非齊次核逆向Hilbert型積分不等式的最佳搭配參數及算子表達式

洪 勇, 陳 強

(1. 廣州華商學院 應用數學系, 廣州 511300; 2. 廣東第二師范學院 計算機學院, 廣州 510303)

1 引言與預備知識

設1/p+1/q=1(p>1), Hardy等[1]給出了Hilbert不等式:

(1)

通過引入參數λ將式(1)推廣為

非齊次核K(x,y)=G(xλ1yλ2)(λ1λ2≠0)顯然具有如下性質: 若t>0, 則

K(tx,y)=K(x,tλ1/λ2y),K(x,ty)=K(tλ2/λ1x,y).

為避免重復, 引入記號:

引理1[23]設Ωn?n,x=(x1,x2,…,xn), 1/p+1/q=1(0

當且僅當存在非零常數C, 使得fp(x)=Cgq(x)(x∈Ωn)時等號成立.

與文獻[22]相應引理的證明方法類似可得:

引理2設1/p+1/q=1(00,K(x,y)=G(xλ1yλ2)≥0,a,b∈, 則

2 最佳搭配參數的等價條件

設1/p+1/q=1(0

A(K,|f|,|g|)≥M(a,b)‖f‖p,α(a,b)‖g‖q,β(a,b).

(2)

若式(2)的常數因子M(a,b)是最佳值, 則稱a,b為最佳搭配參數.

定理1設1/p+1/q=1(00,a,b∈,K(x,y)=G(xλ1yλ2)≥0.

(3)

(4)

其中W0=|λ2|W1(-bp)=|λ1|W2(-aq).

2) 若W1(-bp)<+∞,W2(-aq)<+∞, 且存在σ>0, 使得W1(-bp+σ)<+∞或W1(-bp-σ)<+∞, 則下列命題等價:

證明: 1) 根據逆向的加權H?lder積分不等式和引理2, 有

且經簡單計算可得α=apq-1,β=bpq-1, 故式(3)可化為式(4).

當W1(-bp-σ)<+∞時, 取充分小的ε>0, 令

則

于是可得

從而

(5)

當W1(-bp+σ)<+∞時, 取充分小的ε>0, 令

則有

于是有

從而

(6)

則

于是式(3)等價于

由于式(3)的常數因子是最佳的, 故式(7)的常數因子也是最佳的.

因為式(7)的常數因子是最佳值, 故由式(7)和式(8), 可得

從而W1(-b′p))<+∞,W2(-a′q))<+∞.又因為

故根據②?①的證明可知, 式(7)的最佳常數因子為

于是可得

(9)

根據逆向H?lder積分不等式, 有

②?③.根據引理2可得.

設1/r+1/s=1(0

若λ2c>0, 則-λ2cs>0, 此時有

令s→-∞, 有W1(-bp)=+∞, 這與W1(-bp)<+∞矛盾.若λ2c<0, 則-λ2cs<0, 此時有

令s→-∞, 得W1(-bp)=+∞, 仍與W1(-bp)<+∞矛盾.

3 在算子理論中的應用

設K(x,y)≥0, 定義積分算子T:

(11)

根據Hilbert型積分不等式的基本理論, 逆向Hilbert型積分不等式(2)等價于算子不等式:

‖T‖p,β(a,b)(1-p)≥M(a,b)‖f‖p,α(a,b),

由此并根據定理1, 可得如下關于積分算子的結果.

定理2設1/p+1/q=1(00,a,b∈,K(x,y)=G(xλ1yλ2)≥0.積分算子定義如式(11).

(12)

其中W0=|λ2|W1(-bp)=|λ1|W2(-aq).

(13)

綜上并根據定理2可知, 例1結論成立.