形式下三角矩陣環上的n-Ding模*

張文匯，劉婷

西北師范大學數學與統計學院，甘肅 蘭州 730070

20世紀90年代，Enochs等［1-2］引入了Gorenstein投（內）射模和Gorenstein平坦模，這三類模及其維數理論構成了Gorenstein 同調代數的理論核心。近年來，隨著Gorenstein 同調理論的進一步豐富發展，出現了許多有重要理論意義的研究成果。2009年，丁南慶和毛立新先后引入GorensteinFP-內射模和強Gorenstein平坦模，這分別是特殊的Gorenstein 內射模和Gorenstein 投射模［3-4］。之后，Gillespie 將這兩類模重新命名為Ding 投射模和Ding 內射模［5］。2015 年，唐曦在交換的Noether 環上引入了n-Gorenstein 投射模和n-Gorenstein內射模的概念，并且研究了這兩類模的同調性質［6］。

本文所提到的環均指有單位元的非零結合環，模均指酉模。

受以上文獻的啟發，我們討論形式下三角矩陣環上n-Ding 模的刻畫及其同調性質。稱左R-模M是Ding 投射模，如果存在投射模的正合列P：… →P1→P0→P-1→P-2→…，使得M?Im(P0→P-1)，且對任意平坦左R-模F，序列HomR(P，F)正合；稱左R-模E是FP-內射模，如果對任意有限表示左R-模H，ExtR1(H，E) = 0；稱左R-模N是Ding 內射模，如果存在內射模的正合列?：… →I1→I0→I-1→I-2→…，使得N?Im(I0→I-1)，且對任意FP-內射左R-模E，序列HomR(E，?)正合。對于環R，用LM(R)（RM(R)）表示左（右）R-模范疇，RM(MR)表示左（右）R-模M，用pdM(fdM，FP-idM)表示R-模M的投射（平坦，FP-內射）維數。模M的示性模M+= HomZ(M，Q/Z)，Z 表示整數集，Hi(X) 表示復形X的第i次同調群。

定義范疇LM(A) 和LM(B) 的積LM(A) × LM(B) 是如下范疇：其對象為有序對(M，N)，其中M∈LM(A)，N∈LM(B). 任取LM(A) × LM(B) 中的對象(M，N) 和(M′，N′)，態射集

對任意態射(f，g)：(M，N) →(M′，N′)和(f′，g′)：(M′，N′) →(M″，N″)，態射的合成為(f′，g′)(f，g)：=(f′f，g′g).

以下是我們要用到的范疇LM(T) 與LM(A) × LM(B) 之間的幾個函子：

定義q：LM(T) →LM(A) × LM(B)為

且對LM(T)中的任意態射有

因此(p，q)，(q，h)均為伴隨對，從而q是正合函子，p保持投射對象，h保持內射對象[10]。

1 n-Ding投射模

下面討論形式下三角矩陣環T上n-Ding 投射模的相關性質。

證明 （i）存在投射左T-模的正合列

由引理1可得投射左A-模的正合列

其中M1?Im. 任取平坦左A-模F，則存在左T-模的正合列

其中φF：U?AF→U?AF是同構。因此可誘導復形的短正合列

因為fdUA＜+∞，由文獻［10］的引理2.3 可知序列U?AΔ1正合，所以圖中1 ?λ1是單同態。再由引理1知，φ-1是單同態，故φM是單同態。

由第一列和第二列的正合性及長正合序列引理，可得投射左B-模的正合列

對任意m∈Z，由函子p，q的伴隨性，得

（ii）因為φM：U?AM1→M2是單同態，所以存在左T-模的正合列

其中φM1：U?AM1→U?AM1是同構。又因為M1是n-Ding 投射左A-模，所以存在投射左A-模的正合列

使得M1?Imf0，且對任意平坦左A-模F，任意整數i≥-n，Hi(HomA(Λ，F)) = 0. 因為fdUA＜+∞，所以序列U?AΛ 正合，因此可得投射左T-模的正合列

因為左B-模M2/ImφM是n-Ding 投射模，所以存在投射模的正合列

使得M2/ImφM?Imα0，且對任意平坦左B-模G， 任意整數i≥-n，Hi(HomB(Θ，G)) = 0. 因此可得投射左T-模的正合列

2 n-Ding內射模

設Γ 是 一 范 疇， 其 對 象 是 三 元 組W=(W1，W2)φW， 其 中W1∈RM(A)，W2∈RM(B) 且φW：W2?BU→W1是 右A-模 同 態。任 意 兩 個 對 象(W1，W2)φW與(X1，X2)φX間 的 態 射 是g=(g1，g2)，其 中g1∈HomA(W1，X1)，g2∈HomB(W2，X2)，且滿足φX(g2?1) =g1φW. 范疇RM(T)與范疇Γ 等價[15]。我們仍以三元組(W1，W2)φW的形式表示右T-模。注意到，g是單（滿）同態當且僅當g1和g2是單（滿）同態。設W=(W1，W2)φW是右T-模，由伴隨同構HomA(W2?BU，W1)?HomB(W2，HomA(U，W1)). 任取w∈W2，u∈U，定 義：W2→HomA(U，W1) 的 作 用 為(w)(u) =φW(w?u)， 則是 右B- 模 同 態。 設g=(g1，g2)：(W1，W2)φW→(X1，X2)φX，

類似地，可以定義范疇RM(A) 和RM(B) 的積，即范疇RM(A) × RM(B)以及范疇RM(T)與RM(A) ×RM(B)之間的幾個函子：

p：RM(A) × RM(B) →RM(T)，p(W1，W2)=((W2?BU)⊕W1，W2)φW，其 中φW：W2?BU→(W2?BU)⊕W1的標準單射；對任意態射(g1，g2)，p(g1，g2)=((g2?B1)⊕g1，g2).

q：RM(T) →RM(A) × RM(B)，對 任 意 右T-模W=(W1，W2)φW，q((W1，W2)φW)= (W1，W2)，且 對 范 疇RM(T)中的任意態射(g1，g2)，q((g1，g2)) =(g1，g2).

則(p，q)，(q，h)均為伴隨對，從而q是正合函子，p保持投射對象，h保持內射對象[11]。

定義2[13]設n是一固定的正整數。稱右R-模N是n-Ding內射模，如果存在內射模的正合列

使得N?Im(I0→I-1)，對任意FP-內射右R-模E，任意整數i≥-n，Hi(HomR(E，Ι)) = 0.

稱環R是右凝聚環，如果每個有限生成右理想都有限表示。下面我們討論形式下三角矩陣環T上n-Ding內射模的結構。

引理3[11]設W=(W1，W2)φW是一右T-模。

（i）W是內射模當且僅當W1是內射右A-模，Ker是內射右B-模，且是滿同態；

（ii） 若T是右凝聚環，UA是有限表示模，則W是FP-內射模當且僅當W1是FP-內射右A-模，Ker是FP-內射右B-模，且是滿同態。

命題1 設T是右凝聚環，UA是有限表示模，且fdBU＜+∞. 若J是FP-內射右A-模，則右T-模(J，0)0的FP-內射維數有限。

證明 不妨設fdBU=m＜+∞. 由右T-模的序列

的正合性，可誘導出左T-模的正合列

定理2 設T是右凝聚環，BU是平坦模，UA是有限表示模且其投射維數有限，W=(W1，W2)φW是右T-模。

（i） 若W是n-Ding內射模，則W1是(n- 1)-Ding內射右A-模，是滿同態，且Ker是n-Ding內射右B-模；

（ii） 若W1是n-Ding 內射右A-模，是滿同態，且Ker是n-Ding 內射右B-模，則W是n-Ding 內射模。

證明 （i）存在內射右T-模的正合列

使得W?Im(，)，且對任意FP-內射右T-模E=(E1，E2)φE，任意整數i≥-n，Hi(HomT(E，Δ))= 0. 由引理3可得內射右A-模的正合列

其中W1?Im. 任取FP-內射右A-模J，則右T-模的序列

正合，且對任意f∈HomA(U，J)，u∈U，φJ(f?u) =f(u)，從而是同構。于是得到復形的短正合列

由 引 理3 可 知， (J，HomA(U，J))φJ是FP- 內 射 右T- 模， 故 對 任 意 整 數i≥-n，Hi(HomT((J，HomA(U，J))φJ，Δ)) = 0. 因為BU是平坦模，由文獻［11］的引理4.2 可知，HomA(U，J)是FP-內射右B-模，故(0，HomA(U，J))0是FP-內射右T-模，因此對任意整數i≥-n，Hi(HomT((0，HomA(U，J))0，Δ)) =0. 利用長正合序列引理可知，對任意整數i≥-n+ 1，Hi(HomT((J，0)0，Δ)) = 0. 對任意m∈Z，由

故對任意整數i≥-n+ 1，Hi(HomT((J，0)0，Δ)) ?Hi(HomA(J，Δ1)) = 0，因此W1是(n- 1)-Ding 內 射 右A-模。

設(π1，π2)：(，)φ0→W是序列Δ中的滿同態，考慮如下交換圖。

因為pdUA＜+∞，所以由文獻［10］的引理2.5 可知，序列HomA(U，Δ1)正合，故π1*是滿同態。又因為(，)φ0是內射右T-模，所以由引理3可知是滿同態。因此是滿同態。

對任意j∈Z，存在態射ρj：Ker→Ker，使得行正合的下圖可交換。

由第二列和第三列的正合性及長正合序列引理，可得內射右B-模的正合列

綜上，再由文獻［13］的命題2.3可知在正合列(*)中，右T-模W=(W1，W2)φW是n-Ding內射模。

推論2 設R是右凝聚環，T=是由R作成的形式下三角矩陣環，W=(W1，W2)φW是一右T-模。

（i） 若W是n-Ding 內射模，則W1是(n- 1)-Ding 內射右R-模，是滿同態，且Ker是n-Ding 內射右R-模；

（ii） 若W1，Ker是n-Ding 內射右R-模，是滿同態，則W是n-Ding 內射右T-模。

證明 由文獻［16］的推論4.5可知T是右凝聚環，再由定理2易見結論成立。