δ-Hom-Jordan李代數(shù)的泛中心擴(kuò)張

張 悅, 孫 冰

(長(zhǎng)春師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130032)

Jordan-李代數(shù)的概念是文獻(xiàn)[1]在研究李超代數(shù)和 Jordan-超代數(shù)之間的關(guān)系時(shí)提出的. 文獻(xiàn)[2]給出了Jordan-李代數(shù)的Engel定理和Cartan子代數(shù)的一些性質(zhì). Hom-李代數(shù)[3]是將Jacobi等式用線性映射進(jìn)行扭曲, 從而得到一類更廣的代數(shù)結(jié)構(gòu).δ-Hom-Jordan李代數(shù)是Jordan-李代數(shù)和Hom-李代數(shù)的推廣, 關(guān)于其結(jié)構(gòu)和表示理論已得到一些結(jié)果, 例如: 文獻(xiàn)[4]給出了δ-Hom-Jordan李代數(shù)的表示和T*-擴(kuò)張; 文獻(xiàn)[5]給出了δ-Hom-Jordan李超代數(shù)的相關(guān)理論.

泛中心擴(kuò)張?jiān)诶畲鷶?shù)上已得到廣泛關(guān)注, 它與同調(diào)理論密切相關(guān). 文獻(xiàn)[6]給出了利用張量積構(gòu)造泛中心擴(kuò)張的方法, 文獻(xiàn)[7-9]將該結(jié)果推廣到Hom-李代數(shù)和Hom-Leibniz代數(shù)上, 并在范疇意義下建立了這兩個(gè)代數(shù)的泛中心擴(kuò)張之間的聯(lián)系. 此外, 文獻(xiàn)[10]研究了Hom-左對(duì)稱代數(shù)的泛中心擴(kuò)張. 本文討論δ-Hom-Jordan李代數(shù)的泛中心擴(kuò)張. 首先, 給出δ-Hom-Jordan李代數(shù)Hom-作用的定義, 并構(gòu)造一個(gè)δ-Hom-Jordan李代數(shù)Hom-作用. 同時(shí), 利用Hom-作用給出δ-Hom-Jordan李代數(shù)二階同調(diào)空間. 其次, 通過(guò)具體實(shí)例結(jié)果表明， 兩個(gè)δ-Hom-Jordan李代數(shù)中心擴(kuò)張的復(fù)合不再是中心擴(kuò)張, 而是α-中心擴(kuò)張, 此時(shí)引入α-中心擴(kuò)張, 從而定義泛α-中心擴(kuò)張.最后, 得到δ-Hom-Jordan李代數(shù)是完美的當(dāng)且僅當(dāng)其具有泛中心擴(kuò)張結(jié)構(gòu), 且泛中心擴(kuò)張的核恰好包含在δ-Hom-Jordan李代數(shù)帶有平凡Hom-作用的二階同調(diào)空間中.

1 基本概念

定義1[1]設(shè)L是域F上的向量空間, 若雙線性映射[·,·]L:L×L→L滿足

則稱二元組(L,[·,·]L)為δ-Jordan李代數(shù).

定義2[4]設(shè)L是域F上的向量空間, 若雙線性映射[·,·]L:L×L→L和線性映射α:L→L滿足：

則稱三元組(L,[·,·]L,α)為δ-Hom-Jordan李代數(shù).此外, 若線性映射α滿足

α([x,y]L)=[α(x),α(y)]L, ?x,y∈L,

則稱δ-Hom-Jordan李代數(shù)是保積的.

定義3設(shè)(L,[·,·]L,α)是δ-Hom-Jordan李代數(shù), 若L的子空間η?L滿足α(η)∈η, 且

[x,y]L∈η, ?x,y∈η(或[x,y]L∈η, ?x∈η, ?y∈L),

則稱(η,[·,·]L,α)是Hom-子代數(shù)(或Hom-理想).

定義4設(shè)(L,[·,·]L,α),(T,[·,·]T,β)是δ-Hom-Jordan李代數(shù), 如果線性映射φ：L→T滿足下列條件：

1)φ[v,ν]L=[φ(v),φ(ν)]T, ?v,ν∈L;

2)φ°α=β°φ.

則稱φ為δ-Hom-Jordan李代數(shù)的同態(tài).

定義5設(shè)(L,[·,·]L,α)是δ-Hom-Jordan李代數(shù),Z(L)={x∈L|[x,y]=0, ?y∈L}稱為δ-Hom-Jordan李代數(shù)的中心.

定義6設(shè)(L,αL)是δ-Hom-Jordan李代數(shù), 如果L=[L,L], 則稱(L,αL)是完美的.

定義8設(shè)(L,[·,·]L,α)和(M,[·,·]M,β)是δ-Hom-Jordan李代數(shù), 若雙線性映射ρ:L?M→M,ρ(x?M)=x·m滿足下列條件:

1) [x,y]L·β(m)=δα(x)·(y·m)-α(y)·(x·m);

3)β(x·m)=α(x)·β(m).

則ρ稱為(L,[·,·]L,α)在(M,[·,·]M,β) 上Hom-作用.

事實(shí)上, 任取x,y∈L,m∈M, 存在k1,k2∈K, 使得x=π(k1),y=π(k2).于是有

d2(m?x1∧x2)=x1·m?αL(x2)-δx2·m?αL(x1)+δαM(m)?[x1,x2],

通過(guò)計(jì)算可得d2°d3=0.因此二階同調(diào)空間可定義為

2 泛中心擴(kuò)張

注1當(dāng)αM=idM時(shí), 中心擴(kuò)張即為α-中心擴(kuò)張; 顯然任一中心擴(kuò)張都是α-中心擴(kuò)張, 反之不成立.下面給出反例.

設(shè)(L,αL)是基為{a1,a2}的2維δ-Hom-Jordan李代數(shù)且自同態(tài)αL=0, 括積運(yùn)算滿足

[a1,a2]=-δ[a2,a1]=a1, [a1,a1]=[a2,a2]=0.

設(shè)(K,αK)是基為{b1,b2,b3}的3維δ-Hom-Jordan李代數(shù)且自同態(tài)αK=0, 括積運(yùn)算滿足

[b1,b2]=-δ[b2,b1]=b1, [b1,b3]=-δ[b3,b1]=b1,

[b2,b3]=-δ[b3,b2]=b2, [b1,b1]=[b2,b2]=[b3,b3]=0.

設(shè)滿同態(tài)π: (K,0)→(L,0)滿足

π(b1)=0,π(b2)=a1,π(b3)=a2.

故Ker(π)=〈{b1}〉且[αK(Ker(π)),K]=0, 因此π是α-中心擴(kuò)張.但[Ker(π),K]=〈{b1}〉, 所以π不是中心擴(kuò)張.

注2任意的泛α-中心擴(kuò)張均為泛中心擴(kuò)張.

引理1設(shè)(K,αK),(L,αL)是δ-Hom-Jordan李代數(shù), 如果π: (K,αK)→(L,αL)是滿同態(tài)且(K,αK)是完美的, 則(L,αL)是完美的.

引理1～引理3的證明過(guò)程與文獻(xiàn)[7]類似, 故略.

例2設(shè)(L,αL)是基為{a1,a2,a3,a4}的4維δ-Hom-Jordan李代數(shù), 括積運(yùn)算滿足

[a1,a3]=-δ[a3,a1]=a4, [a1,a4]=-δ[a4,a1]=a3,

[a2,a3]=-δ[a3,a2]=a1, [a2,a4]=-δ[a4,a2]=a2,

其余括積運(yùn)算均為0且自同態(tài)αL=0.

設(shè)(K,αK)是基為{b1,b2,b3,b4,b5}的5維δ-Hom-Jordan李代數(shù), 括積運(yùn)算滿足

[b2,b3]=-δ[b3,b2]=b1, [b2,b4]=-δ[b4,b2]=b5,

[b2,b5]=-δ[b5,b2]=b4, [b3,b4]=-δ[b4,b3]=b2, [b3,b5]=-δ[b5,b3]=b3,

其余括積運(yùn)算均為0且自同態(tài)αK=0.可知Z(K)=〈{b1}〉且(K,αK)是完美的.

設(shè)滿同態(tài)π: (K,αK)→(L,αL)滿足

π(b1)=0,π(b2)=a1,π(b3)=a2,π(b4)=a3,π(b5)=a4.

故Ker(π)=〈{b1}〉?Z(K), 因此π是中心擴(kuò)張.

設(shè)(F,αF)是基為{e1,e2,e3,e4,e5,e6}的6維δ-Hom-Jordan李代數(shù), 括積運(yùn)算滿足

[e2,e3]=-δ[e3,e2]=e1, [e2,e4]=-δ[e4,e2]=e1, [e2,e5]=-δ[e5,e2]=e1,

[e3,e4]=-δ[e4,e3]=e2, [e3,e5]=-δ[e5,e3]=e6, [e3,e6]=-δ[e6,e3]=e5,

[e4,e5]=-δ[e5,e4]=e3, [e4,e6]=-δ[e6,e4]=e4, [e5,e6]=-δ[e6,e5]=e1,

其余括積運(yùn)算均為0且自同態(tài)αF=0.

設(shè)滿同態(tài)ρ: (F,αF)→(K,αK)滿足

ρ(e1)=0,ρ(e2)=b1,ρ(e3)=b2,ρ(e4)=b3,ρ(e5)=b4,ρ(e6)=b5.

故Ker(ρ)=〈{e1}〉?Z(F,αF), 因此ρ是中心擴(kuò)張.

映射π°ρ: (F,αF)→(L,αL)滿足

π°ρ(e1)=π(0)=0,π°ρ(e2)=π(b1)=0,π°ρ(e3)=π(b2)=a1,

π°ρ(e4)=π(b3)=a2,π°ρ(e5)=π(b4)=a3,π°ρ(e6)=π(b5)=a4.

由于Z(F,αF)=〈{e1}〉, Ker(π°ρ)=〈{e1,e2}〉, 因此Ker(π°ρ)Z(F,αF), 故π°ρ: (F,αF)→(L,αL)不是中心擴(kuò)張.

注3例2表明兩個(gè)中心擴(kuò)張的復(fù)合不一定是中心擴(kuò)張.

證明: 先證F=[F,F]+N.顯然[F,F]+N?F.由于(K,αK)是完美的, 故對(duì)任意的f∈F, 存在f1,f2∈F,k,k1,k2∈K, 使得

ρ(f)=k=[k1,k2]=[ρ(f1),ρ(f2)]=ρ([f1,f2]),

所以f-[f1,f2]∈Ker(ρ)=Im(j)=N, 即F?[F,F]+N.又由于[p,fij]∈Ker(ρ)?Z(F), 因此

考慮上述交換圖的第一行和第三行, 由命題2得ρ°σ=idK.證畢.

3)δ-Hom-Jordan李代數(shù)(L,αL)的擴(kuò)張是泛中心的當(dāng)且僅當(dāng)(L,αL)是完美的;

P={(a,k)∈A×K|τ(a)=π(k)},αP(a,k)=(αA(a),αK(k)).

將商空間L?L/IL記作UCE(L), 商空間L?L/IL的元素x1?x2+IL記作{x1,x2}.由IL的定義可知, 對(duì)任意的x1,x2,x3∈L, 有

由Imd3?IL得d2(IL)=0, 故d2誘導(dǎo)了F-線性映射:

而[Ker(uL),UCE(L)]=[UCE(L),Ker(uL)]=0, 故該擴(kuò)張為中心擴(kuò)張.

其中π(ki)=xi,i=1,2.因?yàn)樵摂U(kuò)張是中心的, 故線性映射φ定義合理.通過(guò)驗(yàn)證可知, 線性映射φ是δ-Hom-Jordan李代數(shù)同態(tài), 且滿足下列交換圖：