完全分配可交換子空間格代數上的非線性廣義Lie導子*

馬飛，張建華，劉紅哲

1. 咸陽師范學院數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000

2. 陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西 西安 710062

設A 是任意代數，M 是其A-雙模。一個可加映射d：A →M 稱為導子，Jordan 導子或Lie 導子，如果d滿足對任意A，B∈A，有d(AB) =d(A)B+Ad(B)，d(A2)=d(A)A+Ad(A)或者d([A，B]) =[d(A)，B]+[A，d(B)]成立。設d是一個Lie 導子，若存在一個可加導子?和交換子上為零的映射ξ使得d=?+ξ，則稱Lie 導子d具有標準型。特別地，若無可加假設，即對任意A，B∈A，d都滿足d([A，B]) =[d(A)，B]+[A，d(B)]，則稱d是非線性Lie 導子。

1991 年，Bre?ar 在文獻［1］中引入了廣義導子的概念。設f：A →M 是一個可加映射，如果存在導子d：A →M 使得對任意A，B∈A 有f(AB) =f(A)B+Ad(B)，那么稱f是廣義導子；若滿足f(A2)=f(A)A+Ad(A)，則稱f是廣義Jordan 導子。Hvala[]2于1998 年引入了廣義Lie 導子。設f：A →M 是一可加映射，如果存在一可加映射d：A →M，使得對任意A，B∈A有

那么稱f是廣義Lie 導子。顯然，（廣義）導子一定是（廣義）Jordan 導子，（廣義）導子一定是（廣義）Lie 導子，反之一般不成立（如文獻［3-4］）。關于Lie 導子或者廣義Lie 導子的一個自然研究課題就是在那些代數上的（廣義）Lie 導子具有標準型。如文獻［5-9］分別得到了環或者某些代數上的Lie 導子具有標準型，文獻［10-12］研究了上三角矩陣代數、三角代數和von Neumann 代數上的非線性Lie 導子，文獻［13-14］分別研究了三角代數上的廣義Lie 導子和非線性廣義Lie 導子。

設H 是實數域或復數域F 上的可分Hilbert 空間，L 是H 上的子空間格，A lg L ={T∈B(H)：T(L) ?L，?L∈L}，是L上的子空間格代數。若L中任意投影是可交換的，則稱L是交換子空間格，簡稱CSL，一個全序子空間格N稱為套；相應地，A lg L 和AlgN稱為CSL 代數和套代數。稱CSL 是完全分配格，如果對0 ≠e∈L 都有e=V{L∈L：N-?L}，其中N-=V{P∈L：P?N}. 完全分配的CSL代數稱為完全分配可交換子空間格代數，簡稱CDC-代數。關于完全分配格的標準定義及相關研究內容見文獻［15-16］。

由文獻［17］可知，CDC-代數是由其包含的秩一算子弱*閉生成的算子代數，這個結果對研究CDC-代數具有重要的意義。在CDC-代數A lg L 中，記U(L) ={e∈L：e≠0，e-≠H}，稱U(L)中的e，e′是連通的，如果存在e1，e2，…，en∈U(L)使得ei與ei+1可比，e0=e，en+1=e′(i= 0，1，…，n). 設C ?U(L)，稱C 是U(L)的一個連通分支，如果C 中任意兩個元素是連通的，并且C 中的任何元素與U(L)C 中的元素都不連通。設L是復可分的Hilbert 空間H上的一個完全分配的交換子空間格，由文獻［18］可知，A lg L是不可約的當且僅當其交換子是平凡的，即其一次換位是FI，也等價于L ∩L⊥={0，I}，其中L⊥={e⊥：e∈L}. 顯然，套是完全分配的交換子空間格，也是最重要的模型。Gilfeather 等［18］證明了任何一個CDC-代數都可以分解成可數個不可約CDC-代數的直和，這個結果在研究CDC-代數的同構和導子等問題時具有非常重要的作用，下面我們給出這個結論。

引理1[18]設A lg L 是復Hilbert 空間H 上的CDC-代數，那么存在ε(L)的可數個連通分支Cn：n∈Λ，使得ε(L) = ∪{e：e∈Cn，n∈Λ}. 令en=V{e：e∈Cn，n∈Λ}，則{en，n∈Λ}?L ∩L⊥兩兩正交，并且

其中每個(A lg L)en是Hilbert 空間en上的不可約CDC-代數，這里的收斂指的是強收斂。

下面這個引理對研究不可約CDC-代數具有非常重要的意義。其證明了不可約CDC-代數上的Jordan 同構是一個同構和反同構之和。這個結論在文獻［19］中已經給出了證明。

引理2[19]設A lg L 是Hilbert 空間H 上的不可約CDC-代數，則存在一個非平凡投影e∈L，使得e(A lg L)e⊥是忠實的A lg L-雙邊模。這里忠實的A lg L-雙邊模指的是對于任意的A∈A lg L，若Ae(A lg L)e⊥={0}，則有Ae= 0；若e(A lg L)e⊥A={0}，則有e⊥A= 0.

記H 中的恒等算子為I。若L 是非平凡的，即A lg L 是非自伴算子代數，則由引理2 知，存在非平凡投影e∈L，使得e(A lg L)e⊥是忠實的A lg L-雙邊模。令e1=e，e2=I-e，則e1，e2均為A lg L 中的投影。因而對于任意的不可約CDC-代數A lg L 中的A，均可分解為A=e1Ae1+e1Ae2+e2Ae2. 記Aij=ei(A lg L)ej，因而可將A lg L代數分解為

受上述結論的啟發，本文主要研究了完全分配可交換子空間格代數上的非線性廣義Lie 導子。

1 不可約CDC-代數上的非線性廣義Lie 導子

在本節中，我們先討論不可約CDC-代數AlgL上的非線性廣義Lie 導子。其主要結論如下。

定理1 設A lg L 是復Hilbert 空間H 上的不可約CDC-代數，f：A lg L →A lg L 是A lg L 上的非線性廣義Lie 導子，d是A lg L 上與f相關的非線性映射。則存在可加導子ψ，?：A lg L →A lg L，使得對于任意的A∈A lg L，有

其中ξ是A lg L到其中心且在交換子上為零的映射。

下面通過幾個引理來完成定理1 的證明。

引理3 設f是滿足定理1的非線性廣義Lie導子，則對任意Aij∈Aij(i，j= 1，2) 有

證明

（i）由式（1）易得f(0) = 0，且當B=I時，有

令A= 0即得d(0) =f(0) = 0.

對任意Aij∈Aij，由f(0) = 0和Aii Ajj= 0(i≠j)知

上式兩邊同乘以e1得e1f(A22)e1A11=A11e1d(A22)e1?A11，從而

注意到A11，A22的中心為Fe1，Fe2，因此存在λA22∈F，使得

類似存在λA11∈F，使得e2f(A11)e2=e2d(A11)e2=λA11e2.

（ii）在式（3）中左乘e1右乘e2，可得

令A11=e1，A22=e2可得e1f(e1)e2= -e1d(e2)e2. 上式中分別取A11=e1和A22=e2，有

由引理3可知，對任意A11∈A11，定義ξ1：A11→Fe2，則存在λA11∈F，使得

類似地，定義ξ2：A22→Fe1，則存在λA22∈F，使得

顯然有，ξ1([A11，A11]) =ξ2([A22，A22]) = 0.

引理4 設f是滿足定理1 的非線性廣義Lie 導子，則f(A12)，d(A12) ?A12.

證明 對任意A12∈A12，由[e1，A12]=A12=[A12，e2]得

和

式（4）和式（5）兩邊分別乘以e1和e2，有

從而f(A12)，d(A12) ?A12.

對任意A∈AlgL，令

容易驗證，F依舊是關于D的非線性廣義Lie 導子，滿足對任意A，B∈AlgL，

引理5

（i）F(A11) ?A11，F(A22) ?A12+ A22；

（ii）D(A11) ?A11+ A12，D(A22) ?A22.

證明 對任意Aii∈Aii，由引理3 可知

類似地可以證明D(A11) ?A11+ A12，D(A22) ?A22.

引理6 對任意A，B∈A lg L，

證明 對任意A，B∈A lg L，由F(A) -D(A) =F(I)A-AD(I)可得

因此，F(A+B) -F(A) -F(B) =D(A+B) -D(A) -D(B).

記θ(A，B) =F(A+B) -F(A) -F(B) =D(A+B) -D(A) -D(B)，則有下面的結論。引理7 對任意Aij∈Aij，有

證明 在式（6）中，取A=A11，B=A12，由引理4和引理5 可得

引理8 對任意Aij∈Aij，有θ(A11，A12)，θ(A12，A22) ∈FI.

證明 對任意Aij，Bij∈Aij，由引理4 和 引理7 知

因此，對任意B12∈A12，有θ(A11，A12)B12=B12θ(A11，A12)，結合引理4和引理5 可知

對任意A12∈A12，由引理5 知

比較等式兩端得，A12D(e2)= 0. 由A12的任意性及引理6 知D(e2)= 0. 特別地

由F(A12)，D(A12) ?A12，知F(A12)=e1F(A11+A12)e2. 代入式（7）得θ(A11，A12) ∈FI.

類似可證θ(A12，A22) ∈FI.

引理9 對任意A12，B12∈A12，有θ(A12，B12)= 0.

證明 在引理8中分別取A11=e1和A22=e2，則存在λ1，λ2∈F，使得θ(e1，A12)=λ1I，θ(B12，e2)=λ2I.注意到A11+B12=[e1+A12，B12+e2]，從而由引理3和引理4 及D(e2)= 0得

由引理6 得θ(A12，B12)= 0.

在引理6中用B+C替換B易得

記為θ(A，B，C). 則有下面的結論。

引理10 對任意A=A11+A12+A22∈A lg L，Aij∈Aij，有θ(A11，A12，A22) ∈FI.

證明 對任意Aij，Bij∈Aij，由于[A11+A12+A22，B12]=A11B12-B12A22∈A12，利用引理5和引理6 得

利用引理7，引理9又可得到

因此對任意B12∈A12，有

利用引理4和引理5 可得

類似于引理8的證明，可得F(A12)=e1F(A11+A12+A22)e2-e1F(A22)e2. 進而有θ(A11，A12，A22) ∈FI.

由引理10，對任意A=A11+A12+A22∈A lg L，記

引理11F，D是可加的廣義Lie 導子。

證明 在引理10 中，令A11=e1，A12= 0，A22=e2，由D(e2)= 0知，存在λI∈F使得

則對任意Aij∈Aij，由式（2）知

因此，將式（9）和式（10）分別代入引理7 得

對任意Aij，Bij∈Aij，由式（11）得

又由θ(A11A12，B11A12)= 0知

從而對任意A12∈A12，有θ(A11，B11)A12= 0. 即θ(A11，B11)= 0.

類似可以證明θ(A22，B22)= 0.

對 任 意A=A11+A12+A22，B=B11+B12+B22∈A lg L， 注 意 到θ(A，B) =θ(A11+B11，A12+B12，A22+B22) ∈FI，從而存在λA，λB，λA+B∈F使得

從而F-θ0是可加的。注意到F(A+B) -θ0(A+B) =F(A) +F(B)，由上式可得θ0也是可加的，進而F是可加的廣義Lie 導子。

由引理6 知，D也是可加的廣義Lie 導子。

引理12 對任意Aii，Bii∈A lg L，有

（i）F(A11B11)=F(A11)B11+A11F(B11)-A11(F(I) -λI)B11，

（ii）F(A22B22)=F(A22)B22+A22F(B22)-A22(F(I) -λI)B22.

證明 對任意Aij，Bij∈Aij，由式（11）知，

和

成立。比較上兩式可知，對任意A12∈A12，有

從而由引理2 知

類似地可以證明F(A22B22)=F(A22)B22+A22F(B22)-A22(F(I) -λI)B22.

定理1 的證明

對任意A=A11+A12+A22，B=B11+B12+B22∈A lg L，由式（10）知，

從而由引理4和引理5，引理11和引理12 及上式可得

由λI=θ0(I)知，F-θ0是可加的廣義導子。由式（3），引理6 及θ0的定義可知

因此，D-θ0也是可加的廣義導子。

下面說明θ0([A lg L，A lg L]) = 0. 由F(A11) ?A11知

特別地，在式（6）中取A=A11，B=B11∈A11，利用引理5可得

因此，對任意A，B∈A lg L，易得

類似地，e2θ0([A，B])e2= 0，從而有θ0([A lg L，A lg L]) = 0.對任意A∈A lg L，由F，D以及θ0的定義可得，

和

令ψ(A) =(F(A) -θ0(A)) +[A，e1f(e1)e2]，?(A) =(D(A) -θ0(A)) -[A，e1d(e2)e2]，ξ(A) =ξ1(A) +ξ2(A)+θ0(A).

由前面證明可知，ψ，?均是不可約的CDC-代數A lg L 上可加的廣義導子，ξ是不可約的CDC-代數AlgL到其中心FI且在交換子上為零的映射，且有

2 CDC-代數上的非線性廣義Lie 導子

下面研究任意CDC-代數上的非線性廣義Lie 導子。本文的主要結論如下

定理2 設A lg L 是復Hilbert 空間H 上的完全分配可交換子空間格代數，f是A lg L 上的非線性廣義Lie 導子，d是A lg L 上與f相關的非線性映射。則存在可加導子ψ，?：A lg L →A lg L 使得對任意A∈A lg L有

其中ξ是A lg L到其中心且在交換子上為零的映射。

證明 設en=V{e：e∈Cn，n∈Λ}為引理1 中的投影，由引理1 知，任意的完全分配可交換子空間格代數A lg L均可分解為不可約的情形，即A lg L =∑n∈Λ⊕(A lg L)en，則對任意en有

由于en=V{e：e∈Cn，n∈Λ}是Hilbert 空間H 中的投影，自然也是Hilbert 空間。因此，(A lg L)en是一作用在Hilbert 空間en上的不可約CDC-代數，并且這里的收斂是強收斂。因而由en的定義可知，其線性張是整個Hilbert 空間H，并且兩兩正交，AlgL 的單位元為I=∑n∈Λ⊕en，中心元為Z(A lg L) =∑n∈Λ⊕λnen，其中λn∈F.

對任意A∈A lg L和投影en，(A lg L)en均是Hilbert 空間en上的不可約CDC-代數。設f，d滿足式（1），且fn，dn分別為f，d在Alg(enL)上的限制，即在Alg(enL)上有f=fn，d=dn. 由定理1 可知，存在可加導子ψn，?n：Alg(enL) →Alg(enL)和在交換子上為零的映射ξn：Alg(enL) →Fen使得對任意A∈Alg(enL)，

在引理3 中，對于每一個廣義導子ψn均存在一個導子，設為τn，使得對于任意的A，B∈Alg(enL)有，ψn(AB) =ψn(A)B+Aτn(B). 又由文獻［17］，CDC-代數是由其包含的秩一算子弱*閉生成的算子代數，則任取E∈U(L)，x∈E，固定y∈，有x?y∈Alg(enL)且是一秩算子。任取一秩算子u?v∈Alg(enL)，則對任意A∈Alg(enL)，有

設{Ak}，A∈Alg(enL)，并且{Ak}強收斂到A，由上式可知，當k→∞時

(u?v)τn(Ak)(x?y) =ψn((u?v)Ak(x?y)) -ψn(u?v)Ak(x?y) -(u?v)Akτn(x?y)收斂到

由一秩算子u?v∈Alg(enL)的任意性得，τn是強收斂的，進而ψn也強收斂。

下面證明在任意CDC-代數A lg L 上結論也成立。設{Ak}，{Bk}，A，B∈A lg L，并且{Ak}，{Bk}強收斂到A，B. 因為A lg L =∑n∈Λ⊕(A lg L)en，并且en是兩兩正交的投影，所以對每個投影ei，{Akei}，{Bkei}強收斂到Aei，Bei并且

則對于Hilbert 空間H中的任意元x，注意到ψn，ξn的定義，并結合定理1的證明可知，當k→∞時

收斂到

即f是強收斂的，進而d也強收斂。因而對任意A∈AlgL 都有f(A) =(Aen). 因為fn(Aen)=ψn(Aen)+ξn(Aen)，dn(Aen)=?n(Aen)+ξn(Aen)，則對任意A∈AlgL有

和

證畢