)的子集為I.當引理2中條件1)～4)成立時, 對于τ∈I, 存在一個ω=ω(τ)>0, 使得F(ω(τ),τ)=0.若iω(τ*)是特征方程(9)的根, 則ω(τ*)必須滿足

(17)

因為當τ∈I時,F(ω(τ),τ)=0成立.故θ(τ)存在且唯一.

由ω(τ)τ=θ(τ)+2nπ, 可知iω*(ω*=ω(τ*)>0)是特征方程(9)的純虛根當且僅當τ*為函數Sn的零解, 函數Sn定義為

(18)

下面介紹Beretta等[14]關于判斷系數依賴時滯的超越方程發生穩定性開關的幾何準則.

定理3假設ω(τ)是F(ω(τ),τ)=0在I上的一個正實根.如果存在τ*∈I滿足Sn(τ*)=0(n∈0), 則當τ=τ*時, 特征方程(9)具有一對共軛純虛根ξ(τ*)=±iω(τ*).進一步, 若Sign Reξ′(τ*)>0, 則在復平面上這對純虛根對應的共軛復根隨著τ的變化從左至右穿過虛軸； 反之, 若Sign Reξ′(τ*)<0, 則它們從右至左穿越虛軸, 其中

證明： 由文獻[14]可知,

由式(18)可知Sn(0)<0, 且對所有的τ∈I,Sn(τ)>Sn+1(τ), 其中n∈0.因此, 如果S0在I中沒有零解, 則對所有的n∈0, 函數Sn在I中都沒有零解.另一方面, 若存在n∈0, 使得Sn(τ)有正根, 記為不失一般性, 假設

(19)

綜合上述分析, 利用泛函微分方程的Hopf分岔定理, 可得關于Hopf分岔的存在性定理：

定理4對于系統(1), 如果R0>1且引理2中條件1)～4)成立, 則有下列結論：

(i) 如果函數S0(τ)在I中沒有零點, 則對所有的0≤τ<τmax, 病毒感染平衡點P*均是漸近穩定的；

4 數值模擬

圖1 函數S0和S1在區間τ∈I上的圖像Fig.1 Images of functions S0 and S1 on τ∈I

圖2 系統(1)的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system (1)

由Hopf分岔的討論可知, 系統(1)發生Hopf分岔的τ區間為(τ1,τ2).選取時滯參數τ=0.01∈[0,τ1), 此時系統(1)的病毒感染平衡點P*漸近穩定, 如圖3所示.選取時滯參數τ=30∈(τ1,τ2), 此時系統(1)的病毒感染平衡點P*不穩定, 如圖4所示.模擬結果與定理4的結論相符.

圖3 當τ=0.01∈[0,τ1)時, P*漸近穩定Fig.3 P* is asymptotically stable when τ=0.01∈[0,τ1)

圖4 當τ=30∈(τ1,τ2)時, P*不穩定Fig.4 P* is instability when τ=30∈(τ1,τ2)

綜上所述, 本文研究了一類具有Logistic增長的時滯耦合模型.首先, 通過公式推導得到: 當R0≤1時, 無感染平衡點P0是全局漸近穩定的； 其次, 給出了病毒感染平衡點P*局部漸近穩定的充分條件以及系統(1)發生Hopf分岔的充分條件; 最后, 采用MATLAB軟件數值模擬驗證了所得結果的正確性.